2024-2025学年江西省南昌市高一年级上册期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江西省南昌市高一上学期期中考试数学

检测试题

说明：本试卷共19小题，满分150分，考试用时120分钟，

注意事项：

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.

1.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在

答题卡和答题纸上.

2.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置

作答一律无效.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损.

3.考试结束后，请将答题纸交回.

一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）

1,设全集一1,01,2,3},集合/={T2},6={1,3},则《（小）=（）

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】

【分析】根据并集、补集的定义求解即可

【详解】由2={—1,2},B={1,3}，可得=

又因为全集。={—2,-1,0,1,2,3},

所以a（幺。8）={-2,0},

故选：D

2.设集合M={x|0<x<2},N={M0WyV2},那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N且

A.①②③④B.①②③②③D.②

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的定义，且定义域为川={x|0<x<2},值域为N={y|()Vy<2},逐项判定，即可求

解.

【详解】由题意知，函数的定义域为M={x|0<x<2},值域为N={W0<y<2},

对于①中，函数的定义域不是集合所以①不正确；

对于②中，函数的定义域为集合值域为集合N,能表示集合河到集合N且以集合N为值域的函数

关系，

所以②正确；

对于③中，函数的定义域为集合值域不是集合N,所以③不正确；

对于④中，集合/中的元素在集合N中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确.

故选：D.

3.己知。=26，b=4°」，C=(1)02,则三个数的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得.

【详解】依题意，6=(22)°」=2°2<2°3=a,°=(；产<(；)。=1,6=4°」〉4°=1，

所以。>b>c.

故选：A

4.已知函数/(x)的图象如图所示，则/(x)的解析式可能是()

1_2_3I

3

A，y=X2y=x2C.y—xD・y=x

【答案】D

【解析】

【分析】根据暴函数的性质一一判断即可.

1「\

【详解】对于A：函数y=%5=4的定义域为［°，+°°)，显然不符合题意，故A错误;

1

对于B：函数y=X5的定义域为(0,+。),显然不符合题意，故B错误;

对于C：函数歹=/的定义域为R,又y=d为奇函数，

但是y=d在(0,+x)上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；

11

对于D：丫=广=近定义域为区，又>=广为奇函数，

且v=》3在(0,+。)上函数是上凸递增，故D正确.

故选：D

5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为。和“a<6),其全程的平均时速为v,则()

I~~a+b

A.a<v<-fabB.yjab<v<----

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据平均速度的定义，利用题目已知条件表示出来，结合基本不等式，可得答案.

【详解】设从甲地到乙地的距离为。，则小王从甲地到乙地往返的时间分别是反和二，

ab

2c2lab

"V-------------------

所以全程的平均时速一9+9―a+b，

abab

由则一+7〉2u,可得1拓，即y<J茄，故B错误；

abyjab—+7

ab

1

lablab-a-aba(b-a)a(b-a)口「，认人十诺

a==二乙,由则二-----^>0,即nQ<v,故A正确;

a+b---------a+b--------a+b----------------------a+b

故选：A.

6.已知函数y=/(x)的定义域为则y=/(箕1)的定义域为()

Vx-1

U3

C.(1,9]D.-5,—

【答案】B

【解析】

【分析】由已知/(x)的定义域，再根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可.

【详解】因为v=/(x)的定义域是

f(2x+l)

所以要使得J=J)一)有意义,

-l<2x+l<43

需满足<解得

x—1>02

/⑵+1)(3

则函数I，的定义域为是1,-

vx-1\2

故选：B

7.如果对于任意实数无，[可表示不超过x的最大整数，例如同=3,[0.6]=0,[—1.6]=-2,那么

中-引<1"是“国=3”的().

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分、必要条件以及新定义[可等知识来确定正确答案.

【详解】对于,一“<1,如x=—0.4/=0.5,

则,一W=|-0.4-0.5|=0,9<1,[x]=[-0.4]=-l,[v]=[0.5]=0,

此时[x]

对于[x]=3，则+

贝i]xe["?+l）,-ye（-n-l.-n],

则x-ye（-1,1）,,一"<1.

“|x-歹|<1”是“[x]=[习”的必要不充分条件

故选：B

8.某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动.一张纸每对折一次，纸张变成两

层，纸张厚度会翻一倍.现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的

对折.借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：

折纸次数纸张厚度参照物

22321米苏州东方之门的高度约为301.8米

2710281米珠穆朗玛峰的高度约为8844米

382.1万公里地球直径约为1.3万公里

已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距

离.

A.41B.43C.45D.47

【答案】B

【解析】

【分析】设至少对折x次，纸张厚度超过38万公里，由题意可得关于无的不等式，根据指数函数的性质解

不等式即可.

【详解】设a=0.0766,则由题意a•238=2.1（万公里），

设至少对折龙次，纸张厚度超过38万公里，

21

则〉380=2〉38n2i8〉—

2382.1

因为24=16<18,25=32>18,函数y=2、在R上单调递增，

所以x-3825=>x243,

所以理论上至少对折43次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离.

故选：B.

二、多选题（本题共3小，每题6分，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的

得0分）.

9.下面命题正确的是()

A.«a>1”是<1”的充分不必要条件

a

B.命题“任意x<l,则必<1”的否定是“存在x<l,则必21”，

C.设x,jeR,则“x22且是“/+/24”的必要而不充分条件

D.设a,beR,贝『a70”是“ab70”的必要不充分条件

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据充分不必要条件的定义判断A；根据全称命题的否定判断B；根据必要不充分条件的定义判断

C,D.

【详解】解：对于A,“。>1”0"0<工<1"，

a

由!<1不能推出a>l,

a

故“a>1”是“-<1”的充分不必要条件，故A正确；

a

对于B,命题“任意x<l,则必<i"的否定是“存在x<l,则必21，故B正确；

对于C,当“x22且歹》2”成立，贝「一+/24”成立，

但“/+/24”成立时，“x22且歹22”不一定成立，如：x=3,y=l,故C错误；

命题4：。6#0=。70且6/0,故“a70”是“ab力0”的必要不充分条件，故D正确.

故选：ABD.

10.幕函数/(x)=(2/+机—2卜k3,机eN*，则下列结论正确的有().

A.777=1B.函数/(X)在定义域内单调递减

C./(-2)</(3)D,函数/(x)的值域为(0,+勾)

【答案】AD

【解析】

【分析】根据幕函数的性质可得加=1,进而可得/(x)=3,由幕函数的性质即可结合选项逐一求解.

X

o

【详解】由/0)=借机2+机一2)/-3为塞函数可得2/+机—2=1，解得m=1或机=—万，

又机eN*，所以加=1.所以/(x)=x-2==，故A正确；

JC

因为函数/(x)的定义域为(-8,0)U(0,+8)，关于原点对称,

由/(-X)=,!，=4=/(X),知函数/(X)为偶函数，

(-X)X

由于—2<0,故/(X)=r2在区间(0,+8)上单调递减，

根据偶函数性质知/(X)=X-2在区间(-8,0)上单调递增，故B错误;

/(-2)=4=：〉)=：=/(3)，故C错误；

因为/(x)的定义域为(—8,0)11(0,+8),则必〉0,所以/(x)=3的值域为(0,+8),故D正确.

JC

故选：AD.

11.已知函数/(%)=亍彳，则下列结论正确的是()

A.函数/(x)的定义域为RB.函数/(x)的值域为(―

C./(%)+/(-%)=0D,函数/(X)为减函数

【答案】BC

【解析】

【分析】根据分母不为0求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为/(x)=l+J二，即

可求出函数的值域，从而判断B；根据指数塞的运算判断C,根据函数值的特征判断D.

nx.1

【详解】对于函数=则2工—I/O,解得X70,所以函数的定义域为{x|xw0},

故A错误；

2J+12,—1+2,2

因为/(x)=--------二1H-----

2¥-12X-12X-1

2

又2*〉0，当2、—1〉0时有~7〉0，则

2-1

2

当一1<2、一1<0时^—<—2,则/(x)<一l,

2-1

所以函数/(x)的值域为(—叫—1)U(1,+8),故B正确;

+1

2T+i2^+1F2工+12工+12X+1

々---+----=0,故C正确;

又〃f)+/(x)=E+KrV

112X-1l-22-1

--------1

2X

当x>0时/(x)>0,当x<0时/(x)<0,所以/(x)不会是减函数，故D错误.

故选：BC

三、填空题(本题共3小题，每题5分，共15分).

_0_1-

25

12.(1)0.0081北—3X]£|x8r°-+^3|^|'=.

2_211

⑵已知/+x§=5(x〉0)，那么户+工3等于------■

【答案】①.3②.⑺

【解析】

【分析】(1)利用指数幕的运算性质，即可求解;

<]__j_A22_2]]

(2)根据+x=]§+%'+2,再结合x〉0时，则15>0%一5>0，即可求解

I)

101C

=---------=3.

33

C1_2V2_2

(2)由言+1行=必+%号+2=5+2=7,

I)

1111

因为x>0,则户>0,”>0,所以炉+户〉0,

11

得到r+/3=屿，

故答案为：3,J7.

13.关于x的不等式(左+1*-(左+l)x+4>0对于任意xeR恒成立，则人的取值范围是

【答案】[T』5).

【解析】

【分析】根据左+1的范围分类讨论可得.

【详解】左+1=0即左=—1时，原不等式为4>0,恒成立,

左+1〉0

上+170时，原不等式恒成立，贝叫"八2,、C，解得一1<上<15

A=(A：+1)-16(A：+l)<0

综上，一1〈左<15,

故答案为：［一1,15).

14.已知/(x),g(X)是定义域为R的函数，且/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足

/(x)+g(x)=ax2+x+2,若对任意的1<再<马<2,都有g(?：：(.)〉—5成立,则实数。的取值

范围是.

【答案】__,+°°^

【解析】

【分析】先根据函数的奇偶性求得g(x)的解析式，构造函数〃(x)=g(x)+5x,根据〃(x)的单调性以及

对。进行分类讨论来求得。的取值范围.

【详解】由题意可得/(—x)+g(—x)=ax2-x+2,

因为/(x)是奇函数，g(x)是偶函数,

ff(x)+g(x)=ax1+x+2

所以_y(x)+g(x)=加―X+2联立

+=ax2-x+2

解得g(x)=a/+2,又因为对于任意的1<%<%<2,都有g')-g(/)〉—5成立,

玉-x2

所以g('i)—g(%2)<一5匹+5X2,即g(Xi)+5再<g(12)+5、2成立,

构造〃(％)=g(x)+5x=ax2+5x+2,

所以由上述过程可得=a%2+5x+2在XE(1,2)单调递增,

若。<0,则对称轴XQ=--------22,解得—<a<0；

2a4

若a=0,则〃(x)=5x+2在％E(1,2)单调递增，满足题意；

若Q>0,则对称轴升=--恒成立；综上，ae+oo

2a4

故答案为：—4'+00］

【点睛】易错点睛：

奇偶性判断的细节：在利用奇偶性构造函数时，容易在符号处理上出现错误，尤其是对于奇函数和偶函数

的性质.确保每一步推导中符号的准确是非常重要的.

分类讨论的完整性：在进行参数的分类讨论时，必须确保每种情况都被考虑到，包括。>0,4<0,。=0.如

果遗漏某一情况，可能会导致结论不完整.

四、解答题(本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤).

15.已知函数=(a>0,且a/1).

(1)若函数/(x)的图象过(0,2)和(2,10)两点，求/(x)在［0,1］上的值域；

2

(2)若函数/(x)在区间［2,3］上的最大值比最小值大求a的值.

【答案】(1)［2,4］

(2)a=—

2

【解析】

【分析】(1)将点坐标代入解析式，列出方程组求出6,再根据函数的单调性求出值域即可；

(2)根据函数单调性求出最大值和最小值，列出方程，求解a的值即可.

【小问1详解】

由题意，/(0)=a°+b=l+b=2,/(2)=/+b=io,

又a>0,解得a=3,b=l,所以/(x)=3、'+l,

因为/(x)在［0,1］上单调递增，所以3、+1e［2,4］，

所以/(x)在［0,1］上的值域为［2,4］.

【小问2详解】

当0<a<l时，/(x)在区间［2,3］上单调递减，

3

所以/(/箕=/⑵=/+6,/(x)min=f(3)=a+b,

因此(/+»_解得或。=0(舍去)，

当。＞1时,/(x)在区间［2,3］上单调递增，

所以/(Bmax=/G)=^+b,/(X)mm=/(2)=/+6，

23

因此（/+口_（片+力=5,解得或0=0（舍去），

13

所以a=—或。=一.

22

16.如图：一动点尸从边长等于1正方形N2C。的顶点2出发，按照8—C-N顺序运动，设点

产运动的路程为无，AP/B的面积为y.

（1）求y关于无函数关系式，并指出相应的定义域;

（2）求函数的值域.

【答案】（1）答案见解析

⑵

【解析】

【分析】（1）分xe（O』、xe（l,2）及xe[2,3）讨论即可得；

⑵分别计算出xe（O,l]、xe（1,2）及xe[2,3）的值域后即可得.

【小问1详解】

当xe（0,l]时，y=-xl-x=^x,

当xe（l,2）时，y=gxlxl=g,

13-Y

当[2,3）时，y=—xlx（3-x）=^—,

—x,0<x<1

2

即有y=<（/<x<2；

^^,2<x<3

【小问2详解】

当xe(O,l],则了=,

当xe(l,2)时，了=；，

当xe[2,3)时，y=，

综上所述，函数的值域为[o,；.

17.若函数/(x)的定义域是R,且对任意的x,yeR,都有/(x+y)=/(x)+/(田成立.

(1)试判断了(x)的奇偶性；

(2)若当x>0时,f(x)=x2+2x,求/(x)的解析式;

(3)在条件(2)前提下，解不等式/(x—+2x)〉0.

【答案】(1)/(x)为奇函数

，/、fx2+2x,x>0

(2)f(x\=\,

[-X2+2x,x<0

(3)或无>2}

【解析】

【分析】⑴利用已知求出"0)=0,可得/(x)+/(—x)=0,即可证出；

(2)先利用奇函数性质求出x<0时，f(x)=-x2+2x,再结合已知和/(0)=0,即可求解析式；

X2+2xX〉0

(3)作出函数/(x)=〈，5一的图象，利用图象得/(x)是定义在R上的增函数，将不等式转

-x+2x,x<0

化为-2x)〉/(2—x),再利用f(x)的单调性可得——X—2〉0，解一元二次不等式即可得解.

【小问1详解】

/(x)为奇函数，

理由如下：

函数/(x)的定义域为五，关于原点对称,

令x=y=O得/(0)=2/(0),解得/(0)=0,

令歹=-x得/(x)+/(-X)=/■⑼=0,所以f(-x)=-令x)对任意xeR恒成立,

所以/(x)为奇函数,

【小问2详解】

由题知当x>0时，/(x)=x2+2x,

则x<0时，/(%)=-/(-%)=—[(—+2(—x)]=-x2+2x,

又〃o)=o，

x2+2x,x>0

所以/(%)=<

-x2+2x,x<0

【小问3详解】

作出函数/(x)="：2羽”"°的图象，如下图所示:

-x+2x,x<0

由图可知，/(X)是定义在尺上的增函数，

因为/(x—2)+/(X2-2X)>0,所以f(x2-2x)>-f(x-2)=/(2-x),

所以x?-2x>2-x，即》2一%一2〉0，

解得或x>2,

所以不等式/(X—2)+/卜2_2%)〉0的解集为{小<_1或x>2}.

18.若函数y=/(x)满足/(x)-/(-x)=l,则称函数y=/(x)为“倒函数”.

(1)判断函数/(x)=——和g(x)=3，"是否为“倒函数”(不必说明理由);

1-X

(2)若〃(x)=+>0)为"倒函数"，求实数加，〃的值；

⑶若9(x)=[Mx)『"(p(x)恒为正数)，其中夕(x)是偶函数，q(x)是奇函数，求证：9㈤是“倒

函数”.

【答案】(1)函数/(x)和g(x)都不是“倒函数”

(2)m=l,n=1

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求出函数/(x)定义域即可判断；利用给定定义计算判断g(x)即可作答.

(2)利用给定定义直接计算可得加、〃的值

(3)探讨双幻的定义域，再利用给定的定义计算即可作答.

【小问1详解】

依题意，函数y=/(x)为“倒函数”，函数y=/(x)的定义域必关于数0对称，

函数—的定义域为(-e,i)u(i，+。)，显然-1在定义域内，而1不在定义域内，

即/(X)不是“倒函数”,

函数g(x)=3"+1定义域为R,而g(x)-g(—x)=3*+i=9wl,即g(x)不是“倒函数”，

所以函数/(x)和g(x)都不是“倒函数”.

【小问2详解】

显然，函数％(%)的定义域关于数0对称，又攸久)是倒函数，

]_Q

/?(%)-A(-x)=(A/X2+m+nx)-(y/x2+m-nx)=(l-n2)x2+m=1>贝卜]，又〃>0,

解得机=1,〃=1,

所以实数加、〃的值分别为机=1,〃=1；

【小问3详解】

因函数P⑴是偶函数，q(x)是奇函数，则它们的定义域必关于数。对称，

依题意，0。)的定义域是函数夕(％)与q(x)定义域的交集，也必关于数0对称，

因此,=[p(x)F)x)]")=[p(x)F)=[P(切°=L

所以9(久)是倒函数.

【点睛】关键点点睛：正确理解给定定义，是解决新定义题的关键.

19.已知函数/(x)=4「(m+1)2-1.

(1)若机=0,求/(x)在区间[-1,2]上的值域；

(2)若方程/(x)+2=0有实根，求实数加的取值范围；

(3)设函数g("=g,若对任意的X]e[-1,2],总存在％e[0,3],使得〃占)*卜)，求实

数m的取值范围.

【答案】⑴一＞

(2)[l,+oo)

7

(3)m<——

2

【解析】

【分析】(1)利用换元法令/=2'，/e1,4-2的性质即

再结合二次函数=-t-l=

4

可求解;

(2)由(1)知利用换元法可得/=2、?(。=/一(加+1"-1,/＞0,方程/(x)+2=0有实根即等价

5>0

于即/2一(机+1)/+1=0有实数根且大于零，从而可得＜2,即可求解;

A=(m+l)2-4>0

⑶若对任意的西,总存在％e[0,3],使得〃X["g(X2),可得/(项上抽2g(马射正，由复合函

数知识可得函数g(x)=22(3)、在％e[0,1)时单调递减，/41,3]时单调递增，从而求出

g(^)min=g(l)=|＞则只需令广―(m+1"—