2024-2025学年高二年级上册期末考试解答题压轴题50题专练（含答案）

2024-2025高二上学期期末考试解答题压轴题50题专练

【人教A版(2019)]

1.(2023上•山东潍坊・高二统考期末)已知向量d=(%,1,2),3=(1,乃一2),8=(3,l,z),且五〃九blc..

(1)求向量落b,而勺坐标；

(2)求d+c^b+-所成角的余弦值.

2.(2023下•江苏宿迁•高二统考期末)在四棱柱ZBCD—Z/iCiA中，印=k型,D^F=kD^B,D^G=

kDrCfDrH=kD1D.

(2,、*、、.,------>------>-------->►__*----->

(1)当rk时，试用4B,AD,力为表示4F；

⑵证明:E,F,G,H四点共面;

(3)判断直线AG能否是平面和平面的交线，并说明理由.

3.(2023下•浙江舟山•高二统考期末)如图，在三棱柱ABC-A/iG中，底面是边长为2的正三角形，乙4遇8=

乙414c=45°,平行于A4i和BQ的平面分别与月伉4&&6,4/1交于D,E,F,G四点.

⑴试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；

（2）若A41=3,。是4B的中点，求直线DF与平面4BC所成角的正弦值.

4.（2023下•浙江台州•高一温岭中学校考期末）如图，已知四棱台4BCD-的底面是菱形，且乙4BC=

60°,侧面是等腰梯形，4B=34/1=6,BBi=2VXCG=4,E为棱上一点，且。出二工。力.

4

D------------------c

⑴求证：平面2幽a1平面ABCD；

⑵若过点C,E的平面a与BD平行，且交直线441于点尸，求二面角F-CB-D的余弦值.

5.（2023下•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末）如图，P为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，2C为底面

直径，AABD为底面圆。的内接正三角形，且△4BD的边长为遮，点E在母线PC上，且力E=B,CE=1.

p

(1)求证：直线PO〃平面BDE,并求三棱锥P-BDE的体积：

(2)若点M为线段P。上的动点，当直线DM与平面力BE所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面ABE的距离.

6.(2023下•重庆沙坪坝•高一校考期末)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公

垂线.如图，在菱形4BCD中，/.BAD=60°,将AABD沿BD翻折，使点A到点尸处.E,F,G分别为BD,PD,

BC的中点，且FG是PD与BC的公垂线.

(1)证明：三棱锥P—BCD为正四面体；

(2)若点M,N分别在PE,BC上，且MN为PE与BC的公垂线.

①求黑的值；

ME

②记四面体BEMN的内切球半径为r,证明：

2rEMBN

7.(2023下•湖北武汉•高一校考期末)如图，四棱台4BCD-中，上、下底面均是正方形，且侧

面是全等的等腰梯形，AB=2&Bi=4,E、F分别为DC、BC的中点，上下底面中心的连线。】。垂直于上下

底面，且01。与侧棱所在直线所成的角为45。.

(1)求证：平面GEF；

(2)线段BF上是否存在点M,使得直线4M与平面QEF所成的角的正弦值为等，若存在，求出线段BM的长;

若不存在，请说明理由.

8.(2023上•上海徐汇・高二南洋中学校考期末)如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜

边的等腰直角三角形，侧面ACC14为菱形，点4在平面ABC上的投影为AC的中点。，且4B=2.

⑴求点C到侧面48位久的距离；

(2)在线段久/上是否存在点£,使得直线与侧面ABB41所成角的正弦值为彳？若存在，请求出&E的

长；若不存在，请说明理由.

9.(2023上•福建福州•高二校考期末)如图，在三棱锥P-ABC中，P4=PC=<3,AC=BC=242,AC1BC,

。为棱AB上一点，BD=3AD,PD=五,

(1)证明：平面P4C1平面4BC；

(2)线段上是否存在点使直线AP与平面所成角的正弦值为号?若存在，求出黑的值；若不存

3I产〃I

在，请说明理由.

10.(2023上•北京西城•高二统考期末)如图，在四棱柱4BCD-4/1C1D1中，，平面4BCD,AB||

CD,AD=CD=1,AAi=AB=2,E为线段力力1的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.

条件①：AD1BE；条件②：BC=V2.

(1)求直线CE与&A所成角的余弦值;

⑵求点的到平面BCE的距离；

(3)已知点M在线段CG上，直线EM与平面BCG2所成角的正弦值为管，求线段CM的长.

11.(2023上•四川巴中•高二校考阶段练习)已知坐标平面内三点4(—1,1),C(2,V3+1).

(1)求直线AC的倾斜角；

(2)若。为△力BC的边上一动点，求直线。的倾斜角的取值范围.

12.(2023上•广东广州•高二校联考期末)已知圆M：(x-2)2+y2=4,点P(-Lt)(t€R).

(1)若t=0,求以P为圆心且与圆M相切的圆的方程；

(2)若过点P的两条直线被圆M截得的弦长均为2百，且与y轴分别交于点S、T,|ST|=京求t的值.

36

13.(2023上•湖北孝感•高二统考期末)已知圆心在x轴上的圆C与直线l:4x+3y-6=

,5,5.

(1)求圆C的标准方程；

(2)已知N(2,l),经过原点且斜率为正数的直线人与圆C交于PQi，%),<2(%2，%).求1PN|2+|QN『的最大值.

14.(2023上•四川广元•高二统考期末)已知圆0:/+V=8,直线1：万一丫一8=0.

⑴若圆O的弦A3恰好被点P(2,l)平分，求弦AB所在直线的方程；

(2)点。是直线/上的动点，过。作圆O的两条切线，切点分别为CQ,求直线CD经过的定点；

⑶过点M(2,2)作两条相异的直线，分别与圆。相交于&F两点,当直线ME与直线板的斜率互为倒数时，求线

段跖的中点G的轨迹方程.

15.(2023上•四川南充•高二统考期末)某市的两条直线公路OM,ON所围成的角形区域内有一村庄P,该

市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄P修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域08c.在区域。BC

内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展.现利用无人机在空中测得P到公路OM,ON的距离

均为10千米，乙MON=a,且tana=-*设计人员方便规划计算，在图纸上以。为坐标原点，以直线0M为

久轴建立如图所示平面直角坐标系xOy.

(1)求点P的坐标；

(2)求出公路BC的长度及该示范带的总面积.

16.(2022上•辽宁•高三本溪高中校联考阶段练习)已知在平面直角坐标系xOy中，4(0,1),B(0,4),平面内动

点尸满足21P川=\PB\.

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)点尸轨迹记为曲线T,若C,。是曲线T与x轴的交点，E为直线=4上的动点，直线CE,与曲线T的

另一个交点分别为M,N,直线与x轴交点为Q,求向+总的最小值.

17.(2022下•黑龙江鸡西•高一校考期末)设直线2的方程为(a+l)x+y-5-2a=0(aGR).

(1)求证：不论a为何值，直线2必过一定点P；

(2)若直线，分别与久轴正半轴，y轴正半轴交于点4(孙,0),B(0,yg),当△力。B面积最小时，求AdOB的周

长及此时的直线方程；

(3)当直线/在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线［的方程.

18.(2023下•重庆九龙坡•高一校考期末)圆0:/+y2=i,做0,1),p(—2,1),过P直线I交圆。于B,C两点,

且B在尸,C之间.

⑴记三角形43尸与三角形ABC的面积分别为Si与S2,求+言的取值范围；

(2)若直线4B,AC分别交x轴于M,N两点，|MN|=4,求直线/的方程.

19.(2022上•湖北武汉•高二校联考期中)如图，已知圆0:/+『=1,点p为直线％+2y-3四=0上一

动点，过点P作圆。的切线，切点分别为M、N,且两条切线PM、PN与x轴分别交于4、B两点.

⑴当P在直线丫=无上时,求|P川-|PB|的值；

(2)当P运动时，直线MN是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

20.(2022上•四川内江.高二校考期中)在平面直角坐标系尤Oy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点4(3,0),

且被y轴截得的弦长为2b.经过坐标原点。的直线/与圆C交于N两点.

⑴求圆C的方程；

(2)求当满足旃+20N=6时对应的直线/的方程；

(3)若点P(-5,0),直线PM与圆C的另一个交点为R,直线尸N与圆C的另一个交点为S,分别记直线/、直

线RS的斜率为七，k2,求证：卷为定值.

21.(2023上.广西贵港.高二统考期末)已知椭圆W:真+真=l(a>b>0)的离心率为右左、右焦点分别

为后,&,过尸2且垂直于X轴的直线被椭圆卬所截得的线段长为3.

(1)求椭圆W的方程；

(2)直线丫=5丘0)与椭圆卬交于48两点，射线叫交椭圆加于点C,若SA4BC=||，求直线AC的方程.

22.(2023上•四川成都•高二校联考期末)己知椭圆「的方程为马+'=l(a>6>0),称圆心在坐标原点0,

a2b2

半径为“2+炉的圆为椭圆「的“蒙日圆”,椭圆「的焦距为2,离心率为

⑴求椭圆r的方程；

(2)若直线E与椭圆「交于4、B两点，与其“蒙日圆”交于C、D两点，当|CD|=4时，求A/lOB面积的最大值.

23.(2023上•辽宁朝阳•高二校考期末)已知动点M(x,y)到定点N(W,0)的距离与M到定直线：久=手的距

离之比为苧，记点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知曲线C与y轴的正半轴交于点4,不与x轴垂直的直线I交曲线C于E,F两点(E,F异于点4),直线

分别与x轴交于P,Q两点，若P,Q的横坐标的乘积为京则直线1是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不

是，请说明理由.

24.(2023下•贵州黔南•高二统考期末)已知直线2x—y—1=0与抛物线C:/=2py(p>0)交于4B两点,

且|4B|=4V15.

(1)求P的值；

(2)设F为抛物线C的焦点，M,N为抛物线C上两点，两,同=0,求△MFN面积的最小值.

*2-,24

25.(2023下•北京海淀•高二清华附中校考期末)已知椭圆E：31V+3=l(a>b>0),离心率e=；,点4为

E的左顶点，点尸为E的右焦点，\AF\=3.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过点尸的直线1(不与久轴重合)与椭圆E交于M、N两点,直线AM、AN分别交直线x=4于P,Q两点，线

段PQ中点为R，△MPR,NRQ的面积分别为Si，S2,S3,求牛的值.

S2

26.(2023下•广东广州•高二统考期末)已知抛物线C:*=2px(p>0)的焦点为尸，点力(2,爪)在抛物线上,

且满足黑=*其中。为坐标原点.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)直线I与抛物线C相交于M、N两点，以MN为直径的圆过点P(l,2),作PD1MN,D为垂足.是否存在定

点Q，使得IDQI为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

27.(2023下•广东深圳•高二统考期末)已知双曲线C，—春=l(a>0,6>0)的离心率为店且C的一个

焦点到其一条渐近线的距离为1.

⑴求C的方程；

(2)设点4为C的左顶点，若过点(3,0)的直线1与C的右支交于P,Q两点，且直线4P,2Q与圆0:/+/=分

别交于M,N两点，记四边形PQNM的面积为ATIMN的面积为52，求詈的取值范围.

28.(2023下•重庆渝中•高二校考期末)已知双曲线C1(。/>0)的渐近线方程为'=±),

其左右焦点为Fi，尸2，点。为双曲线上一点，且ADaFz的重心G点坐标为G，乎).

(1)求该双曲线的标准方程；

⑵过无轴上一动点P(t,0)作直线/交双曲线的左支于A,B两点,A点关于x轴的对称点为4(4与8不重合),

连接BA并延长交x轴于点。问|OQ|・|OP|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.

29.(2023下•四川成都•高二校联考期末)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:《+，=l(a>b>0)的

右顶点为A，上顶点为2,AAOB的面积为近，离心率e=/.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为左的直线1与圆/+y2=1相切，且/与椭圆C相交于M,N两点，若弦长|MN|的取值范围为

[|,2V2],求丽•加的取值范围.

30.(2023下•上海青浦•高二统考期末)已知抛物线「:必=4x的焦点为F,准线为1.

(1)若F为双曲线。:a一2y2=l(a>0)的一个焦点，求双曲线C的方程；

(2)设/与％轴的交点为E,点P在第一象限，且在「上，若黑=乎，求直线EP的方程；

(3)经过点尸且斜率为k(k芋0)的直线Y与r相交于4、B两点，。为坐标原点，直线。4、0B分别与相交于点”、

N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.

31.(2023下•北京密云•高二统考期末)己知数列A：a1，a2,■■；an,■■■,满足的=0,|ai+il=\at+1|

(i=1,2,­••,n,­­•),数列A的前n项和记为Sn.

(1)写出S3的值；

(2)若as=-2,求S5的值；

(3)是否存在数列A,使得S2022=1011?如果存在，写出此时。2023的值；如果不存在，说明理由.

l

32.（2023下•江西吉安・高二统考期末）已知正项数列｛%J满足（册+1）九=（%1y+2（厮。1）,%=4.

（1）求数列｛厮｝的通项公式;

n2n

（2）证明：a<2+1-2

nn

（附：£之>n-…%九，xi>0，当且仅当第1=%2=%3=…=或九=1时取等号）

33.（2023下•辽宁•高二校联考期末）已知数列｛即｝是正项等比数列，且的=2,"二生=1,若数列｛b｝满

a2a3

足力2-:，匕九+1=5+%•

sun

（1）求数列｛%J和｛奶｝的通项公式；

（2）已知c九=--1----，记S九=q++…+4.若S九>也，恒成立，求实数t的取值范围.

bnbn+1-a-n+ln2

/-I\H—1

34.（2023上•上海浦东新•高二校考期末）已知数列｛即｝满足的=ltan=t-an_1+（或（neN*,n>2）,tG

R.

（1）若t=1,求数列｛。九｝的通项公式；

（2）若t=£求证:数列｛9%｝为等差数列，并求｛an｝的通项公式；

（3）对于（2）中的数列｛a",设b“=8n-即，则数列｛加｝是否有最大项，如有，请求出是第几项，若没有,

请说明理由.

35.（2023上•北京通州•高三统考期末）约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数小（根力0）除得

的商正好是整数而没有余数，我们就称Q为m的倍数，称血为Q的约数.设正整数Q共有k个正约数，即为的,。2,

CLk_ltak(的<a2<>,<以).

⑴当k=4时，若正整数a的/c个正约数构成等比数列，请写出一个Q的值；

(2)当kN4时，若@2-。1，。3-。2,…,以一以-1构成等比数列，求正整数G；

2

(3)记A=ara2+a2a3(--\-ak-rak,求证：A<a.

36.(2023上•江苏南通・高二统考期末)在①“2-2Sn+1+Sn=4；②鹫-^=2；③卷±1=8这三个

条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.

问题：已知等差数列｛即｝的前w项和为立,满足aio=S4,且________，

(1)求｛5｝的通项公式；

⑵设数列圉的前n项和为加求满足7；<手的最大整数n的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

37.(2023上•天津宁河•高三校考期末)已知数列｛厮｝是公差为1的等差数列，且的+a2=。3,数列｛%｝是

等比数列，且瓦•b2=b3,a4=4瓦-等

(1)求｛厮｝和｛%｝的通项公式；

⑵令①=:屋，求证：d1+d2+d3+-+dn<2；

1_2”[

in

(3)记％=a2n.ia2n+3~—其中keN*,求数列｛cn｝的前271项和S2n.

(2a九—1)'bn,n=2k

38.(2023下•天津•高二校联考期末)已知数列｛即｝的前n项和为%=1且=3Sn+l(neN*)；等差

数列｛/｝前几项和为%满足乃=49,既=9.

(1)求数列｛an｝,也｝的通项公式；

(2)设％=bn-鬻，求数列｛“｝的前几项和；

(3)设匕=ban+1+ban+2+…+ban+n,若V4>0,对任意的正整数n都有万-fcA+；>壬恒成立，求k的

717171

3Pn-Tl

最大值.

39.(2023下•上海宝山•高二统考期末)在数列｛即｝中，a=在等差数列也｝中，前几项

n(乙Q九—1ID,fl4

和为Sn,瓦=2,2b3+S5=28.

(1)求数列｛%J和｛5｝的通项公式;

⑵设数列｛%｝满足％=(即+3力九)3而，数列｛c九｝的前几项和记为加,试判断是否存在正整数m,使得7=

2023?若存在，求出租的值；若不存在，说明理由.

40.(2023下•上海•高二期末)对于任意的nEN*,若数列也九｝同时满足下列两个条件，则称数列｛册｝具有“性

质m”：

①咄产〈即+1；②存在实数使得%1MM成立.

(1)数列｛%J、也｝中，。九=九/九=2sin等(九=1,234,5),判断｛%J、｛b九｝是否具有“性质加'；

(2)设各项为正数的等比数列｛4｝的前"项和为%,且C3=],S3=：,数列｛S“｝是否具有“性质机”，若具有，

请证明你的猜想，并指出〃的范围；若不具有，理由？

(3)若数列｛4J的通项公式%=t(32：7+i5eN*).对于任意的n>3(n6N*),数列｛%｝具有“性质ni',

且对满足条件的M的最小值Mo=9,求证：t=3.

41.(2023上•江苏常州•高二统考期末)已知函数/'(尤)=e*-a久一cosx(aeR),且曲线y=/(x)在原点处

的切线方程为久+y=0.

(1)求实数a的值；

(2)讨论/(久)在R上的零点个数，并证明/(久)>-V2.

42.(2023下•北京海淀•高二清华附中校考期末)已知函数f(x)=ln(ax+b)-/在点。/口))处的切线方

程为y=—x.

(1)求a、6的值：

(2)求函数/(久)的单调区间；

(3)令g(x)=/'(久)+1/-mx,若函数g(x)的极小值小于0,求小的取值范围.

43.(2023下•黑龙江双鸭山•高二校考期末)已知函数/(久)=卷。

(1)求f(x)的单调区间；

(2)存在％1，久2e(1,+8)且XIX2,使|/(X1)-2k|ln%i-ln%2l成立，求k的取值范围.

44.(2023上•上海松江•高三统考期末)已知函数y=/(x),记/(久)=x+sinx,x&D.

(1)若D=[0,2TT],判断函数的单调性；

(2)若D=(。,手，不等式/(x)>kx对任意久G。恒成立，求实数k的取值范围；

(3)若。=R,则曲线y=/(x)上是否存在三个不同的点使得曲线y=/(*)在4B,C三点处的切线互相

重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由.

45.(2023下•重庆江津•高二校联考期末)已知函数/(x)=xlnx—37n/—居7neR.

(1)若g(x)=尸0)(/Q)为/(x)的导函数)，求函数g(x)的单调区间；

⑵求函数g(x)在区间[l,e]上的最大值；

(3)若函数/(x)有两个极值点大右)，求证：『一+9->2.

46.(2023下•山东威海•高二统考期末)已知函数/。)=急.

(1)若/Q)在区间(0,a)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)存在两个极值点与，%2.

(i)求实数a的取值范围；

(ii)证明:xr+x2>2a.

47.(2023下•吉林长春•高二长春十一高校考期末)已知函数/(久)=aln,—久，g(x)=ax-aex.(e=

2.71828…为自然对数的底数)

(1)当a=1时，求函数y=/(久)的极大值；

Xz

(2)已知久1，x2G(0,+oo),且满足/(石)>］(亚)，求证：+ae>2a.

48.(2023下•辽宁•高二校联考期末)已知函数/(X)满足/=elnx,且f(e)=1,函数由比)=

—X2+2ax+4.

(1)求f(x)的图象在久=e处的切线方程；

(2)若对任意X】G(l,e］,存在久2e［1,2］,使得/(久1)>。(久2)，求a的取值范围.

49.(2023下•内蒙古赤峰•高二校联考期末)己知函数f(x)=x(alnx—x—1).

⑴当a=1时，讨论;'(%)的单调性;

(2)令g(x)=-x,若/(X)=g(x)有两个不相等的实数根的,刀2.

(i)求a的取值范围；

2

(ii)求证：xr-x2>e.

50.(2023上•上海浦东新•高三统考期末)设y=f(久)是定义在R上的函数，若存在区间［a,切和殉e(a,6),

使得y=f(x)在［a,久。］上严格减，在［%。,加上严格增，则称y=/(%)为“含谷函数”，龙。为“谷点”，［。，句称为y=

f(x)的一个“含谷区间

(1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：

(i)y=2|x|,(ii)y—x+cosx；

(2)已知实数7n>0,y=——2%—mln(%—1)是含谷函数，且［2,4］是它的一个含谷区间，求m的取值范围;

(3)设p,q6R,/i(x)=—x4+px3+qx2+(4—3p-2q)x,设函数y=h(%)是含谷函数，［a,5］是它的一个

含谷区间，并记b—a的最大值为L(p,q).若以1)4版2),且h(l)<0,求L(p,q)的最小值.

高二上学期期末考试解答题压轴题50题专练

【人教A版(2019)]

1.(2023上•山东潍坊•高二统考期末)已知向量2=(居1,2),b=(l,y,-2),c=(3,1,z),且力/B,b1c..

(1)求向量出b,5的坐标；

(2)求a+己与3+1所成角的余弦值.

【解题思路】(1)由空间向量平行与垂直坐标公式列出方程组，即可求解；

(2)利用空间向量的夹角坐标公式，即可得解.

【解答过程】(1)•.,向量a=0,1,2),b=(l,y,-2),c=(3,l,z),且刃万，b1c,

易知y丰0,否则江〃另不成立，

X_1_2

1'-2,解得%=—1,y=-1,Z=1.

3+y—2z=0

**•向量五=(—1,1,2),b=(1,—1,-2),c=(3,1,1).

(2)・・・/+3=(2,2,3),b+c=(10,-1),

•,*(d++?)=2x4+2x0+3x(-1)=5,

\a+c\=V22+22+32=VT7，|b+c|=J42+()2+(—1)2=y/yj

向量B+1与石+/所成角的余弦值为(=?%+?=后%=也

\a+c\\b+c\V17XV1717

2.(2023下•江苏宿迁・高二统考期末)在四棱柱48CD—4B1GD1中，D^E=kD^A,D^F=kD^B,*=

kDrC,D1H=k^D.

(1)当k=三时，试用彳瓦而，丽表示屈；

(2)证明：E,F,G,H四点共面；

(3)判断直线AQ能否是平面4AB和平面ADC的交线，并说明理由.

【解题思路】(1)直接利用空间向量线性运算可得衣=荏+而，再根据已知关系标=*而，豌=*-

D^=^AB,进行化简可得出结果.

4

（2）可设尼=XAB+〃砺（4,〃不为0）,由题意可化简得到的=kAC,将前=XAB+〃前代入并结合题

意可化简得出说=4而+〃丽，即可证明出E,F,G,H四点共面.

（3）先假设面D14BC面根据棱柱的性质，可得出DC〃平面进而得出DC〃AB,反之

当DC7/4B,可判断出AGu平面AGu平面DC5,得出平面AB%C平面。。。广久心，得出当

DC〃/1B时，直线AG是面和面D/C的交线，反之不行，从而得出结果.

【解答过程】（1）通=族+丽=（丽+五F—庠=3丽+|审—|取

J丽+三荏上河+^AD+三荏；

4144144

（2）设方=4屈+〃而（九〃不为0）,

EG=1\G-D^E=ki\C-kD^A=kAC

=k（入AB+fiAD）=kXAB+kfiAD=kX（DrB—DxX）+/j.k（D1D—DM）

=4（印-屁）+n（D^H-O）=AEF+面

则前，EG,南共面且有公共点E,则E,F,G,H四点共面；

（3）假设面必48C面。iDC=。停1，在四棱柱ABC。-4/1的。1中，

DC//DrCr,DQu面48%DC^ABD1,则DC〃平面

又DCu面4BCD,面ABD】C面力BCD=AB,贝UDC//AB；

反过来，当DC//4B时,因为OC〃Z\Ci，则4B〃/Ci，

则AB,AG确定平面4BD1Q

则£>iCu平面ABDi，

又因为AGu平面。CD],

所以平面ABAC平面DCDi=ACi，

所以。C〃AB是直线4的是面和面D/C的交线的充要条件；

所以，当。。/4B时，直线AG是面。MB和面4DC的交线；

当DC,AB不平行时，直线AG,不是面/AB和面ADC的交线

3.(2023下•浙江舟山•高二统考期末)如图,在三棱柱4BC-4/1Q中，底面是边长为2的正三角形,=

乙414C=45°,平行于441和BC]的平面分别与4伉4&&。1，2/1交于。E,F,G四点.

(1)试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；

(2)若44]=3,。是4B的中点，求直线DF与平面ABC所成角的正弦值.

【解题思路】(1)首先根据面面平行的判定以及面面平行的性质证明线线平行，然后证明四边形DEFG是

矩形；

(2)首先求出F到平面4BC的距离，然后求解直线DF与平面ABC所成角的正弦值；

【解答过程】(1)四边形。EFG是矩形，下面给出证明：

因为IICG，由题意"i〃平面。EFG,8Ci〃平面DEFG,

CCt0SQ=Ct,CC],BC】u面BCQB1，

所以平面BCG%//平面DEFG,又平面4幽41n平面。EFG=DG,平面4咽力1CI平面BCC/】=BBr,

所以DGIIBB1,同理EF||CClt又CC、IIBB「

所以DG||EF,同理DE||BC||||GF,

所以四边形DEFG是平行四边形.

取BC中点P,连接4P、ArP,贝lapIBC.

又因为△4B&ACAi，所以4B=&C,故有&P1BC.

AP.AjP交于P且都在面AAjP内，所以BC1平面44iP,又

所以BC_L44i，

综上知：DE1DG,即四边形DEFG是矩形.

(2)设F到平面4BC的距离为八,即为&到平面2BC的距离.

作Ai"14P交2P于点”，由(1)及BC在面ABC内知：平面441P1平面2BC,

而A尸为两垂直平面的交线，48在面AVP内，所以1平面=&H.

设直线。尸与平面ABC所成角为巴贝ljsin6=2.

DF

设A4i=3,在44B&中余弦定理知：A1B=,9+4-6/=J13-6/=ArC,

在小&BC中，ArP=J&B2_1=712-6V2,

AA1+APA1P

在AaiAP中，AP—V3,coszX1y4P—~.—所以sinZTliAP=包,

2AA^'AP33

h=ArH=AAt-sinZ.ArAP=V3.

DF=y/FG2+DG2=VT+9=V10,

所以sE"JI=*

所以直线。尸与平面ABC所成角的正弦值为当；

10

解法二：设DF与面4BC所成角为aF到面4BC距离为％,设BC中点P,

因为面241Pl面4BC,所以COSN&4P=鬻黑=专=争

~2~

所以h=dAi.ABC=AAr-sinZi4ti4P=3•曰=V3,

又在矩形DEFG中，DF=V9TT=V10,所以sinJ=2=®

DF10

解法三：向量法

作C。垂直4公交241于。，连接B。，易知Aac。三AAB。，则B01A公

所以NCOB即为二面角C-441一B的平面角，CB=2（0=BO=V2,

fffl^CO2+BO2=BC2,所以ZCOB=90。，即。C10B,

如图以。为坐标原点，。&、OB,0c分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则4（-短,0,0）,B（0,V2,0）,C（0,0,V2）,D（-y,y,0）,F（3-y,0,,

所以荏=（V2,V2,O）,ZC=（V2,0,V2）,

设面4BC的法向量为元=（x,y,z）贝J',空一YI"+YE'—°,令x=L得y=-l,z=-l,则元=

kn-AC=V2x+V2z=0

而二（3,栏聋,

设DF与面ABC所成角为仇

sin"\cos（DF,n）\=繇=益=*

4.（2023下•浙江台州•高一温岭中学校考期末）如图，已知四棱台ABC。—a/iGA的底面是菱形，且N48C=

60°,侧面ABB14是等腰梯形，AB=32/1=6,84=2VXCG=4,E为棱。4上一点，且。遂二^^江

4

⑴求证：平面4BB141平面ABCD；

（2）若过点C,E的平面a与BD平行，且交直线力久于点F,求二面角F-CB一。的余弦值.

【解题思路】（1）延长四棱台的四条侧棱交于点P,取4B中点0,证明P。1平面ABC。后可得证面面垂直;

（2）以。为原点，O4OQOP分别为%,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。一xyz,首先求出平面a的一

个法向量，确定出F与4重合，再由向量法求得二面角.

【解答过程】（1）分别延长四棱台的四条侧棱交于点P,则由48=34/1，A41=BB]=2迎得P&=PBr=

=V2,

又4%=2,所以P击+P屏=&虏，即△0&名为等腰直角三角形，从而APAB为等腰直角三角形，P是

直角顶点，

取4B中点。，连接PO,则PO=14B=3,PO1AB,

又PC=|CQ=6,由题意△力CB是等边三角形，因此C014B,OC=~AB=3A/3,

所以PC?=。。2+。。2,所以p。，。。，

又4BC0C=。，u平面2BCD,所以「。_1平面48。。，

因为P。u平面488送1，所以平面4峭411平面4BCD；

(2)以。为原点，。4。&<^分别为%,%2轴建立空间直角坐标系。一孙2,如图，

则。(6,38,0),P(0,0,3),E(3,苧,|),C(0,3V3,0),4(3,0,0),B(-3,0,0),

CE=(3,—苧,|),丽=(9,373,0),

设平面a的一个法向量是记=(x,y,z),则，记.遗=°,

乐I•BD=0

□35/33

即3芯_三、十±z_u,取％=1,则y=_W,z=-5,即沆=(1,_百,_5),

9%+3V5y=0

设标=AAP=(一3尢0,3/1),则而=CA+AF=(3-3Af-3^3,3A),

--->O

所以CF-m=3-3A+9-15Z=0,A=|,

所以尸与4重合.

所以二面角尸-CB—O即为二面角4—C8-£),

BC=(3,3V3,0),=(4,0,2),

设平面41cB的一个法向量是元=(a,b,c),

则/B三3a+3同=0,取°=i,得元=(_b1)2V3),

又平面BCD的一个法向量是五=(0,0,1),

/->n/c2A/3A/3

COS(Tl,K)=LI=/——=—，

''同同V3+1+12X12

所以二面角F—CB—。的余弦值是弓.

5.(2023下•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末)如图，尸为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AC为底面

直径，△480为底面圆。的内接正三角形，且△48。的边长为百，点E在母线PC上，且=CE=1.

p

(1)求证：直线PO〃平面BDE,并求三棱锥P-BDE的体积：

(2)若点M为线段P。上的动点，当直线DM与平面48E所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面ABE的距离.

【解题思路】(1)设2CCBD=F,由正弦定理和三角形相似关系可证得EFL力C,结合面面垂直的性质

可证得平面4BD,由此可得PO〃EF,由线面平行的判定可得结论；由平行关系可得0_BDE=%-BDE，

根据棱锥体积公式可求得结果；

(2)以尸为坐标原点可建立空间直角坐标系，设施=根据线面角的向量求法，可确定当2=|时，sin。

取得最大值，由此可确定前彳，利用点到面的距离的向量求法可求得结果.

【解答过程】(1)设ACnBD=F，连接EF,

,•・△48。为底面圆。的内接正三角形，・•.AC=当=2,F为8。中点,

si吗

又4尸=3--=-,CF=2--=-,AO=-AF=1；

742223

AE=V3,CE=1,.-.AE2+CE2=AC2,•••AE1EC,

AFAF

•.•竺=竺，；

AEAC-.^AEF^AACE,/.AFE=Z.AEC,•­•EFLAC

•••P。J•平面力BD,POu平面P4C,二平面P4C_L平面ABD,

•••平面P4C。平面4BD=AC,EFu平面PAC,EF，平面4BD,

又P。1平面2BD,EF//PO,

■：PO仁平面BDE,EFu平面BDE,P。〃平面BDE；

••,F为BD中点，AFLBD,即。FJ.8D,

又EF1平面ABD,OF,BDc^FffiXFD,EF1OF,EF1BD,

•••EFCBD=F,EF,BDu平面8DE,OF1平面8DE,

EF=y/AE2-AF2=3--=—,EF1BD,,­.S,=-BD-EF=-Xy/3x—=-,

q42ABDE2224

又OF="F=|,PO〃平面BDE,

11311

=XX=

Vp-BDE=VO-BDE=三DS^BDE'。9oD77Zpo-

(2)vOF=CF=I，F为。C中点，又PO〃EF,•••E为PC中点，PO=2EF,

：.PO=V3,PC=2,

以F为坐标原点，而，而，而正方向为x,y,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则4(0,_|,0),B(y,0,0),F(0,0,y)<£>(-y,0,0),0(0,-j,0),P(0,-|,V3),

.•・荏=（今|,0）,荏=（。,|片），诃=（。,0,旬，丽=（今/。），育=（今-|,0）,

设丽=WP=(0,0,V3A)(0<2<1),.-.DM=Dd+OM=(y,-|,V3A)；

设平面4BE的法向量元=（x,y,z）,

(AB-n=~x+-y=0

则《23.,令y=—1,解得：x=V3,z=V3,n=(V3,—1,V3),

荏•元=三丫+如z=0

I2，2

设直线DM与平面/BE所成角为仇

|2+3A|

sin。=।—qI-；

|DAf|-|n|V7xV3A2+l

令t=34+2,贝IjtC[2,5],%=T，

(t-2)2

3M+1_3+1_t2-4t+7

(3A+2)2~t2~3t2

111-23A2+111

•・•-G闿=即a=机寸,(3A+2)2]

.52.7亚

min47’

•••(sin0)max==1,此时而=(f,一

V7XJi'222，

■■.MA=DA-DM=(0,-1,-y),

.•.点M到平面力BE的距离d=呻=4=5.

\n\V714

6.(2023下•重庆沙坪坝•高一校考期末)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公

垂线.如图，在菱形4BCD中，ABAD=60°,将AABD沿BD翻折，使点A到点尸处.E,F,G分别为BD,PD,

BC的中点，且FG是PD与BC的公垂线.

(1)证明：三棱锥P—BCD为正四面体；

(2)若点M,N分别在PE,BC上，且MN为PE与BC的公垂线.

①求黑的值；

ME

②记四面体BEMN的内切球半径为r,证明：；〉力+力.

2rEMBN

【解题思路】(1)作出辅助线，证明出线面垂直，得到BCLPG,由三线合一得到PB=PC,进而得到六

条边均相等，证明出结论；

(2)①设出边长，由余弦定理得到COSNPEC=设出丽=APE.BN=画,表达出而=(1一〃)丽+

(1EC+(2-1)£T,利用而•前=标•阮=0列出方程，求出九得到答案；

②取中点Q,令乙MEQ=a,则E到平面MBN的距离为d=MEsina,表达出VE_MBN<3ME•BN•MN,

6

再利用四棱锥内切球半径得到/_MBN=1s•r,其中S>MN•(ME+BN),进而得到不等式，求出答案.

【解答过程】(1)连接PG,DG,

因为菱形4BCD