2025年粤人版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤人版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、的最小值是（）

A.-

B.-2

C.

D.

2、已知若f（x）＜2，则（）

A.

B.

C.

D.

3、已知f（x）=x2-2ax+7；在[1，+∞）上是递增的，则实数a的取值是（）

A.（-∞；-1]

B.[-1；+∞）

C.（-∞；1]

D.[1；+∞）

4、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则=()A.8B.4C.2D.15、下列说法中错误的是（）A.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B.若向量与不共线，则与都是非零向量C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D.方向相反的两个非零向量必不相等评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、已知圆与圆过动点分别作圆圆的切线分别为切点），若则的最小值是．7、给出下列四个结论：①若角的集合则②③是函数的单调递减区间④函数的周期和对称轴方程分别为其中正确结论的序号是____．（请写出所有正确结论的序号）。8、【题文】直线l经过点(3，0)，且与直线l′：x＋3y－2＝0垂直，则l的方程是______________．9、【题文】已知α；β是两个不同的平面，下列四个条件：

①存在一条直线a；a⊥α，a⊥β；

②存在一个平面γ；γ⊥α，γ⊥β；

③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；

④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.

其中是平面α∥平面β的充分条件的为________(填上所有符号要求的序号)．10、【题文】若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的任意n个值总满足则称f(x)为D上的凸函数，若函数在上是凸函数，则在锐角中，的最大值是11、【题文】设是上的奇函数，且当时，则当时_____________________。12、已知过两点的直线的斜率为1，则=____．13、给出定义：若m﹣（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①f（﹣）=②f（3.4）=﹣0.4；③f（﹣）＜f（）；④y=f（x）的定义域是R，值域是[﹣]；则其中真命题的序号是____14、给出下列五个命题：

①函数y=2sin（2x-）的一条对称轴是x=

②函数y=tanx的图象关于点（0）对称；

③正弦函数在第一象限为增函数；

以上三个命题中正确的有______（填写所有正确命题的序号）评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)15、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．16、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．17、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．18、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．20、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．21、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．22、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．23、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、作图题(共1题，共2分)24、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分五、解答题(共4题，共28分)25、已知f（a）=．

（1）化简f（a）；

（2）若cos（a）=且a是第三象限角，求f（a）．

26、（理科）已知函数f（x）=3-4asinxcosx+4cos2x-4cos4x．若函数f（x）的最小值为1；求a的值．

27、【题文】某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共。

3600台.每批都购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元.贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比.若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元.现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用?写出你的结论，并说明理由.28、函数f（x）=x2+x﹣2a，若y=f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，求a的取值范围．评卷人得分六、计算题(共3题，共6分)29、不论实数k为何值，直线（2k+1）x+（1-k）y+7-k=0恒经过的定点坐标是____．30、如图，某一水库水坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD=5米，斜坡AD=16米，坝高6米，斜坡BC的坡度i=1：3，求斜坡AD的坡角∠A（精确到1分）和坝底宽AB（精确到0.1米）．31、（2006•淮安校级自主招生）如图，△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=2，AE=1，那么BC=____．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】

=（cosx-）2-

∵-1≤cosx≤1

∴当cosx=1时，ymin=-

故选A

【解析】【答案】先进行配方找出对称轴；而-1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．

2、B【分析】

当α=β=时，=2；所以f（x）＜2不成立；

故选项C：D：都不正确；

当α=β=时，=2因为x＞0，显然x＞1时，f（x）＞2；

所以A：不正确；

故选B．

【解析】【答案】利用α与β取特殊值；验证，排除选项即可推出结果．

3、C【分析】

f（x）=x2-2ax+7=（x-a）2+7a2

其对称轴为：x=a

∵在[1；+∞）上是递增的。

∴a≤1

故选C．

【解析】【答案】先对二次函数进行配方；求出其对称轴，在根据在[1，+∞）上是递增的来求解．

4、C【分析】【解答】因为，所以，四边形ABCD是矩形，且对角线长为4.是对角线长的一半，故2；选C。

【分析】简单题，平面向量的线性运算，要注意借助于平面几何图形，发现“封口向量”。平面向量模的计算，往往“化模为方”，转化成平面向量的运算。5、C【分析】解：对于A；向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示向量，有向线段不是向量，向量也不是有向线段，∴A正确；

对于B，∵与任一向量都共线，∴向量与不共线时，都是非零向量；B正确；

对于C；长度相等但方向相反的两个向量是共线向量，∴C错误；

对于D；相等向量的大小相等，方向相同的两个向量，∴方向相反的两个非零向量必不相等，D正确．

故选：C．

根据向量的基本概念；结合共线向量；相等向量，对选项中的命题进行判断即可．

本题考查了平面向量的基本概念的应用问题，是基础题目．【解析】【答案】C二、填空题(共9题，共18分)6、略

【分析】试题分析：由于与中,所以与全等,所以有则在线段的垂直平分线上,根据可求得其垂直平分线为因为表示两点间的距离,所以最小值就是到的距离,利用点到直线的距离公式可求出最小值考点：两点间距离公式,点到直线的距离公式.最值转化.【解析】【答案】7、略

【分析】【解析】试题分析：因为所以①正确；因为且故②不正确；即所以由知是函数的单调递减区间，③正确；结合函数图象，④函数的周期和对称轴方程分别为正确。综上知，答案为①③④。考点：本题主要考查三角函数的图象和性质。【解析】【答案】①③④8、略

【分析】【解析】直线l′：x＋3y－2＝0的斜率为k′＝－由题意，得k′k＝k＝－1，则k＝3.所以l的方程为y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.【解析】【答案】3x－y－9＝09、略

【分析】【解析】①正确，此时必有α∥β；②错误，因为此时两平面平行或相交均可；③错误，当两直线a，b在两平面内分别与两平面的交线平行即可；④正确，由于α∥β，经过直线α的平面与平面β交于a′，则a∥a′，即a′∥α，又b∥α，因为a，b为异面直线，故a′，b为相交直线，由面面平行的判定定理可知α∥β，综上可知①④是平面α∥平面β的充分条件．【解析】【答案】①④10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】设则

∵∴【解析】【答案】12、-4【分析】【解答】根据过两点的斜率公式解得

【分析】本题主要考查了斜率的计算公式，解决问题的关键是根据所给直线的斜率对应的方程计算即可.13、①③【分析】【解答】①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+∴{﹣}=﹣1∴f（﹣）=﹣﹣{﹣}=﹣+1=∴①正确；

②∵3﹣＜3.4≤3+∴{3.4}=3∴f（3.4）=3.4﹣{3.4}=3.4﹣3=0.4∴②错误；

③∵0﹣＜﹣≤0+∴{﹣}=0∴f（﹣）=﹣﹣0=﹣

∵0﹣＜≤0+∴{}=0∴f（）=﹣0=∴③正确；

④中，令x=m+a，a∈（﹣]

∴f（x）=x﹣{x}=a∈（﹣]

∴④错误．

故答案为：①③．

【分析】在理解新定义的基础上，求出{﹣}、{3.4}、{﹣}、{}对应的整数，进而利用函数f（x）=x﹣{x}可判断①②③的正误；而对于④易知f（x）=x﹣{x}的值域为（-]，则④错误．此时即可作出选择．14、略

【分析】解：当x=时，函数y=2sin（2x-）的值为2sin（）=2，∴函数y=2sin（2x-）的一条对称轴是x=故①正确；

由正切函数的图象可知，函数y=tanx的图象关于点（0）对称，故②正确；

∵390°＞60°；但sin390°＜sin60°，∴正弦函数在第一象限不是增函数，故③错误．

∴正确命题的序号是①②．

故答案为：①②．

求出当x=时，函数y=2sin（2x-）的值判断①；由正切函数的图象判断②；举例说明③错误．

本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象和性质，是基础题．【解析】①②三、证明题(共9题，共18分)15、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．16、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．17、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=18、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．20、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．21、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=22、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．23、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、作图题(共1题，共2分)24、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。五、解答题(共4题，共28分)25、略

【分析】

（1）f（a）===-cosα

（2）∵cos（a）=∴sinα=-

∵a是第三象限角；

∴cosα=-=-

∴f（a）=-cosα=

【解析】【答案】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理后；利用同角三角函数的基本关系约分求得函数f（a）的解析式．

（2）利用诱导公式求得sinα的值；进而根据同角三角函数的基本关系求得cosα，代入（1）中函数解析式求得答案．

26、略

【分析】

∵f（x）=3-4asinxcosx+4cos2x-4cos4x=3-2asin2x+4cos2x•sin2x=（sin2x-a）2+3-a2；

①若-1≤a≤1，f（x）min=3-a2=1，解得a=（舍）；

②若a＜-1，当sinx=-1时，f（x）min=3+2a+1=1，解得a=

③若a＞1，当sinx=1时，f（x）min=3-2a+1=1，解得a=

综上所述，．

故答案为：．

【解析】【答案】利用二倍角公式将f（x）=3-4asinxcosx+4cos2x-4cos4x化为f（x）=（sin2x-a）2+3-a2；对a分类讨论，即可使问题解决。

27、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】依题意；当每批购入x台时，全年需用保管费S="2"000x·k.

∴全年需用去运输和保管总费用为y=·400+2000x·k.

∵x="400时，y=43"6