2025年统编版2024高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年统编版2024高二数学上册阶段测试试卷727考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知方程的两根为并且则的取值范围是（）A.B.C.D.2、设正实数x，y，z满足x2－3xy＋9y2－z＝0，则当取得最大值时，的最大值为()A.1B.C.-1D.33、已知M是△ABC内的一点，且=∠BAC=若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为x，y，则的最小值为（）A.16B.18C.20D.244、圆x2+y2-2x-2y+1=0和圆x2+y2-8x-10y+25=0的位置关系是（）A.相交B.外切C.内切D.相离5、已知正四棱柱ABCD鈭�A1B1C1D1

中，AA1=2AB

则CD

与平面BDC1

所成角的正弦值等于(

)

A.23

B.33

C.53

D.13

6、如果方程x24鈭�m+y2m鈭�3=1

表示焦点在y

轴上的椭圆，则m

的取值范围是(

)

A.3<m<4

B.m>72

C.3<m<72

D.72<m<4

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、设z的共轭复数是若z+=4，z•=8，则|z|=____．8、在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，此未知数是9、某人有四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）要在如图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段的两端的灯泡不同色，则至少用了三种颜色的灯泡的安装方法共有____种．（用数字作答）

10、方程的解集为.11、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设为两个定点，为非零常数，则动点的轨迹为双曲线；②过定圆上一定点作圆的动点弦为坐标原点，若则动点的轨迹为圆；③设是的一内角，且则表示焦点在轴上的双曲线；④已知两定点和一动点若则点的轨迹关于原点对称.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.12、【题文】设等比数列满足公比且数列中任意两项之积也是该数列的一项.若则的所有可能取值之和为_______________.13、设关于x的一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为则a﹣b=____．14、已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若△PAB的面积等于π，则ω=______．15、椭圆+=1的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则P到x轴的距离______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、综合题(共3题，共15分)23、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．24、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．25、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】【解析】【答案】D2、A【分析】试题分析：由题可知分子分母同时除以xy，可以得到x，y，z都是正实数，所以可以利用基本不等式有所以当且仅当即将代入得所以配方得，所以最大值是1.故答案是A.考点：基本不等式【解析】【答案】A3、B【分析】【解答】解：∵=∠BAC=

∴∴bc=4．

∴S△ABC==1．

∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为x，y．

∴化为x+y=．

∴=18，当且仅当y=2x=时取等号．

故的最小值为18．

故选：B．

【分析】由=∠BAC=利用数量积运算可得即bc=4．利用三角形的面积计算公式可得S△ABC==1．已知△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为x，y．可得化为x+y=．再利用基本不等式即可得出．4、B【分析】解：圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，圆心坐标为C（1，1），半径r=1；

圆x2+y2-8x-10y+25=0的标准方程为（x-4）2+（y-5）2=16；圆心坐标为M（4，5），半径R=4；

则CM===R+r；

故圆x2+y2-2x-2y+1=0和圆x2+y2-8x-10y+25=0的位置关系外切．

故选：B

求出圆的标准方程；根据圆和圆的位置关系即可得到结论．

本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，求出圆心和半径是解决本题的关键．【解析】【答案】B5、C【分析】解：设AB=1

则AA1=2

分别以D1A1鈫�隆垄D1C1鈫�隆垄D1D鈫�

的方向为x

轴；y

轴、z

轴的正方向建立空间直角坐标系；

如下图所示：

则D(0,0,2)1(1,0,0)B(1,1,2)C(1,0,2)

DB鈫�=(1,1,0)DC1鈫�=(1,0,鈭�2)DC鈫�=(1,0,0)

设n鈫�=(x,y,z)

为平面BDC1

的一个法向量，则{n鈫�鈰�DC1鈫�=0n鈫�鈰�DB鈫�=0

即{x鈭�2z=0x+y=0

取n鈫�=(2,鈭�2,1)

设CD

与平面BDC1

所成角为娄脠

则cos娄脠=|n鈫�鈰�DC鈫�|n鈫�||DC鈫�||=23sin娄脠=1鈭�cos2娄脠=53娄脠=sqrt{1-{cos}^{2}娄脠}=dfrac{sqrt{5}}{3}

故选C．

设AB=1

则AA1=2

分别以D1A1鈫�隆垄D1C1鈫�隆垄D1D鈫�

的方向为x

轴、y

轴、z

轴的正方向建立空间直角坐标系，设n鈫�=(x,y,z)

为平面BDC1

的一个法向量；CD

与平面BDC1

所成角为娄脠

则cos娄脠=|n鈫�鈰�DC鈫�|n鈫�||DC鈫�||

在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．

本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．【解析】C

6、D【分析】解：由题意可得：方程x24鈭�m+y2m鈭�3=1

表示焦点在y

轴上的椭圆；

所以4鈭�m>0m鈭�3>0

并且m鈭�3>4鈭�m

解得：72<m<4

．

故选D．

进而根据焦点在y

轴推断出4鈭�m>0m鈭�3>0

并且m鈭�3>4鈭�m

求得m

的范围．

本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x

轴还是在y

轴．【解析】D

二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

∵z•=|z|2=8，∴|z|=2．

故答案为2．

【解析】【答案】直接利用共轭复数的性质z•=|z|2；求出|z|的值．

8、略

【分析】试题分析：由等差数列和等比数列概念设未知数为x,中间数为y,则得解得或27.考点：等差数列和等比数列概念【解析】【答案】3或279、略

【分析】

∵至少用了三种颜色的灯泡安装．

∴可能用了三种颜色安装；可能用了四种颜色安装．

由分类计数原理；可分两类：

第一类；用了三种颜色安装；

第一步，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；第二步，为A1点选一种颜色共有不同于A点的2种选法；第三步，为B1、C1选灯泡；共有1种选法。

∴第一类共有A43×2×1=48种方法．

第二类；用了四种颜色安装；

第一步，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；第二步，为A1点选一种颜色共有不同于A点的3种选法；第三步，为B1、C1选灯泡：若B1与A同色，则C1只能选B点颜色；若B1与C同色，则C1有A、B处两种颜色可选．故为B1、C1选灯泡共有3种选法。

∴第二类共有A43×3×3=216种方法．

综上所述；至少用了三种颜色的灯泡的安装方法共有48+216=264种方法。

故答案为264

【解析】【答案】由于至少用三种颜色，故利用分类计数原理可将任务分为两类：第一类，用了三种颜色安装；第二类，用了四种颜色安装，最后将两类的方法数求和即可，在每类中计数时，可利用分步计数原理，第一步安排A、B、C三点，因为它们一定不同色，第二步，安排A1点，第三步，安排B1、C1点；将三步方法数相乘．

10、略

【分析】试题分析：等价于因而解得：或从而或经检验符合.考点：对数的运算与解方程.【解析】【答案】11、略

【分析】试题分析：对于①，由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线的一支，所以①不正确；对于②，由可知点为弦的中点，连结则有即而均为定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，所以②正确；对于③，由两边平方可得所以因为是的一个内角，可判断为钝角，所以且联立从而方程为表示焦点在轴上的椭圆，所以③错误；对于④，设动点则由可得将代入等式左边可得所以动点的轨迹关于原点对称，即④正确；综上可知，真命题的序号是②④.考点：1.双曲线的定义；2.动点的轨迹问题；3.双曲线的离心率.【解析】【答案】②④12、略

【分析】【解析】

试题分析：设设设等比数列中的任意两项，由已知得，则设是数列中的第项，则有故的取值只可能是故的所有可能取值之和为

考点：1、推理证明；2、等比数列的通项公式.【解析】【答案】13、-1【分析】【解答】解：∵关于x的一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为

∴解得a=﹣3，b=﹣2；

∴a﹣b=﹣1．

故答案为﹣1．

【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根的关系、根与系数的关系即可得出．14、略

【分析】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P；

由x=0时，2sin=1可得：P点坐标为（0；1）；

函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与A；B；

故|AB|=

∵△PAB的面积等于π；

∴=π；

∴T=4π=

∵ω＞0；

∴ω=

故答案为：

根据函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，可得P点坐标为（0，1），|AB|=再由△PAB的面积等于π，可得：=π；求出周期后，可得ω的值．

本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，其中根据已知求出函数的周期，是解答的关键．【解析】15、略

【分析】解：如图，

由椭圆+=1，得a2=25，b2=9，∴c2=a2-b2=16；

设P（x0，y0），由PF1⊥PF2，得①

又②

联立①②可得∴|y0|=．

∴P到x轴的距离为．

故答案为：．

由题意方程求出椭圆的半焦距，设出P的坐标，结合PF1⊥PF2，可得再由P在椭圆上可得联立两方程组可得P的坐标，则答案可求．

本题考查椭圆的简单性质，考查了方程组的解法，是基础的计算题．【解析】三、作图题(共7题，共14分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、综合题(共3题，共15分)23、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．24、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=