2025年仁爱科普版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高二数学下册阶段测试试卷117考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、若角α，β满足则α-β的取值范围是（）

A.（-π；π）

B.（-π；0）

C.

D.（0；π）

2、设是虚数单位，在复平面上，满足的复数对应的点的集合是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.线段3、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积为()A.B.C.D.4、【题文】在△ABC中，a＝3，b＝c＝2，那么B等于（）A.30°B.45°C.60°D.120°5、【题文】已知向量若与垂直，则的值为（）A.B.C.D.6、已知双曲线的离心率则它的渐近线方程为()A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、当实数a的范围为____时，三条直线l1：ax+y+1=0，l2：x+ay+1=0，l3：x+y+a=0能围成三角形．8、某圆柱的底面直径为高为则它最多能放入半径为的球____个。9、【题文】根据如图所示的算法流程，可知输出的结果为____．10、抛物线x2=8y的准线方程为____．11、如图，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A、B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“优美椭圆”；类比“优美椭圆”，可推出“优美双曲线”的离心率为____．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)12、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

13、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共18分)19、（本题满分14分）已知椭圆的离心率为过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称，并说明理由．20、为了对新产品进行合理定价；对这类产品进行了试销试验，用以观察需求量y（单位：千件）对于价格x（单位：千元）的反应，得到数据如下：

。x5070804030909597y1008060120135555048（1）求变量y与x之间的相关系数r；并对变量y与x进行相关性检验；

（2）若y与x之间具有线性相关关系；求回归直线方程．

评卷人得分五、计算题(共3题，共6分)21、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．22、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．23、求证：ac+bd≤•．评卷人得分六、综合题(共3题，共6分)24、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．25、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．26、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】

∵

∴

∴

∴-π＜α-β＜0

故选B．

【解析】【答案】先根据条件求出α与β的取值范围然后求出-β的范围；最后利用不等式的加法进行求解即可求出所求．

2、A【分析】【解析】试题分析：可看做复平面内复数对应的点到复数对应的点的距离等于结合圆的定义可知复数对应的点的集合是圆考点：两点间距离及点的轨迹【解析】【答案】A3、C【分析】【解析】

作辅助线D′E′，利用余弦定理12=12+|E′C′|2-2|E′C′|cos45°．可得|E′C′|=从而在图（2）直角梯形ABCD中，AD=1，BC=1+AB=2，其面积为2+所求面积为2+选C【解析】【答案】C4、C【分析】【解析】

试题分析：由余弦定理知：．

考点：用余弦定理解三角形【解析】【答案】C5、B【分析】【解析】

试题分析：因为且与垂直，所以·（）=0；

即（1,3）·（-3,3+2m）=-3+3(3+2m)=0,m=-1,故选B。

考点：本题主要考查平面向量的坐标运算；向量垂直的条件。

点评：简单题，两向量垂直，它们的数量积为0.【解析】【答案】B6、C【分析】【解答】由离心率即渐近线方程为所以故选C.二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】

因为三条直线l1：ax+y+1=0，l2：x+ay+1=0，l3：x+y+a=0能围成三角形；

所以三条直线满足两两相交；不过同一点；

因为l3：x+y+a=0的斜率是-1，所以-a≠-1，-≠-1，且-a≠-解得a≠±1；

由解得（1，-1-a）不在直线l2：x+ay+1=0上；

所以1+a（-1-a）+1≠0；解得a≠-2．

综上a≠±1；a≠-2．

故答案为：a≠±1；a≠-2．

【解析】【答案】三条直线能围成三角形；满足两两相交，不过同一点，将此关系转化为关于参数的方程，求出a的范围即可．

8、略

【分析】【解析】试题分析：圆柱形圆桶的直径为4R，故第一层可以放入直径为2R的球2个，由于相邻两层四个球的球心正好构成一个棱长为2R的正四面体,故两层球心的连线形成的两条异面直线间距离为：设最多能装进N层，则由于圆柱形圆桶的高为42R，则（N-1）•+2R≤42R，N≤+1，故N的最大值为29，此时能装入58个球。考点：圆柱；球的几何特征。【解析】【答案】589、略

【分析】【解析】因为当时，才退出循环体输出i的值，所以i=7.【解析】【答案】710、y=﹣2【分析】【解答】解：∵抛物线的方程为x2=8y；

∴抛物线开口向上，2p=8，可得=2．

因此抛物线的焦点为（0；2），准线方程为y=﹣2．

故答案为：y=﹣2

【分析】根据抛物线的方程，可得抛物线开口向上且2p=8，由此算出=2，即可得到该抛物线的准线方程．11、【分析】【解答】解：根据“优美椭圆”的定义；可得“优美双曲线”的虚轴一端与左焦点的连线，垂直于该点与右顶点连线．如图，设A是双曲线右顶点，B是虚轴上端点，F是左焦点∵△ABF中，FB⊥AB，且AB⊥BF

∴OB2=OA×OF，即b2=ac

因此，c2﹣a2=ac，两边都除以a2并整理，得e2﹣e﹣1=0，解之得e=（舍负）

∴“优美双曲线”的离心率为

故答案为：

【分析】首先通过类比，得“优美双曲线”的虚轴一端与左焦点的连线，垂直于该点与右顶点连线．作出示意图，在RtABF中用射影定理，得b2=ac，结合双曲线a、b、c的关系和离心率的定义解一元二次方程，即可得到“优美双曲线”的离心率．三、作图题(共7题，共14分)12、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

13、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共18分)19、略

【分析】试题分析：注意应用椭圆的定义求椭圆的方程，对于第二问，两直线关于直线m对称的条件，应用两直线的斜率之和等于零，来解决问题即可.试题解析：（Ⅰ）由题意得1分由可得2分所以3分所以椭圆的方程为4分（Ⅱ）由题意可得点6分所以由题意可设直线7分设由得由题意可得即且8分9分因为10分13所以直线关于直线对称.14分考点：椭圆的方程，直线的关系.【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）所以直线关于直线对称.20、略

【分析】

（1）由公式计算得r=-0.9931；

由n=8，n-2=6，查表得r0.05=0.632；

所以|r|＞r0.05；

∴需求量与价格两者之间存在线性相关关系．

（2）计算得b=-1.2866；a=169.7724；

所以回归直线方程是。

y=-1.2866x+169.7724．

【解析】【答案】（1）根据所给的数据利用最小二乘法．公式计算得r，由n=8，n-2=6，查表得r0.05=0.632；最后得出需求量与价格两者之间存在线性相关关系．

（2）写出线性回归方程的系数和a的值；写出线性回归方程，注意运算过程中不要出错．

五、计算题(共3题，共6分)21、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．22、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．23、证明：∵（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）•（c2+d2）≥（ac+bd）2；

∴|ac+bd|≤•

∴ac+bd≤•【分析】【分析】作差（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可证明．六、综合题(共3题，共6分)24、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D