2024-2025学年沪科版九年级数学上册期末冲刺复习：四类手拉手相似模型（解析版）

专题13四类手拉手相似模型

目录

解题知识必备..............................................

压轴题型讲练..............................................

类型一、任意三角形............................................................2

类型二、等腰三角形...........................................................14

类型三、直角三角形..........................................................24

类型四、等边三角形或等腰直角三角形.......................................33

压轴能力测评(10题).....................................

“解题知识必备♦♦

"手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的顶点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的

图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。

1、利用三边证相似三角形的方法

(1)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.

可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.

(2)利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边之间注意的对应关系，主要运用短对短、长对长、

中间对中间的方法找对应边另外要注意两个三角形的先后顺序.

2.利用两边及其夹角判断两个三角形是否相似的方法

(1)如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.

可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.

(2)利用两边及其夹角判断两个三角形是否相似的方法：依据题目给出的条件，若存在一组角对应相等，

则需要判断出该角的两边是否成比例.若成比例，则两个三角形相似；若不成比例，则两个三角形不相似

若存在两组边成比例，则需要判断两边的夹角是否相等.若相等，则两个三角形相似；若不相等，则两个

三角形不相似。

3.利用两角判定两个三角形相似的方法

(1)如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.

(2)利用两角判定两个三角形相似的方法：如果根据已知条件，在两个三角形中不能直接找出两个角分别

相等，那么可先结合三角形内角和定理、对顶角等知识，设法求出其中一个三角形中的第三个角，再判断

两个三角形中是否有两角分别相等，若有，则两个三角形相似，否则两个三角形不相似。

X压轴题型讲练♦♦

于点R.点。在5c边上，空=6,求空的值；

BDCF

拓展创新：如图(3),。是VABC内一点，ABAD=ZCBD=30°,ZBDC=9Q),AB=4,AC=1^3,直

接写出AO的长.

ACARAT

【分析】问题背景：通过得到布=石,-—,再找到相等的角，从而可证

AE

△ABDs^ACE；

尝试应用：连接CE,通过4csmE可以证得AABD“AACE，得至U些=丝，然后去证AAFEs^DFC,

CEAE

△ADFs/xECF,通过对应边成比例即可得到答案；

拓展创新：在AD的右侧作团DAE二团BAC,AE交BD延长线于E,连接CE,通过4cs,^BAD^CAE,

然后利用对应边成比例即可得到答案.

【详解】问题背景：回△ASCS^ADE,

ABAC

团团BAC二团DAE,­=一,

ADAE

团团BAD+团DAOCAE+团DAC,

团团BAD二团CAE,

团△ABD-△ACE；

尝试应用：连接CE,

ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=30),

0ABACSJDAE,

「ABAD

回——=——,

ACAE

团团BAD+团DAC=CAE+团DAC,

团团BAD二团CAE,

团^ABDs^ACE,

BDAD

团---=---，

CEAE

由于NAD石=30°,NDAE=90°，

AE_仙

团口"30°=

~AD~~T

即胆=丝=后

CEAE

ADr-

0——二J3,

BD

ADc

团——=3

CE

0ZBAC=Z£)AE=90°,ZABC=ZADE=30°,

0ZC=ZE=6O\

又回NAFE=NDFC,

团AAFES/\DFC,

AFEF口口AFDF

团=艮口=

DFCF9EFCF

又田NAFD=NEFC

0Z\ADFS&ECF,

DFADc

团——=­二3；

CFCE

拓展创新：AD=yf5

如图，在AD的右侧作团DAE二团BAC,AE交BD延长线于E,连接CE,

A

回回ADE二团BAD+团ABD,团ABC二回ABD+回CBD,ZBAD=ZCBD=30°,

团团ADE二回ABC,

又团团DAE二回BAC,

团ABACS/JJAE,

ABACBC

回一=

ADAE-DE

又团团DAE二回BAC,

丽BAD二团CAE,

团ABAD^^CAE,

„BDABAD42^

回_______—___—___—___

CEAC-AE-2石3

设CD=x,在直角三角形BCD中，由于EICBD=30。,

回8。=氐，BC=2x,

3

团CE=—x,

团-------,

ADDE

4_2x

回A£）一君，

——X

2

0AD=>/5

【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

【变式训练1】.在VABC和VADE中，BA=BC,DA=DE,且/ABC=/ADE=a,点E在VABC的内

部，连接EC,EB,EA和8。并且ZACE+ZABE=90°.

【观察猜想】

（1）如图①，当。=60。时，线段80与CE的数量关系为,线段EA,EB,EC的数量关系为

【探究证明】

（2）如图②，当a=90。时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由;

【拓展应用】

（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=2石，请直接写出V3DE的面积.

【答案】（1）BD=CE,EB2+EC2=EA2;（2）不成立，理由见解析；（3）2

【分析】（1）由△■DABaaEAC（SAS）,可得8D=EC,SABD^CE,由EACE+EIABE=9O°,推出EABD+0ABE=9O°,

可得回。2£=90。，由此即可解决问题；

（2）结论：EA^E^BE2.由题意"BC,"DE都是等腰直角三角形，想办法证明AIM施回£AC,推出

—,0ACE=0AB£）,可得回。2£=90°,推出。讲力6+吕尽，即可解决问题；

ECAC2

(3)首先证明AZXDE=EC,设AZXDE=EC=x,在R〃AZ)C中，利用勾股定理即可解决问题;

【详解】(1)如图①中，

图①

0BA=BC,DA=DE.且0ABe=EIAOE=60。,

00ABC,AADE都是等边三角形，

0AD=AE,AB=AC,0DAE=0BAC=6O°,

E0£>AB=0EAC,

EHDABEBE4c(SAS),

SBD=EC,^ABD=SACE,

EB4CE+EABE=90°,

00ABD+EABE=9O°,

0EDBE=9O",

^DE2=BD2+BE2,

^}EA=DE,BD=EC,

^\EA2=BE2+EC2.

故答案为：BD=EC,EA^EB^EC2.

(2)结论：EA?=EC2+2BE2.

理由：如图②中，

图②

0BA=BC,DA=DE.且EABC=ElA£)E=90。,

aaABC,AADE都是等腰直角三角形，

H3D4E=I3BAC=45°,

E0DAB=0£AC,

^AD_母AB一夜

团---，---，

AE2AC2

ADAB

团-------，

AEAC

说DAB团团E4C,

DBABJ2

回一=—=—,^ACE=^ABD

ECAC29

0[?1ACE+[?1ABE=9OO,

0[7]AB£)+[MBE=9OO,

团团D5E=90°,

⑦DE2=B》+BE2,

0EA=6DE,BD=§EC,

E-EA2=-EC2+B£2,

22

SEA2=EC2+2BE2.

(3)如图③中，

图③

H3AED=45°,D,E,C共线，

aa4EC=135°,

BSiADB^EAEC,

fflAO8=EIAEC=135°,

0EIADE=0£)BE=9OO,

^EBDE=^BED=45°,

SBD=BE,

回DE=y/2BD,

0£C=^/2BD,

^AD=DE=EC,设AD=DE=EC=x,

在AfZVlBC中，回A8=BC=20，

EL4c=2而，

在RtxADC中，

SAiy+D^AC2,

ELr2+4x2=40,

Bv=2及(负根已经舍弃)，

SAD=DE=272，

^\BD=BE=2,

0SBD£=-X2X2=2.

A2

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等

三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或

相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

【变式训练2】.在0ABe中，AB^AC,SBAC=a，点P是0ABe外一点，连接8P,将线段8尸绕点尸逆时

针旋转a得到线段PD,连接BD,CD,AP.

观察猜想：

图1图2图3

CD

(1)如图1,当。=60。时，f的值为，直线CQ与AP所成的较小角的度数为°；

AP

类比探究：

CD

(2)如图2,当a=90。时，求出大的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；

AP

拓展应用：

(3)如图3,当a=90。时，点E,尸分别为AB,AC的中点，点尸在线段小的延长线上，点A,D,P三

点在一条直线上，BD交PF于点G,CD交AB于点H.若CD=2+也，求2。的长.

【答案】(1)1,60；(2)*=下,直线C。与AP所成的较小角的度数为45。；(3)BD=也.

【分析】(1)根据a=60。时，EABC是等边三角形，再证明团PBAEHDBC,即可求解，再得到直线C£)与AP

所成的度数；

(2)根据等腰直角三角形的性质证明团PBA酿DBC,再得到工=黑，再根据相似三角形的性质求出直线

APAB

CD与AP所成的度数；

(3)延长CA,BO相交于点K,根据直角三角形斜边上的中线性质及中位线定理证得aBC£>=E!KCQ,由

(2)的结论求出AP的长，再利用在R/0PB。中，设PB=PD=x,由勾股定理可得BO=&x=A。，再列

出方程即可求出无，故可得到的长.

【详解】(1)取x=60°,AB=AC,

国ABC是等边三角形，

^\AB=CB

团将线段BP绕点P逆时针旋转a得到线段PD,

加80P是等边三角形，

国BP=BD

^1PBA=^PBD-^ABD=600-^ABD,^DBC=^ABC-^\ABD=60°-^ABD,

^\PBA=WBC

^\AP=CD

CD

回一=1

AP

如图，延长CO交A3,AP分别于点G,H,则财”。为直线CD与AP所成的较小角,

团团尸BA团/DBC

团回二团OC3

团团"GA二姐GC

团朋HC=0ABC=6O°

故答案为：1,60；

(2)解：如图，延长CO交ASA尸分别于点M,N,则朋NC为直线CO与”所成的较小角,

^\AB=AC,咏。=90°,

00ABC=45°.

ABF)

在Rf^ABC中，——=cos0A3C=cos45。=一.

BC2

⑦PB=PD,回5尸。=90°,

瓯尸回尸£)3=45°.

.,PB&

在Rt^PBD中，一=cos0PBD=cos45°=—.

BD2

48PB

团一=——,^ABC=^\PBD.

BCBD

00ABC-0ABD=aPBD—^\ABD.

即回尸84=团。3。.

^BPBA^DBC.

CDBCr-

0一=一=正,^PAB=^DCB.

APABz

^\AMN=^\CMB,回0ANC=SA3C=45°.

即子=血，直线CO与AP所成的较小角的度数为45。.

/\r

⑶延长CA,5。相交于点K,如图.

配1AP3=9O°,E为A3的中点，BEP=EA=EB.

团团胡尸=团石必，^\EBP=^EPB.

团点E,F为AB,AC的中点，

SPF//BC.

mAFP=^ACB=^PBD=45°.

^\BGP=BFGKf

mBPE=BK.

^\K=BEBPf

团团E5P=回尸E8,^PEB=^DBC,

团团K=IEC5D

^\CB=CK.

函BCD=团KCQ.

由⑵知她OC=回尸05=45°,BPBA^\DBC9

^\PAB^DCB.

团团3£>C=180°—45°—45°=90°=团BAC.

^BHD=^\CHA,

^\DBA=^\DCA.

酿03A=团以8

^\AD=BD.

由（2）知DC=6AP,

她p=^^|=]+啦.

V2

在R烟尸中，PB=PD=x,由勾股定理可得BD=JPB2+PD2=g=AD.

^1AD+PD=x+yf2x=AP=l+72.

1.

^BD=y/2■

【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键熟知旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形

的判定与性质及解直角三角形的方法.

【变式训练3].（1）尝试探究：如图①，在ZL4BC中，ZACB=9Q°,ZA=30°,点、E、尸分别是边2C、AC

上的点，且EFI3AB.

①桨的值为：

DE.

②直线"与直线BE的位置关系为;

（2）类比延伸：如图②，若将图①中的ACEF绕点C顺时针旋转，连接AF,BE,则在旋转的过程中，

请判断黑的值及直线AF与直线3E的位置关系，并说明理由；

BE

（3）拓展运用：若3c=3,CE=2,在旋转过程中，当房后,斤三点在同一直线上时，请直接写出此时线段

题的长.

【答案】（1）①后，②AF_L3E;（2）竺=有，AF_L3E,证明见解析；（3）AF=3也-6或AF=3及+△

BE

【分析】（1）①由锐角三角函数可得AC=GBC,CF=V3CE,可得AF=AC-CF=G（BC-CE）,BE=BC-CE,

即可求”AF=6r-;

BE

②由垂直的定义可得AF0BE；

A/ACr-

(2)由题意可证ElACFaSBCE,可得一=—=^3,[2FAC=0CBE,由余角的性质可证AFI3BE；

BEBC

(3)分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求AF的长.

【详解】解：(1)团ZAC5=90。，ZA=30°,

向八BC有

0tanZA=-----=——，

AC3

^\EF//AB,

0ZCFE=ZA=3O°,

121tanZCFE==——，

CF3

出CF=®JE,

BAF=AC-CF=^(BC-CE)f

BE=BC—CE,

AFrr

团一=J3,

BE

^\ZACB=90°,

团AF_L6石，

故答案为：百，AF±BE；

AF

(2)—=Jr5,AF±BE

BE

如图，连接延长班:交〃，于G,交AC于点H,

回旋转，

国NBCE=NACF,

0AC=V3BC,CF=V3CE

团---=---=,且ABCE=AACF,

BCCE

aMCF^ABCE,

ApAC_

E—=—=V3,NFAC=NCBE,

BEBC

国NCBE+NBHC=90°,

SZFAC+ZAHG^90°,

SAF±BE；

(3)①如图，过点C作CGLAb交AF的延长线于点G,

SAC=y/3BC,CF=6CE,BC=3,CE=2,

EIAC=35CF=26,

回NCFE=30°,NFCE=90。,

回/FEC=60。，且民瓦尸三点在同一直线上，

EZCEB=120°,

回旋转，

EZAFC=ZBEC=120°,

0ZCFG=60°,且CG_LAF,

0GF=1cF=^,CG=y/3GF=3,

AG=VAC2-CG2=A/27-9=3A/2，

@AF=AG-FG=3^-C；

②如图，过点C作CG_LAP于点G,

0AC=A/3BC,CF=6CE,BC=3,CE=2,

0AC=3A/3,CF=2^,

BZCFE=30°,NFCE=9Q。,

回NFEC=60°,

回旋转，0ZAFC=ZBEC=60°,且CG_LAF,

EGF=-CF=^,CG=A/3GF=3,

2

^AG=yjAG2-CG2=372，

0AF=AG+GF=3A/2+V3.

【点睛】本题是相似综合题，考查了平行线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股

定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.

类型二、等腰三角形

例.如图1,在VABC中，AB=AC,ZBAC=a,D,E分别为AB,BC边上的点，连接。E,且BD=DE,

将ADBE绕点B在平面内旋转.

AA

Aa工二

BECBCBC

图1图:2图3

A

E'/

BECBEC

图4图5

An

⑴观察猜想：若々=60。，将△射绕点8旋转至如图2所示的位置，贝U==

CE

4D

⑵类比探究：若&=90。将绕点B旋转至如图3所示的位置，求黑的值;

⑶拓展应用：若a=90。，。为AB的中点，AB=2插,如图4,将ADBE绕点2旋转至如图5所示位置

（ADUBE）,请直接写出线段A0的长.

【答案】（1）1

CE2

⑶近+1

【分析】（1）根据AB=AC,BD=DE,ZBAC=a=60°,可得VABC、V3DE均为等边三角形，可证明

An

ABDA^ABEC,即可得到一的值;

CE

（2）根据AB=AC,BD=DE,ZBAC=a=90°,可得VABC、VBZ汨均为等腰直角三角形，可证明

△BDAs^BEC,即可得到k的值；

CE

(3)根据a=90。，D为AB的中点，AB=2也，可以得到3。及3E'的长度，根据AZ/_L3E',可得。月

及的长度，利用勾股定理即可确定A"的长度，根据图5可得=M+即可确定AZ7的长度；

【详解】(1)解：SAB=AC,BD=DE，ABAC=a=60°,

SVABC,VfiDE均为等边三角形，

^\BA=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=60°,

即：ZDBA+ZABE=ZABE+ZEBC=60°,

SZDBA=ZEBC,

在△B/M和VBEC中，

BD=BE

<NDBA=NEBC,

BA=BC

0△BDA冬△BEC(SAS),

团AD=CE,

即：—=1

CE

故答案为：1

(2)^\AB=AC,BD=DE,ZBAC=a=90°f

团VABC、VHL史均为等腰直角三角形，

0—=—,—=—,ZABC=ZDBE=45°,

BC2BE2

即：ZDBA+ZABE=ZABE+ZEBC=45°f

国NDBA=NEBC,

在△皮M和V3EC中，

BD_AB

<~BE~~BC,

ZDBA=ZEBC

田^BDAS^BEC

..ADABV2

CEBC2

即：处=立

CE2

(3)回a=90。，D为AB的中点，AB=2啦,

回8。'=后，BE'=2,

^AD'LBE',AU与BE交于点H,

^\BH=E'H=D'H=-BE'=l,

2

在RtZXABH中，

AH=y/AB2-BH1=7(272)2-I2=,

团如图5所示，AD'=AH+D'H=47+1

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理,

掌握旋转全等及相似模型是重点.

【变式训练1.问题发现

图(1),在△Q4B和AOCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=35°,连接AC,BD交于点M.

①黑的值为______;②NA7WB的度数为______.

BD

(2)类比探究

图(2),在△OAB和AOCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,连接AC,交3D的延长线于

点请计算短的值及N/皿方的度数；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，若OD=2,AB=8,将AOCD绕点。在平面内旋转一周.

①当直线。C经过点8且点C在线段80上时，求AC的长；

②请直接写出运动过程中/点到直线。3距离的最大值.

【答案】⑴①L②35。；(2)—=ZAMB=90°；(3)①AC的长为6+廊；②M点到直线

03距离的最大值为2石

【分析】(1)直接根据两个共顶点的等腰三角形证明AAOC四△BO£>(S4S),可以证明NO3D=NOAC,最

后在AOFB和4MFA中导角直接可以求解.

(2)改变三角形结构,直接通过判定△AOC和ABQD相似，同样可以用第一问的方式证明NOBD=ZOAC,

根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解NAMB的度数.

(3)深度理解题意，本质上问的就是当3,C,D,三点共线时，求DB的长，在利用△£)O3SACOA,对应

边成比例求AC的长，最值的求解，先找到点”和点。的轨迹，可以发现是在两个圆弧上运动，再利用

NM3O最大时，则M点到直线距离的最大，直接求解即可.

【详解】(1)ZAOB=ZCOD=35°,

0ZAOB+ZDOA=ZCOD+ZDOA,

SZCOA=ZDOB,

又回。4=03,OC=OD,

0^AOC^BOD^SAS),

团AC=BD,

故答案为：1;

②设AO与BD交于点R

由①知，AAOCRBOD,

^\ZCAO=ZDBO,

⑦ZAOB+NDBO=ZDFO,

ZAMB+ZCAO=ZDFO,

0ZAOB=ZAAffi=35°,

故答案为：35°；

(2)如下图，在△。钻和△OCD中，设A0与8D交于点E；

^\AOB=ACOD=9Q°,NOAB=NOCD=30。,

同“°ODOBV3

0tan30===——；

COOA3

团ZAOB+ADOA=ZCOD+ZDOA,

即NDQ3=NCQ4,

⑦小DOBsqjA,

回---=---=,NDBO=Z.CAO9

BDOD

团ND5O+N0EB=9O。，NOEB=/MEA,

0ZC4O+ZME4=9O°,

^\ZAMB=90°,

S—=V3,ZAMB=90°.

BD

(3)①如下图所示，当直线。C经过点2且点C在线段3。上时;

在△0D3中，ZD=60°,OB=-AB=4-.

2

过点。作的垂线，垂足为H;

S\OH±BD；

EZD=60°；

回/DO”=30°；

EHD=1,HO=B

在RMOHB中,由勾股定理得；

BH=NBO?-OH?=J16-3=屈；

回而+1；

团5s△CQ4；

0—=出；

BD

即AC=^BD=也+则；

AB

②如下图所示，0ZAMB=90°,A5=8；

回点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且NOMB=/aiB=30。；

要想求出点M到直线OB的最大值，动点M距离直线OB越远越好，

从下图可以看出，点。的轨迹也是圆，点M运动极限位置取决于NMBO的最大值;

0OD=2,OB-4；

团NMBO的最大值取得当且仅当时；

即在中；

sinZOBD=—=—；

42

团NOBD=30。；

过点M作的垂线，垂足为G；

即线段GM即为所求;

在无△MGB中；

SinZGBM=^

2

0ZOfiD=30°；

0ZMBA=60°-30°=30°；

12AB=8；

13AM=4；

MB7G-42=4百;

^\MG=-BM=2y/3；

2

回M点到直线OB距离的最大值为2石.

【点睛】本题主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性质综合，特殊直角三角形为背景的相似三角形的

判定和性质综合，利用特殊角的三角函数解三角形，圆轨迹动态下求线段的最值，熟练掌握手拉手模型证

明三角形全等，数量掌握相似三角形的判定，特别是两边对应成比例，夹角相等类的，对于求点到直线最

值类型要注意动点的轨迹寻找和影响最值的主要因素，进而综合判定求解是解题的关键.

【变式训练21观察猜想

⑴如图1,在等边VABC中，点M是边BC上任意一点（不含端点8、C）,连接AM,以AM为边作等边AAAW,

连接CN,则—ABC与/ACN的数量关系是.

（2）类比探究

如图2,在等边VABC中，点〃是BC延长线上任意一点（不含端点C）,（1）中其它条件不变，（1）中结

论还成立吗？请说明理由.

⑶拓展延伸

如图3,在等腰VABC中，区4=BC,点M是边8C上任意一点(不含端点8、C),连接A",以A"为边

作等腰AAMN,使顶角NAAW=NABC.连按CN.试探究/ABC与NACN的数量关系，并说明理由.

【答案】(l)NABC=NAaV

⑵ZABC=ZAOV成立

(3)ZABC=ZAGV

【分析】(1)利用&4s可证明ABW三△C4N,继而得出结论；

(2)也可以通过证明AR4M=得出结论，和(1)的思路完全一样.

ABAC

(3)首先得出/BAC=NAWV,从而判定△ABCs",得至|J——=——,根据N54M=NBAC-NM4C,

ACVAMAN

ZCAN=ZMAN-ZMAC,得到NH4M=NC4N,从而判定4Ms,得出结论.

【详解】(1)证明：•・•△MC、AAMN是等边三角形，

:.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°,

:.ZBAM=ZCAN,

••,在ABAM和△C4N中，

AB=AC

<ZBAM=ACAN,

AM=AN

:.ABAM=ACAN(SAS),

ZABC=ZACN.

(2)解：结论ZABC=NAOV仍成立；

理由如下：•.•△ABC、AAAW是等边三角形，

：.AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60°,

:.ZBAM=ZCAN,

,•・在和△GW中，

AB=AC

<ZBAM=ACAN,

AM=AN

；.ABAM=ACAN(SAS),

ZABC=ZACN.

(3)解：ZABC=ZACN；

理由如下：-.-BA^BC,MA=MN,

ABAM

团-------,

BCMN

又「ZABC=ZAMN,

:.AABCs^AMN,

：.ZBAC=ZMAN,

.ABAM

,,一,

ACAN

XZBAM=ZBAC-ZMAC,ZCAN=ZMAN-ZMAC,

:.ZBAM=ZCAN,

:ZAMSMAN,

ZABC=ZACN.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的

关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论.

【变式训练3】.（1）问题发现如图1,在和AOCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=40°,

连接AC,网＞交于点填空：①族的值为；②的度数为.

（2）类比探究如图2,在△OAB和AOCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,连接AC交8。的

延长线于点请判断C上的值及ZWB的度数，并说明理由；

BD

（3）拓展延伸在（2）的条件下，将AOCD绕点。在平面内旋转，AC3。所在直线交于点若OD=1,

OB=6请直接写出当点A与点。、。在同一条直线上时AZ）的长.

智用图

【答案】（1）①1;040°；（2）会=®，NAA®=90°.理由见解析；（3）2或4.

【分析】（1）①证明EICOAEHDOB（SAS）,得AC=BD,比值为1；

②由EICOAEBDOB,得13cAO=I3DBO,然后根据三角形的内角和定理先求EIOAB+EIOBA的值，再求I3AMB的值即

可；

（2）根据锐角三角比可得段=与，根据两边的比相等且夹角相等可得国AOC回回BOD,根据相似撒尿性的

OCOA

性质求解即可;

（3）当点A与点。、。在同一条直线上，有两种情况：如图3和图4,然后根据旋转的性质和勾股定理,

可得AD的长.

【详解】(1)@^ZAOB=ZCOD=40°,

团团BOD二回AOC,

又回。4=QB,OC=OD,

团团BOD丽AOC,

0BD=AC,

「AC-

回——=1；

BD

②团NAQ5=40。,

回团。AB+团OBA=140°,

团团BOD回回AOC,

RHICAO二团DBO,

团团CAO+团OAB+团ABM=团DBO+团OAB+团ABM=团OAB+团OBA=140°,

00AMB=4O°；

(2)如图2,

r-

——=V3,ZAMB=90°.理由如下:

BD

放△COD中，ZDCO=30°,ZDOC=90°,

器=330。=#，

同理得：_20=tan3()o=@,

OA3

.OPOB

'OC~OAf

QZAOB=NCOD=90。，

.\ZAOC=ZBODf

:./\AOC^ABOD,

Ms回CAO二团DBO,

团团BEO+团DBO=90°,

团团CAE+团AEM=90°,

团团AMB=90°；

(3)回团A=30°,08=6,

0B

团0A=---------=3

tan30°

如图3,当点D和点A在点。的同侧时,

团00=1,

0AD=3-2=2；

如图4,当点D和点A在点。的两侧时,

回OD=1,,0A=3

0AD=3+1=4.

综上可知，AD的长是2或4.

【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，相似三角形的判定与性质，

解直角三角形，旋转的性质，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是能得出：回AOC回回BOD,根据相似三

角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目.

类型三、直角三角形

0

条件:如图，ZAOB=ZCOD=90°,—=—=/：(^COD-^AOB)-,

OAOB

结论：SOJBOD;变=左,AC^BD,sLABXCD.

ACs2

例.【问题发现】（1）如图1,在RSABC中，AB=AC,。为8C边上一点（不与点8、C重合）将线段AD绕

点A顺时针旋转90。得到AE,连接EC,则线段BD与CE的数量关系是—，位置关系是一；

D,E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；

【拓展延伸】（3）如图3,在RbBCD中，ZBCD=90°,BC=2CD=4,将AACD绕点A顺时针旋转，点C

对应点E,设旋转角NC4E为1（0°<«<360°）,当点C,D,E在同一直线时，画出图形，并求出线段破

的长度.

12

【答案】（1）BD=CE,BD±CE；（2）BD1CE,理由见解析；（3）画出图形见解析，线段防的长度为

【分析】（1）由题意易得=ZCAE=ZBAD,从而可证,然后根据三角形全等的性

质可求解；

（2）连接BD,由题意易得/C4E=/54D,进而可证A54Z泾AC4E,最后根据三角形全等的性质及角的等

量关系可求证；

（3）如图，过A作AFLEC,由题意可知RtxABCsRt△血）,ABAC=ZEAD=90°,然后根据相似三角

形的性质及题意易证A54ESAC4D,最后根据勾股定理及等积法进行求解即可.

【详解】解：（1）在RSABC中，AB=AC,

:.ZB=ZACB=45°,

•：ZBAC=ZDAE=90°,

.•.ABAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即NRW=NC4E,

AB=AC

在△BAD和△C4E中，<ZBAD=ZCAEf

AD=AE

/.△BA£>^AG4E(SAS),

:.BD=CE,ZB=ZACE=45°,

・・・NACB=45。，

/.ZBCE=450+45°=90°,

故答案为：BD=CE,BDLCE；

(2)BDtCE,

理由：如图2,连接BD,

c

E

图2

团在RSABC和RtaADE中，AB=AC.AD=AE,ZAEC=45°f

・.・ZCAB=ZDAE=90°f

:.ZBAD=ZCAE,

^AB=AC,AE=AD,

:.^CEA^ABDA^SAS),

.\ZBDA=ZAEC=45°,

:.NBDE=ZADB+ZADE=90。,

©BDLCE；

(3)如图3,过A作AM1EC,

C

由题意可知Rt&4BCsRt&4£D,ZBAC=ZEAD=90°,

ABACABAE

回一=——，即Rn——=——

AEADACAD

-,•ZBAC=ZEAD=90°,

.\ZBAE=ZCAD.

「.△BA石s.cw,

:.ZABE=ZACD,

・・・/BEC=180°-NCBE+ZBCE=180°-ACBA+AABE+ZBCE=180°ZCBA+ZACD+ZBCE=90°,

:.BE±CE.

在Rt^BCD中,BC=2CD=4,

BD=VBC2+CD2=742+22=2A/5，

・.・AC±BD,

•••S.BCD=|AC-BD=|BC-AC,

AC=AE~，AD=,

.-.AF=^,CE=2CF=2x^AC2-AF2=y,

22

BE=VBC-CE=12_(3=£•

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形

的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解.

【变式训练如图1,AD,8。分别是AABC的内角NBAC、/ABC的平分线，过点A作AE_LAD,

交3。的延长线于点E.

图1图2

(1)求证：ZE=1ZC；

(2)如图2,如果AE=AB,且3。:。后=2:3,求cosNABC的值；

⑶如果—ABC是锐角，且AA5c与AADE相似，求—ABC的度数，并直接写出乎也的值.

^AABC

【答案】①见解析

(2)t

(3)30°,2-百或45°,2-A/2

【分析】(1)由题意：ZE=90°-ZADE,证明ZAZ»E=9(r_；NC即可解决问题.

(2)延长A。交于点R.证明A£//3C,可得/AFB=/EW=90。，—,由此:£>E=2:3,

AEDE

—r/日/4BFBF2

可得cosNA3C=----=-----=—.

ABAE3

(3)因为AABC与AADE相似，ND场二90。，所以/ABC中必有一个内角为90。因为/ABC是锐角，推出

NABCV90。.接下来分两种情形分别求解即可.

【详解】(1)证明：如图1中，

:.ZDAE=90°,ZE=900-ZADE,

•.•AD平分ZBAC,

ZBAD=-ABAC,同理/ABD=-ZABC,

22

­.ZADE=ZBAD+ZDBA,ZBAC+ZABC=180°-ZC,

ZADE=1(ZABC+ZBAC)=90°-1zC,

ZE=90°-(90°--ZC)=-ZC.

22

(2)解：延长AD交BC于点F.

■.■AB^AE,

:.ZABE^ZE,

BE平分/ABC,

:.ZABE=ZEBC,

:.ZE=ZCBE,

：.AE//BC,

BF_BD

:.ZAFB=ZEAD=90°,

~\E~~DE

二,BD:DE=2:3,

2

-cosZABC=^=^

3

(3),.,AABC与AADE相似，ZZME=90°,

ZABC中必有一个内角为90。

•.•/ABC是锐角，

:.ZABC^90°.

①当ABAC=Z.DAE=90°时，

■.•Z£=^ZC,

ZABC=ZE=-ZC,

2

QZA5C+ZC=90°,

.•.ZABC=30°,此时学里=2-6.

3AABC

②当NC=NZME=90。时，ZE=1ZC=45°,

.\ZEDA=45°,

••,AABC与AADE相似，

.-.ZABC=45°,此时-E=2-叵.

综上所述，ZABC=30°,学些=2-0.ZABC=45°,吃些=2-逝.

*^AABC

【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数

等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

【变式训练2】.如图1,在RZ0ABC中，0C=9O°,0A=3O°,8C=1,点。，E分别为AC,8C的中点.0C£)E

绕点C顺时针旋转，设旋转角为a(0%冰360。)，记直线AD与直线BE的交点为点P.

A

AA

(1)如图1,当a=0。时，AO与BE的数量关系为,4。与BE的位置关系为；

⑵当0。〈冰360。时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；

(3)回CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中尸点运动轨迹的长度和尸点到直线BC距离的最大

值.

【答案】(1区。=62区AD^BE

(2)结论仍然成立，证明见解析

(3)P点运动轨迹的长度是P点到直线BC距离的最大值是岑

【分析】(1)分别求出A。、2E的长即可解答；

(2)先证明SBC殛0AC£>,可得A黑r)=熬AC=若-，国。2。=回。。即可解答；

BEBC

(3)利用锐角三角函数可求MBC=30。，由弧长公式可求尸点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求产

点到直线2C距离的最大值即可.

【详解】(1)解：在R/HABC中，I3C=90°,EA=30°,BC=1,

EL4C=百BC=百，AB=2BC=2,AIXiBE

团点D,E分别为AC,BC的中点

^AD=CD=-AC=^,BE=EC=-BC=-

2222

^AD=s/jBE.

故答案为：AD=gBE,ADG\BE.

(2)解：结论仍然成立，理由如下：

/T]

EAC=5BC=1,CD=^-,EC=_,

22

rBC.EC_百

12]-----,~~--,

AC3CD3

BCEC

团-------，

ACDC

瓯COE绕点C顺时针旋转，

B3iBCE=SACD,

00BCE00ACD,

Ari4r

回亍=F=G，团C80=团CAO，

BEBC

0A£)=QBE,

团回C30+回3OC=90°,

团国CAD+团AO尸=90°,

瓯APO=90°,

团8况AD

(3)解：瓯AP5=90°,

团点尸在以AB为直径的圆上，

如图3,取A3的中点G,作团G,以点。为圆心，CE为半径作团C,当56是团C切线时，点尸到8C的距离

最大，过点尸作刊电3C,交3C的延长线于H,连接GP,

团3石是团C切线，

0CE0BE,

EC1

团---——,

BC2

团团EBC=30。，

团团G3P=30°,

国GB=GP,

^\GBP=BGPB=30°f

幽3Gp=120°,

团点P的运动轨迹为点Cf点P玲点Cf点8玲点C,

ior)vi4

团尸点运动轨迹的长度=[4">2=白,

1803

丽A3尸=30°,BP^\AP,

1