备战2023年高考数学一轮复习-第3讲-等式性质与不等式性质

第3讲等式性质与不等式性质第一章集合、常用逻辑用语与不等式考向预测核心素养以考查等式性质、不等式性质为重点，与其他知识及实际问题相结合进行命题.以选择题形式单独考查或融合在解答题中，为低档或中档难度.数学运算、逻辑推理01基础知识回顾一、知识梳理1.比较实数大小的基本事实(1)文字叙述如果a－b是正数，那么a______b；如果a－b等于0，那么a______b；如果a－b是负数，那么a______b.反过来也对.(2)符号表示a－b＞0⇔a____b；a－b＝0⇔a____b；a－b＜0⇔a____b.大于等于小于＞＝＜2.等式的基本性质(1)对称性：a＝b⇔________；(2)传递性：a＝b，b＝c⇒________；(3)可加性：a＝b⇔________________；(4)可乘性：a＝b⇒____________；(5)可除性：a＝b，c≠0⇒________.b＝aa＝ca±c＝b±cac＝bc3.不等式的性质性质1

a＞b⇔b____a；性质2

a＞b，b＞c⇒a____c；性质3如果a＞b，那么a＋c____b＋c；性质4如果a＞b，c＞0，那么ac____bc；如果a＞b，c＜0，那么ac____bc；性质5如果a＞b，c＞d，那么a＋c____b＋d；性质6如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac____bd；性质7如果a＞b＞0，那么an____bn(n∈N，n≥2).＜＞＞＞＜＞＞＞

常用结论2.(人A必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克水(m>0)，糖水就变淡了，则此事实可用一个不等式表示为________.3.(人A必修第一册P42习题2.1T5改编)已知2＜a＜3，1＜b＜2，则2a－b的取值范围是________.解析：因为2＜a＜3，所以4＜2a＜6.又1＜b＜2，－2＜－b＜－1，所以2＜2a－b＜5.答案：(2，5)

×√×√√√√

解析：

A项：a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道a，b的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项：若a＝3，b＝2，c＝4，d＝1，则a－c<b－d，故D项错误.得－π<α－β<0.答案：(－π，0)02核心考点共研考点一比较两个数(式)的大小(综合研析)复习指导：比较两个数(式)的大小的方法是作差法、作商法.√所以y1<y2<y3.【解析】

(1)(作差法)由a>b>1，可得a－b>0，2b－1>0，3b＋1>0，所以a＞b.【答案】

(2)a＞b判断两数(式)大小的方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论.(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论.

√由于x>0，a＋nx>0，a＋(n－1)x>0，所以a－b>0，即a>b.2.已知2a＝6b＝10，则ab________a＋b.(填＞、＜或＝)解析：由题得，a＝log210，b＝log610，所以a＋b＞ab.答案：＜考点二不等式的性质(自主练透)复习指导：利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意不等式成立的条件.√√√解析：对于A：若ac2>bc2，则c2>0，所以a>b，故A正确；2.设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分又不必要条件解析：当b<0时，显然得a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，由a>b得|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.√3.已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(

)A.a2<－ab

B.|a|<|b|

C.a3>b3 D.解析：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，

，所以A，B，D不一定成立；因为a>0>b，所以a3>b3一定成立，故选C.√

判断不等式是否成立的常用方法一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.考点三不等式性质的应用(思维发散)复习指导：利用不等式的性质求代数式的取值范围常用待定系数法.

已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.【解析】由题意得，－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.因为－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.【答案】

(－4，2)

(1，18)1.若将本例条件改为“－1<x<y<3”，求x－y的取值范围.解：因为－1<x<3，－1<y<3，所以－3<－y<1，所以－4<x－y<4.又因为x＜y，所以x－y<0，所以－4<x－y<0，故x－y的取值范围为(－4，0).2.若将本例条件改为“－1<x＋y<4，2<x－y<3”，求3x＋2y的取值范围.解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，利用待定系数法求代数式的取值范围的步骤已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范围.(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围.[提醒]

同向不等式的两边可以相加，但这种转化不是等价变形，如果多次使用这种转化，就有可能扩大代数式的取值范围.答案：(－π，2π)03课后达标检测√

√√√2.(2022·德州乐陵第一中学调研)已知－1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是(

)A.b<ab<a2bB.a2b<ab<bC.a2b<b<abD.b<a2b<ab解析：因为－1<a<0，b<0，所以ab>0，a2b<0，所以ab为三者中的最大值.因为－1<a<0，所以0<a2<1，所以a2b－b＝(a2－1)b>0，所以a2b>b，所以b<a2b<ab.故选D.√3.设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(

)A.充要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件解析：由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.√√√√8.已知－1＜2a＋b＜2，3＜a－b＜4，则4a－b的取值范围是(

)A.(4，11) B.(5，11)C.(4，10) D.(5，10)解析：因为4a－b＝(2a＋b)＋2(a－b)，所以4a－b∈(－1＋6，2＋8)＝(5，10).√答案：3

√

13.某生活用品价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周价格分别为a元