2024-2025学年高一年级上册数学期末考复习：二次函数与一元二次方程、不等式（附答案解析）

题型1一元二次不等式的求解......................................4

题型2含参一元二次不等式的求解...................................6

题型3三个二次之间的关系.........................................8

题型4一元二次不等式恒成立问题..................................9

题型5二次函数的图象............................................12

题型6其它不等式求解............................................14

团知识清单团

1.一元二次不等式的概念及解法

2.含参一元二次不等式的解法

3.简单分式不等式的解法

4.二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用

5.一元二次不等式的实际应用

如识归纳

1.零点

一般地，对于二次函数y=ax2-\-bx+c,我们把使ax2-\-bx+c=Q的实数x叫

做二次函数y=a^+bx+c的零点.

2.三个“二次”的关系

A=b2-4acJ>0J=0J<0

二次函数y=ax2+II二乂

bx+c(〃>0)的图象修修出攵

aX

2

一元二次方程ax有两个相等的实数

有两个不相等的实

Q没有实数根

bxc—0(>0)根

数1艮XI,X2(X1<X2)X1=X2=—e

的根

ax1+bx~\~c>0(<7>0)[%存音｝

{X\X<X1或X>X2}R

的解集

ax1-\~bx~\-c<0(<7>0)

{X\X1<X<X2}00

的解集

3.分式不等式

⑴公>0(<。)=漱)g(x)>0(<0)・

(2)然沙&0)=危)g(x)知仁0)且g(x)和.

4.简单的绝对值不等式

(1)|%|>Q(Q>0)的解集为(一00,~a)U(a,+oo).

(2)|X|<〃(Q>0)的解集为(一〃，a).

技巧总结

____________________________J

1.零点不是点，而是函数的图象与X轴交点的横坐标.

2.若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接

利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集.

3.不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集.

4.解不含参的一元二次不等式的步骤

（1）化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0,使二次项系数为

正.

（2）判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方

程的判别式.

（3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数

根.

（4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.

（5）写解集.结合图象写出不等式的解集.

5.解含参的一元二次不等式

（1）不等式类型的讨论：二次项系数a>0,a<Q,a=Q.

（2）不等式对应的方程根的讨论：两不同实根（/>0）,两相同实根（4=0）,

无根（/<0）.

（3）不等式对应的方程根的大小的讨论：X1>X2,X1=X2,X1<X2.

拓展修伸

二分法

(1)确定区间[a,b],验证/(a)*/(。)<0,给定精确度.

(2)求区间(a,b)的中点xi.

(3)计算/(xi).

(4)若/(xi)=0,则xi就是函数的零点.

(5)若/(a)/(xi)V0,则令。=尤1(此时零点xoC(a,xi)).

(6)若/(xi)/。)<0,则令a=xi.(此时零点(xi,b).

(7)判断是否满足条件，否则重复(2)〜(4).

题型1一元二次不等式的求解

【典例1】(2023秋•叙州区校级期末)不等式加+兄-1V0的解集为()

1-1

A.——VYVI}B.{%|%<一］或x>l}

C.{x\—1<xD.{x\x<-1^x>-}

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.

【解答】解：由2r+厂1<0,

即(2x-1)(x+1)<0,得一1<¥<$

所以不等式2f+x-1<0的解集为｛久|

故选：C.

【典例2】(2023秋•长宁区期末)不等式/-2x-3<0的解集为

【答案】｛x|-l<x<3｝

【分析】先求对应方程—-2X-3=0的实数根，再写出不等式的解集

【解答】解：•.•方程f-2》-3=0的实数根是xi=-1,&=3；

...不等式/-2x-3<0的解集为｛无卜1<尤<3｝,

故答案为：｛x|-l<x<3｝

【典例3】(2024・济宁开学)解下列不等式：

(1)3X2-6x+l>0；

2

(2)-2-x+2x+2>0；

(3)x2-6x+9<0；

(4)-^+2%-3>0.

【答案】⑴｛久阿〉日+1或％V—当+1｝.

(2)｛x|2-2V2<%<2+2V2｝.

(3)｛小=3｝.

(4)0.

【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.

【解答】解：(1)由3f-6x+l>0,得3(%-1)2>2,

所以％—1>日或％-1〈_曰，即%>,+1或％〈—白+1,

所以不等式3r-6x+l>0的解集为｛久阿〉曰+1或％V—夸+1｝；

(2)由一］久2+2为+2>0,Mx2-4x-4<0,

则（x-2）2<8,所以——2<2/，所以2—2鱼4<2+2班,

所以不等式一品2+2%+2〉0的解集为｛久|2-2V2<%<2+2V2］；

(3)由f-6x+9W0,得(%-3)2<0,

因为(%-3)2>0,所以x=3,

所以不等式--6x+9<0的解集为｛x|x=3｝；

(4)由-r+Zx-BX),得--Zx+BVO,

因为x?-2x+3—(x-1)2+2>2,

所以不等式--+2x-3>O的解集为。.

题型2含参一元二次不等式的求解

【典例4】(2023秋•建邺区期末)设。为实数，则关于x的不等式(g-2)(2%

-4)<0的解集不可能是()

A.(.2)B.(-oo,2)U(:,+8)

C.(2,+00)D.(2,：)

【答案】B

【分析】由已知结合二次不等式的求法对a进行分类讨论，结合选项即可判

断.

【解答】解：当。=0时，不等式可化为-2(2x-4)<0,即x>2,C符合；

当a<0时，不等式可为(%--)(x-2)>0,解得x>2或

aa

当a>0时，不等式可化为(x--a)(x-2)<0,

若〃>1,解得2<k<2,A符合；

a

当。=1时，解集为0；

当0<。<1时，解集为2<xV4。符合.

a

故选：B.

【典例5】(多选)(2024•金寨县校级开学)对于给定实数跖关于x的一元二次

不等式(ax-1)(x+1)<0的解集可能是()

A.{x\[x\x^-1}C.{x\-<x<-1]D.R

【答案】AB

【分析】先求出关于x的一元二次方程(ax-1)(x+1)=0的两根为士-1,

a

再对。进行讨论，解不等式即可.

【解答】解：关于x的一元二次方程(«X-1)(x+1)=0的两根为匕-1,

a

当。>0时，->-1,故不等式的解集为(-1,-),

aa

当a<0时，

①。=-1,贝咛=—1,...不等式解集为{x|#-1},

②若则工〈一1,.•.不等式的解集为(-1,+oo)U(-00,与，

aa

③若oV-l,则工〉—1,・,.不等式的解集为(-00,-1)U(士+oo),

aa

故选：AB.

【典例6】(2024春•临汾期末)(1)判断命题"Vx©[-2,1],Vy£[l,3],-8<x

-2yW-l”的真假,并说明理由;

(2)求关于x的不等式(3o+l)x-2/-2a的解集.

【答案】(1)真命题；

(2)①(-oo,。+1)U(2a,+oo),

②(-co,1)U(1,+oo),

③(-co,2a)U(tz+l,+oo).

【分析】(1)利用不等式的性质即可判断；

(2)分类解不等式.

【解答】解：(1)-2<x<l,l<y<3,：.-6<-2y<-2,

:.-8<x-2y<-1,是真命题;

(2)%2-(3a+l)x+2屋+。>0=(x-2a)[x-(a+1)]>0>

①当a>l时，a+l<2a,此时不等式的解集为(-oo,tz+1)U(2a,+oo),

②当o=l时，2a=a+l,此时不等式的解集为(-oo,1)U(1,+oo),

③当aVl时，a+l>2a,此时不等式的解集为(-s,2a)U(a+1,+oo).

题型3三个二次之间的关系

【典例7]（2023秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的不等式％2+依+。>0的解集

是{小<-2或x>3},则a+>=（）

A.-7B.-6C.-5D.1

【答案】A

【分析】利用根与系数关系求得a,b,进而求得a+4

【解答】解：关于龙的不等式的解集是{x|x<-2或x>3},

所以关于x的方程x2+ax+b=Q的根为x=-2或x=3,

—2+3=-CL（CL=-1

—2X3=b（匕=—6’

所以a+b=~7.

故选：A.

【典例8】（多选）（2023秋•清远期末）已知函数y=x2+m+〃（m>0）有且只有

一个零点，则下列结论正确的是（）

A.m2-n2<4

2

B.0<m+n-<4

C.不等式^+如汁几VO的解集为0

D.若不等式—+阴光+几<4的解集为（xi,及），则|%1-12]=4

【答案】ACD

【分析】由y=x1+mx+n（m>0）有且只有一个零点，得A=m2-4n=0,即

m2=4n>0,可判断AC利用基本不等式和根与系数关系可判断BD

【解答】解：因为丁=%2+加4+”（m>0）有且只有一个零点，

所以A=m2-4n=0,即m2=4n>0.

对于A,相2一〃244等价于〃2一4〃+4）0,显然（〃-2）2》0,A正确.

对于8，m2+-=4n+->24n--=4,当且仅当n=LTH=四时，等号

nnyjn2

成立，B错误.

对于C,因为-4〃=o,所以不等式炉+根什几vo的解集为0,C正确.

对于。，因为不等式f+znx+ziVd的解集为（xi,12）,所以方程丫+加计〃-4

=0的两根为xi,xi,且xi+%2=-m,xixi=n-4,所以%—&I=

+%2)2—4Kl久2—Jm2_4(n_4)—V16=4,D正确.

故选：ACD.

【典例9](2023秋•三门峡期末)已知不等式ax2-3x+2>0的解集为｛x|x<l或

x>b｝

(1)求a,b的值；

(2)当cW2时，解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.

【答案】(1)a=l,b=2；(2)当c>2时，不等式的解集为｛x|2Vx〈c｝,当

c<2时，不等式的解集为｛x[c<x<2｝.

【分析】(1)由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得1和b是相应

方程的两个实数根，由根与系数的关系建立关于。、6的方程组，解之即可得

到实数a、6的值.

(2)由(1)的结论，所求不等式即x2-(c+2)x+2c<0,再讨论实数c与2

的大小关系，即可得到不等式在各种情况下的解集，得到本题答案.

【解答】解：(1)根据题意，不等式ar-Bx+ZX)的解集为｛x|xVl或x>。｝,

(lxb=-

即1、人是方程加-3X+2=0的两根，则有，：，

1+b=-

Va

解得1=1・

(2)由(1)的结论，ci—1,b=2；

原不等式即%之-(c+2)x+2c<0；即(％-2)(x-c)<0,

方程％2-(c+2)%+2c=0有两根，2和c,

当c>2时，不等式的解集为｛x|2VxVc｝,

当cV2时，不等式的解集为｛x|cV%<2｝,

综合可得：当。>2时，不等式的解集为｛x|2V%Vc｝,

当c<2时，不等式的解集为｛x|cVxV2｝.

题型4一元二次不等式恒成立问题

【典例10](2024•吉林开学)“关于x的不等式(2a-3)--⑵-3)x+4N0

的解集为R"是VaV9"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由题意可得，①寸，不等式即为420恒成立；

②a行时，由AWO且2。-3>0求得。的范围.再根据充分必要条件的定义

判断即可.

【解答】解：当a=|时，不等式(2a-3)x2-(2a-3)x+4》0即为4三0,

恒成立，所以解集为R；

当a丰|时，由T（猊3）j（稣3）X4）得34

AP?K3.19

综上，~<a<T，

即“关于x的不等式(2a-3)--(2a-3)x+4》0的解集为R"是“|VaV9

的必要不充分条件.

故选：B.

【典例11](2023秋•芜湖期末)设函数/(x)=a^+bx+3,关于x的一元二次

不等式/(x)>0的解集为(-3,1).

(1)求不等式x2+ax+0>0的解集；

(2)若VxC[-l,3],f(x)Nmx2,求实数用的取值范围.

【答案】(1){木<-1或x>2}；

(2){m\m<—1}.

【分析】(1)由已知，结合二次方程与二次不等式的转化关系及方程的根与

系数关系可求a,b,代入到所求不等式，解二次不等式即可求解；

(2)由已知结合二次不等式恒成立与最值关系的转化即可求解.

【解答】解：(1)因为一元二次不等式/(x)>0的解集为(-3,1),

所以-3和1是方程a^+bx+3=Q的两个实根，

f-3+1=--

则《3a,解得。=T，b=-2,

-3x1=-

Ia

因此所求不等式即为：^-x-2>0,解集为｛x|x<-1或x>2｝；

(2)f(x)三mx2可化为(m+1)fW-2x+3,

当x=0时显然成立；

当xWO时，m+l<-2^+3(》2对抚[-1,3]恒成立，

令「二qC(―8,-1]U[|/+00),贝!J"2+1W-2/+3产，

2

t=：即x=3时，(-2t+3t)min———所以Tn+1<-

即m的范围为｛词m<—1｝.

【典例12](2024春•绥化期末)已知函数丁=。%2+依+2.

(1)若对于任意xCR,不等式y>-l恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当a<0时，解关于x的不等式yV(1-a)x+4.

【答案】(1)[0,12).

(2)—jvaVO时，解集为｛久或r>—2｝；

a=—3时，解集为｛x|xW-2｝；

aV—凯寸，解集为｛%[%<-2或r>.

【分析】(1)由已知结合二次函数的性质对。的范围进行分类讨论即可求解;

(2)由已知结合二次不等式的求法对。的范围进行分类讨论即可求.

【解答】解：(1)由题意可得，af+ax+3>0对于任意xCR恒成立，

当。=0时，得3>0,显然符合题意；

当aWO时，得,解得0Va<12,

14=a2-12a<0

综上，实数。的取值范围是[0,12).

(2)原不等式转化为。(2(2-1)%-2<0,即(ax-1)(x+2)<0.

又aVO,不等式可化为(％-：)(%+2)〉0,

若:<—2,即一^VaVO时，得或x>-2,即解集为｛%阿V：或久>—2｝；

若;=—2,即a=—机寸，得W,即解集为｛小¥-2｝；

若亍>一2,即a<—机寸，得xV-2或％>,即解集为｛幻％V—2或％>1｝.

题型5二次函数的图象

【典例13］（2024•天元区校级开学）函数丁=近2-2与y=3（/cA0）在同一平面

直角坐标系中的图象大致是（）

【答案】C

【分析】根据左>0,k<0,结合两个函数的图象及其性质分类讨论.

【解答】解：分两种情况讨论：

①当上>0时，反比例函数y=：,在一、三象限，

而二次函数丁=技-2开口向上，与y轴交点为（0,-2）,都不符；

②当上<0时，反比例函数y=§,在二、四象限，

而二次函数y=/-2开口向下，与y轴交点为（0,-1）,C符合.

故选：C.

【典例14］（多选）8.（2024•东坡区校级开学）如图，二次函数丁=办2+陵+0（。

W0）的图象与x轴交于A、3两点，与y轴交于点C,且。。=2。3,则下列

结论正确的为（）

C.ac-26+4=0D.OA'OB^--a

【答案】CD

【分析】由已知结合二次函数与二次方程的转化关系及二次函数性质检验各

选项即可判断.

【解答】解：根据图象知。>0,又对称轴％=vo,则b>o,又£vo,

2aa

则c〈0,则abcVO,故A不正确；

当元=1时，y=a+b+c,不能说明y的值是否大于0,故3错误;

设A(%1,0)(%1<0),5(X2,0),(%2>0),OC=2OB,/.-2X2=C,.*.X2=一工的

乙2

AB(--c,0),将点3代入函数，得Ze2一工儿+c=o,故-26+4=0,

242

故C正确；

当y=0时，〃/+/+^二。,方程的两个根％1,必则xix2=-<0,即。4•0B=-

aa

则。正确.

故选：CD.

【典例15】(多选)(2024•凉州区校级开学)如图，抛物线y=ax2+bx+c(«^0)

的对称轴是直线x=l,且与x轴、y轴分别交于两点，其中点A在点(3,

0)的右侧，直线产-|x+c经过A、3两点.下列选项正确的是()

B.抛物线与x轴的另一个交点在0与-1之间

1

C.—Vb<0

2

D.3。+26+。>0

【答案】ACD

【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可.

【解答】解：•.•抛物线开口向下，；；直

...aVO,2a.•.b=-2a>0

线产—夕+c经过点A,点A在点（3,0）的右侧，・•.—卜3+。〉0,.曾〉1，

故A正确；

:抛物线yna/+fec+cQWO）的对称轴是直线x=l,且与x轴交点A在点（3,

0）的右侧，...与x轴另一个交点在点（-1,0）的左侧，故3错误；

由图象可知，当尤=3时，9a+30+c>—1+c,；.9a+3。〉—Ua>—

a>—,—<2z<0,故C正确；

22

c>0,b——2〃，3〃+2Z?+c=3〃-4〃+c=-〃+c>0,故。正确.

故选：ACD.

题型6其它不等式求解

【典例16]（2024春•崂山区校级期中）若不等式ar+foc+c》。的解集为[1,3],

则不等式片20解集为（）

cx+b

A.（-8,-3]U+°°）B.（-8,-3]U（^,+°°）

44

C.[-3,D.[-3,I）

【答案】B

【分析】由题意可知1和3是方程ax2+bx+c=Q的两个根，且a<0,再利用

韦达定理可得6=-4a,c=3a,代入所求不等式求解即可.

【解答】解：•••不等式以2+云+°>0的解集为“，3],

A1和3是方程ajc+bx+c=Q的两个根，且a<0,

b

仁，即｛，。

由韦达定理可得,——4

=3a

ax+3a、八%+3、八

不等式翳2。可化为,瓦R0,即nnR0,

转化为(x+3)(3%-4)20且3%-4力0,解得xW