2024-2025学年广西桂林市高一年级上册12月新高考月考数学测试试题（含解析）

2024-2025学年广西桂林市高一上学期12月新高考月考数学

测试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1,若2={刈》一1<2},B={x\x>2}^则zn5=（）

A.°B,{x|x>2}C,{x|x<3}D.{x|2<x<3}

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的交集运算即可算出结果.

【详解】因为N={x||x—[<2}={x|—l<x<3},

8={x|>2},所以={x[2<x<3}。

故选：D.

2「、=2”是“/-》-2=0”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先解方程V-x-2=0,再根据充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】方程Y—x—2=0解得，x=2或一1,

所以“x=2”是“必一工一2=o”的充分不必要条件；

故选：B.

3.任意实数。>0且函数歹=log.（x-l）的图象恒过尸，则点尸的坐标（）

A.（2,0）B."JC.（1,0）D.（0,1）

【答案】A

【解析】

【分析】由对数函数图象恒过（1,0）点，即可求解.

【详解】因为对数函数图象恒过点。刀），所以令X-1=1,解得x=2,

所以任意实数a>0且awl,函数歹=log“（x-1）的图象恒过点尸（2,0）.

故选：A.

2

4.已知a是二角形的一个内角，且sina+cosa=—,那么这个二角形的形状为（）

3

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

25

【分析】sina+cosa=一两边平方后得到sinacosa=---<0,由a是三角形的一个内角得至U，

318

sina>0且cosa<0,进而得到三角形的形状为钝角三角形.

224.4

【详解】由sina+cosa=],得（sina+cosaI=—,BP1+2sinacosa=—

99

所以sinacosa=---<0,

a是三角形的一个内角，有ae（0,兀），有sina>0,

所以cosa<0,得■，兀J,即三角形为钝角三角形.

故选：B.

5.函数>=2、的部分图象大致是（）

【答案】D

【解析】

【分析】通过计算函数的特殊值，利用排除法确定正确选项.

【详解】函数y=x2—2"当x=0,y=—1<0,排除AB选项;

当x=2,y=0；当x=3,y=l>0；当x=4,y=0,只有D选项符合.

故选：D

6.设anlogosO.6,6=0.25"3,c=O,6-06;则。，b,c的大小关系是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

【答案】C

【解析】

【分析】利用幕函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.

【详解】因为歹=logos》在（°，+。）上单调递减，所以1080.51<1。80.50-6〈1。80.5°-5,HP0<a<1.

因为了=x°6在（0,+。）上单调递增，又0.25一°3=05°6=2°-6,0&°6=弓],

又2〉g〉l,所以〉产6,故6>c>l,所以6>c>a.

故选：C.

7.设函数=—6"+6：x'O,若互不相等的实数项，々，/满足=则

3x+4,x<0

X]+/+X3的取值范围是（）

f20261（2PT]件6]D.（'J

、[T'T]B

【答案】D

【解析】

【分析】作出函数/（x）的图像，根据图像得出Xl,马,X3满足的条件和范围，从而得出答案.

【详解】作出的图像如下图所示,

61y=

/(x1)=/(x2)=/(x3),不妨设西<乙<》3，

7

f(3)=-3,x<0时，/(x)=3x+4=-3nx=-§,

7

则由图像可知，—§<X]<0,%2+%3=6,

所以VX]+工2+%3V6,

故选：D.

8.己知/(x)是定义域为R的单调递增函数，X/〃eN,/(〃)eN,且/(/(〃))=3"，则

()

A.18B.19C.20D.21

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意求出/(0)=0，/⑴=2,然后逐项计算可得出/(9)=18,/(12)=21,即可得出/(11)

的值.

【详解】V»GN,/(〃)eN,且/(/(〃))=3〃，则有/(/(。))=0,

因为/(0)eN,若/(0)=0,则/(/(O))=/(O)=O,合乎题意，

若/(0)21,则/(/(0))2/(1)>/(0)之1,这与/(/(0))=0矛盾，故/(0)=0；

所以/(1)>/(0)=0,因为/(l)eN,则/⑴21,

因为/(/。))=3,若/(1)=1,则/(/。))=/(1)=1，这与/(/。))=3矛盾，

若/(1)=2,则/(/(1))=〃2)=3>/⑴，合乎题意，

若/⑴23,则/(/(1))2/(3)>/(1)23,即/(/(1))>3,矛盾，故/⑴=2.

/(/⑵)=/(3)=6,所以/(/(3))=/(6)=9,

所以6=-3)</(4)</(5)</(6)=9,于是/(4)=7,/⑸=8.

因为/(/(4))=/⑺=12,所以/(/⑺)=/(12)=21,

因为/(/(6))=/(9)=18,所以18=/(9)</(10)</(II)</(12)=21,

所以〃10)=19,/(II)=20.

故选：c.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要

求.（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分,

只选两个都对得4分，错选不得分）

9.下列结论正确的是（）

A.Irad的角比1。的角大

B.与-660°角终边相同的最小正角是30。

4

C.已知某扇形的圆心角是一，半径是3,则该扇形的面积是6兀

3

D.已知角a的终边经过点尸,贝iJcosa=¥

【答案】AD

【解析】

【分析】运用弧度制概念、终边相同角，弧度制下的弧长面积公式和三角函数定义逐个计算判定.

【详解】对于A,Irada57.3°>1°,A正确;

对于B,与-660。角终边相同的最小正角是60。，B错误;

1,14

对于C,=-\a\R2=-x-x9=6,C错误;

"223

B厂

对于D,2J3,D正确.

cosa=-^=——

12

故选：AD.

10.下列结论正确的是（）

A.若Q<Z?<0,贝<仅一1/

B.若m6GR,且Q+Z?=2,贝！J2。+2,24

eg7-1]+0.25为周=—3

D.1g25+1g2+In+sin弓=5f

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据基本不等式的应用即可判断B；根据分数指数哥的化简计算即

可判断C；根据对数的运算性质即可判断D.

【详解】A：由。<6<0,得所以(a-if>(6-1)2,故A错误;

B：2°>0,2*>0,所以2"+2〃42,2"♦2〃==4，

当且仅当2"=2b即a=6=1时，等号成立，故B正确；

=—4—1+0.5x=—5+0.5x4=—3.

C：原式1，故C正确；

(Fv

D：JMj^=lg25?+lg2+lne2-^l=lgl0+--—=,故D正确

2222•

故选：BCD

II.已知函数/(x)=log2(2工+2T+2)——J—,则下列各选项正确的是()

A./(x)在区间(-8,0)上单调递增B.7(x)是偶函数

C./(x)的最小值为1D.方程/(x)=2x无解

【答案】BC

【解析】

【分析】运用复合函数单调性判定A,运用奇偶性判定B,运用单调性计算判定C,运用零点存在性定理计

算判定D.

【详解】当x<0时，0<2*<1，令g(x)=log2M,iz=/+；+2,/=2”,

则/=2工单调递增，对勾型函数瓦=/+%2。€(0,1))单调递减，g(x)=log2/单调递增，故g(x)单调

递减，与y=--J—均为减函数，

X+1

所以/(x)在区间(-。,0)上单调递减，A错误；

因为/(x)=log2(2,+2T+2)--^―,定义域为R,

且/(—x)=log2(2"+2T+2)——所以/(x)为偶函数，B正确；

X十1

由偶函数对称性可知，/(X)在区间(0,+8)上单调递增，

所以/(x)min=/(0)=1，C正确；

令〃(x)=/(x)-2x,所以力(0)=l〉0,/z(l)=log2|'_g=log24.5_log24&<0,

由零点存在性定理可知方程/(x)=2x有解，D错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若命题Fx>2025，”是假命题，则实数a的取值范围是.

【答案】(一叫2025]

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可由恒成立求解最值求解.

【详解】命题“%>2025,是假命题，则命题的否定“\/x>2025,是真命题，

所以aW2025,实数。的取值范围是(一*2025]

故答案为：(-«),2025].

13.一种放射性元素，每年的衰减率是10%,那么akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的

时间)/等于.

【答案】logo.90-5

【解析】

【分析】设物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t,可以得出一个方程，指数对数互化求出

t.

【详解】。千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)为"

H1

a(l-10%y=-^(1-10%/=-,指数对数互化得到/=log0.90.5.

故答案为：logo.905

14.定义：若函数尸(X)在区间[加河上的值域为[加,〃],则称区间[阳刈是函数E(x)的“完美区间”已知

函数/(%)=山卜'-1)-111(於+1),若函数g(x)=/(x)+lnb存在“完美区间”，则实数6的取值范围

是.

【答案】(3+2后,+8)

【解析】

【分析】先求函数/(x)的定义域，再证明/(x)=ln(e*—l)—在(0,+8)上单调递增.

根据新定义，题意可知方程g(x)=》在(0,+8)上至少存在两个不同的实数解，

exI'+1)e"e"+1)

即6=」_e____在(。，+8)上至少存在两个不同的实数解，所以>=6与旷=」______L在(0,+8)上至少

ex-lex-l

存在两个不同的交点.再利用基本不等式求出函数y=e*(e'+l)的值域即可.

e*-1

e—1〉0、

【详解】由［y+］>0，解得彳>0,所以函数/(x)的定义域是(0,+8).

因为/(x)=ln(e、—1)——

2

又V=e"+1在(0,+8)上为增函数，所以y=-----在(0,+8)上为减函数，

--e+1

所以歹=1一一二一在(0,+8)上为增函数，j=ln|1-］,］在(0,+8)上为增函数，

e+1Ve+1J

故/(%)=111.一1)一111(d+1)在(0,+8)上单调递增.

可知g(x)=/(x)+lnb在(0,+8)上单调递增，

设区间［加刈是函数g(x)=/(x)+lnb的“完美区间”.则g(加)=加,g(〃)=〃.

可知方程g(x)=%在(0,+8)上至少存在两个不同的实数解，

e'(e*+1)

即6=」_____在(。，+8)上至少存在两个不同的实数解，

ex-l

xv

e(e+1)

所以>与」_____L在(o,+8)上至少存在两个不同的交点.

ex-1

令/=e=1，则)>0,

(‘+1)(‘+2)/+3/+22、、人

所以6=^——八----------------=t+-+3>3+2y/2，

ttt

当且仅当.=拒时，取等号.

又y=/+：+3在(0,行)上单调递减，在(后,+。)上单调递增，

且当/->0时，了—十8;当/f+00时，J->+®.

所以3>3+2啦时满足题意.故实数b的取值范围为(3+272,+“).

故答案为：(3+2后,+00).

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知集合2={0,加，机2-3掰+2},且{2}口2.

（1）求实数加的值；

（2）正实数①6满足a+（加+1）6=2,求工+工的最小值.

ab

【答案】（1）m=3；

（2）

2

【解析】

【分析】（1）由题设得到2eN,进而得加=2或加2一3加+2=2,求出加，再求出/并结合集合中元素

的互异性检验即可得解.

（2）先由（1）得。+46=2,再结合基本不等式“1”的妙用方法计算即可得解.

【小问1详解】

因为{2}<4,所以2eZ,又2={0,九--3加+2},

所以加=2或加2一3加+2=2，解得加=2或加=0或加=3,

当机=2时，^={0,m,m2-3m+2}={0,2,0},与集合中元素的互异性相矛盾，不符合；

当机=0时，幺={0,0,2},与集合中元素的互异性相矛盾，不符合；

当机=3时，4={0,3,2},符合.

所以加=3.

【小问2详解】

由（1）得°+4，=2,又。〉0,6>0,

111,.11c14ba9

所以一+：=二(。+

ab22(NabJ2

4h2

当且仅当——=a7即。=2b=—时等号成立,

ab3

119

所以--H—的最小值为二.

ab2

16.已知角。为第二象限的角，且tan8=-■—.

12

（1）求三角函数sin。，cos。的值;

sin（一-cos（7i+6）

（2）求（8—2兀）-tan（兀_g）_sin15-S的值.

COS

5I?

【答案】（1）sin6=—,cos<9=---.

1313

17

（2）——

7

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求sin。和cos。的值；

（2）利用诱导公式化简，由齐次式代入已知条件求值.

【小问1详解】

角。为第二象限的角，则有sin9>0,cos6<0,

sin。5

5----=----s12

又tan。=---，可得《cos。12，解得sin6=—,cos3=---.

12|sin2^+cos2^=l1313

【小问2详解】

sin（—6）—cos（兀+6）_-sin8+cos9

cos（"2兀）.tan（兀叫-sin4丁"三吁斓

A+1

-sine+cosS-tan0+\\217

-sinJ-cose-tan0-157

---1

12

17.已知函数y=小|]±+，2'—2的定义域为"

（1）求跖

（2）当xeAf时，求函数/（X）=2（log2x）2+alog2x的最大值.

【答案】⑴M={x|l<x<2}

2+Q,a2—2

（2）f（x）=<

J\/max0,a<—2

【解析】

2+x

【分析】(1)由题意可得J2'-220,解出不等式组即可;

xw—2

(2)利用换元法令f=log2X,则原函数等价求函数于g«)=2r+a"的最值，分为口之―2和

«<-2两种情形，根据二次函数的单调性得其最大值.

【小问1详解】

^>0

2+x

由题意知｛2、—220,解得

xw—2

故"={x|lW2}.

【小问2详解】

2

f(x)=2(log,x)+alog2x,

令"log?》，可得g(7)=2/+a/,其对称轴为直线f=-(,

ai

当—即a"2时，g⑺1mx=g6=2+a.

ai

当—『5'即"一2时，g(/)1mx=g(0)=0.

2+Q,a2—2,

综上可知，/(x)=<

max0,a<—2.

18.在经济学中，函数/(%)的边际函数0(%)=/(%+1)-/(%),某公司每月最多生产10台光刻机的某

种设备，生产X台(x21,xeN*)这种设备的收入函数为氏(》)=/+=+40(单位千万元)，其成本函

JC

40

数为C(x)=10x+—(单位千万元).(以下问题请注意定义域)

(1)求收入函数衣(X)的最小值；

(2)求成本函数C(x)的边际函数MC(x)的最大值；

(3)求生产x台光刻机的这种设备的利润z(x)的最小值.

【答案】(1)48(千万元)

(3)7(千万元)

【解析】

【分析】(1)利用基本不等式求函数的最小值即得；

(2)求出边际函数MC(x)的解析式，然后利用函数的单调性求解最值；

(3)求出利润函数z(x)的解析式，换元后运用二次函数的图象性质求解最值.

【小问1详解】

1A

VR=x2——+40,I^X^IOJXGN.

x

.1.7?(x)>2Jx2-^f+40=48，当且仅当r=当即x=2时等号成立.

\XX

...当X=2时，R(X)min=48(千万元)；

【小问2详解】

MC(x)=C(x+l)-C(x),l<x<9,xeN*

404040

MC(x)=10(x+l)+---10x-----=10-y_—,l<x<9,xeN\

x+1x(x+l)x

由函数单调性知,MC(x)在1VxW9,xeN*时单调递增，

故当x=9时，MC(x)=10—--=—；

\'max10x99

【小问3详解】

由z(x)=7?(x)-C(x)=x2+^+40-^10x4--^=［x+3］-10^x+—^j+32,

则z(x)=1x+&-51+7,1<x<9,xeN*.

AQCQC

记心)=)+—,则该函数在［1,2］上递减，在［2,9］上递增，且«1)=5/(9)=一，故，可4,一］,

x99

于是当/=x+g=5时，z(x)取得最小值.由一—5%+4=0,解得％=4或x=l,

故当x=4或x=l时，Z(X)min=7(千万元).

19.函数/⑴和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②/(')为奇函数，g(x)为偶函数；③

/(x)+g(x)=e*(常数e是自然对数的底数).

(1)求函数/(x)和g(x)的解析式；

(2)对任意实数X,[g(x)]2-[/(X)T是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由;

(3)若不等式2/(x)—掰・g(2x)»0对Vxe[ln2,ln3卜恒成立，求实数〃?的取