2025年湘师大新版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘师大新版高二数学下册阶段测试试卷945考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A.14B.11C.12D.102、设圆C的圆心与双曲线-y2=1（a＞0）的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线x-y=0被圆C截得的弦长等于1；则a的值为（）

A.

B.

C.2

D.3

3、设p：△ABC的一个内角为60°；q：△ABC的内角满足∠A-∠B=∠B-∠C，那么p是q的（）

A.充分条件；但不是必要条件。

B.必要条件；但不是充分条件。

C.充要条件。

D.既不充分也不必要条件。

4、（1-i）2-i=（）

A.2-2i

B.2+2i

C.3

D.-3i

5、【题文】在△中，若则等于A.B.C.D.6、【题文】目标函数将其看成直线方程时，的意义是（）A.该直线的横截距B.该直线的纵截距C.该直线纵截距的一半的相反数D.该直线纵截距的两倍的相反数7、已知椭圆左右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，若的最大值为8，则的值是（）A.B.C.D.8、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）A.假设三个内角都不大于60°B.假设三个内角都大于60°C.假设三个内角至多有一个大于60°D.假设三个内角至多有两个大于60°9、阅读如图的程序框图；运行相应的程序，若输入N

的值为19

则输出N

的值为(

)

A.0

B.1

C.2

D.3

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、设是的二面角内一点，平面平面为垂足，则的长为__________.11、如图；正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′DE是△ADE绕边DE旋转形成的一个图形，且A′∉平面ABC，现给出下列命题：

①恒有直线BC∥平面A′DE；

②恒有直线DE⊥平面A′FG；

③恒有平面A′FG⊥平面A′DE．

其中正确命题的序号为____．

12、已知圆圆过圆上任意一点作圆的一条切线切点为则的取值范围是.13、.在空间四边形中,若则的取值范围是____.14、【题文】在△中，三个内角的对边分别为．若

则____；____．15、【题文】设变量满足约束条件则的最大值是_______.16、有下列五个命题：①平面内；到一定点的距离等于到一定直线距离的点的集合是抛物线；

②平面内，定点F1、F2，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6；则点M的轨迹是椭圆；

③在△ABC中；“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件；

④“若﹣3＜m＜5，则方程=1是椭圆”．

⑤已知向量是空间的一个基底，则向量+﹣也是空间的一个基底．

其中真命题的序号是____．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共24分)24、已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，直线为该曲线的另一条切线，且的斜率为1．（Ⅰ）求直线、的方程（Ⅱ）求由直线、和x轴所围成的三角形面积。25、如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是D是AC的中点．

（1）求证：B1C∥平面A1BD；

（2）求二面角A1-BD-A的大小；

（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．

26、已知在区间上最大值是5，最小值是－11，求的解析式.27、【题文】（本题满分12分）已知数列中，且点在直线上。

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）若函数求函数的最小值；评卷人得分五、计算题(共3题，共9分)28、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．29、已知a为实数，求导数30、解不等式|x﹣2|+|x﹣4|＞6．评卷人得分六、综合题(共4题，共20分)31、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．32、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为33、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．34、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】试题分析：因为可行域表示三角形因此当目标函数过点时，取到最大值11考点：线性规划求最值【解析】【答案】B2、A【分析】

设圆心坐标为（0）；

∵双曲线方程为-y2=1（a＞0），所以双曲线的渐近线y=即x-ay=0．

∵圆与双曲线的渐近线相切；

∴圆心到直线的距离等于半径，即得r==1；

又∵圆C被直线l：x-y=0截得的弦长等于1；

∴圆心到直线l：x-y=0的距离d==

∴a2=2

又a＞0，∴a=

故选A．

【解析】【答案】先利用圆与双曲线的渐近线相切得圆的半径，再利用圆C被直线x-y=0被圆C截得的弦长等于1；根据勾股定理，确定等量关系，即可求出a．

3、B【分析】

对于p：△ABC的一个内角为60°；说明∠A=60°，或∠B=60°，∠C=60°有一个成立。

对于q：△ABC的内角满足∠A-∠B=∠B-∠C；结合△ABC的一个内角为60°；

∴2∠B=∠A+∠C=180°-∠B

∴∠B=60°；可见p是q的必要而非充分条件．

故选B

【解析】【答案】对于p：△ABC的一个内角为60°；说明三个内角有一个是60°，再看q：△ABC的内角满足∠A-∠B=∠B-∠C，结合三角形内角和180°，可得∠B是60°，因而p是q的必要而非充分条件．

4、D【分析】

（1-i）2-i=12-2×1×i+i2-i=1-2i+（-1）-i=-3i．

故选D

【解析】【答案】直接按照复数代数形式的运算法则；对原式计算化简，得出正确选项即可．

5、D【分析】【解析】

考点：正弦定理．

分析：由已知利用正弦定理可得；sinA=2sinBsinA，从而可求sinB，进而可求B

解：∵a=2bsinA；

由正弦定理可得；sinA=2sinBsinA

∵sinA≠0

∴sinB=

∵0°＜B＜180°

∴B=30°或B=150°

故选D【解析】【答案】D6、D【分析】【解析】

考点：直线的截距式方程．

分析：目标函数z=3x-2y；可以化成直线的截距式方程，即可判定选项．

解：函数z=3x-2y，可以化成直线的截距式方程：+=1（z≠0）；

-表示该直线该直线纵截距的两倍的相反数；z=0时也成立．

故选D．【解析】【答案】D7、D【分析】【解答】由椭圆的方程可得∵∴的周长为若最小时，的值最大，又当轴时，最小，此时所以故选D．8、B【分析】【解答】三角形的内角中至少有一个不大于60°的反面是三个内角都大于60°。

【分析】反证法是先假设结论的反面成立，再进行反驳。当结论无法从正面得到证明时，常用此种方法。9、C【分析】解：第一次N=19

不能被3

整除，N=19鈭�1=18鈮�3

不成立；

第二次N=1818

能被3

整除，N=183=6N=6鈮�3

不成立；

第三次N=6

能被3

整除，N篓T63=2鈮�3

成立；

输出N=2

故选：C

根据程序框图；进行模拟计算即可．

本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．【解析】C

二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】【解析】【答案】11、略

【分析】

如图；正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G；

已知△A′DE是△ADE绕边DE旋转形成的一个图形；

且A′∉平面ABC；

∴△ABC为正三角形且中线AF与中位线DE相交；

∴BC∥DE；又BC⊈平面A′DE，DE⊂平面A′DE；

∴BC∥平面A′DE，故①对；

又AG⊥DE，A′G⊥DE，

且AG∩A′G=G

∴DE⊥面A′FG，故②对

∵DE⊂面A′DE，

∴平面A′FG⊥平面A′DE，故③对；

故答案为：①②③．

【解析】【答案】由△ABC为正三角形；DE是其中位线，可探讨BC与DE的位置关系，以及直线DE与AF，A′G的位置关系，从而可以得到①②③正确与否．

12、略

【分析】试题分析：∵圆C1：（x+cosα）2+（y+sinα）2=4，圆C2：（x-5sinβ）2+（y-5cosβ）2=1，α，β∈[0，2π），∴圆C1的圆心在以原点为圆心，1为半径的圆上运动，圆C2的圆心在以原点为圆心，5为半径的圆上运动，∴圆心关于原点对称的时候|MN|取最大值为在同一侧的时候|MN|取最小值考点：圆的切线方程；计算能力【解析】【答案】13、略

【分析】取BD的中点M，连接AM，CM，由题意知并且设【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】【解析】【答案】2.16、③⑤【分析】【解答】解：①平面内；到一定点的距离等于到一定直线（定点不在定直线上）距离的点的集合是抛物线，若定点在定直线上，则动点的集合是过定点垂直于定直线的一条直线，故①错；

②平面内，定点F1、F2，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是线段F1F2；

若|MF1|+|MF2|＞|F1F2|；则点的轨迹是椭圆，故②错；

③在△ABC中；∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，则2∠B=∠A+∠C=180°﹣∠B；

∠B=60°；若∠B=60°，则2∠B=∠A+∠C=120°，即∠B﹣∠A=∠C﹣∠A；

即∠A；∠B，∠C三个角成等差数列，故③正确；

④若﹣3＜m＜5，则方程=1，m+3＞0，5﹣m＞0，若m=1，则x2+y2=4表示圆；

若m≠1；则表示椭圆，故④错；

⑤已知向量是空间的一个基底；即它们非零向量且不共线；

则向量+﹣也是空间的一个基底；故⑤正确．

故答案为：③⑤

【分析】由抛物线的定义，可判断①；由椭圆的定义，可判断②；由三角形内角和定理及充分必要条件定义，即可判断③；由椭圆的标准方程，即可判断④；由空间向量的基底概念即可判断⑤．三、作图题(共9题，共18分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共24分)24、略

【分析】

（Ⅰ）．在曲线上，直线的斜率为所以直线的方程为即3分设直线过曲线上的点P，则直线的斜率为即P（0，-2）的方程6分（Ⅱ）直线、的交点坐标为8分直线、和x轴的交点分别为（1，0）和10分所以所求的三角形面积为12分【解析】【答案】25、略

【分析】

（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点；

∵D为AC中点，∴PD∥B1C．

又∵PD∥平面A1BD；

∴B1C∥平面A1BD．

（2）∵正三棱住ABC-A1B1C1；

∴AA1⊥底面ABC．

又∵BD⊥AC

∴A1D⊥BD

∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角．

∵AA1=AD=AC=1

∴tan∠A1DA=

∴∠A1DA=即二面角A1-BD-A的大小是．

（3）由（2）作AM⊥A1D；M为垂足．

∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC

∴BD⊥平面A1ACC1；

∵AM⊂平面A1ACC1；

∴BD⊥AM

∵A1D∩BD=D

∴AM⊥平面A1DB，连接MP，则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角．

∵AA1=AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=

∴AM=1×sin60°=AP=AB1=．

∴sin∠APM=

∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为．

【解析】【答案】（1）由题意及题中P为AB1中点和D为AC中点，中点这样信息，得到线线PD∥B1C平行，在利用PD∥平面A1BD线面平行，利用线面平行的判定定理得到线面B1C∥平面A1BD平行；

（2）有正三棱柱及二面角平面角的定义；找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；

（3）利用条件及上两问的证题过成找到∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的线面角；然后再三角形中解出即可．

26、略

【分析】【解析】试题分析：解∵∴令,得。0+0-↗极大↘若,因此必为最大值,∴得∵∴∴∴∴若同理可得为最小值,∴得∵∴∴∴∴考点：导数的运用【解析】【答案】27、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解：（Ⅰ）由点P在直线上；

即且3分。

数列{}是以1为首项；1为公差的等差数列。

同样满足，所以6分。

（Ⅱ）

所以是单调递增，故的最小值是12分五、计算题(共3题，共9分)28、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．29、解：【分析】【分析】由原式得∴30、解：当x＜2时；不等式即6﹣2x＞6，解得x＜0．

当2≤x＜4时；不等式即2＞6，解得x无解．

当x≥4时；不等式即x﹣6＞6，解得x＞12．

综上可得，不等式的解集为（﹣∞，0）∪（12，+∞）．【分析】【分析】将绝对值不等式的左边去掉绝对值，在每一段上解不等式，最后求它们的并集即可．六、综合题(共4题，共20分)31、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．32、（1）{#mathml#}255

{#/mathml#}；（2）{#mathml#}x245+y29=1

{#/mathml#}【分析】【解答】1、由题设条件知，点M的坐标为（），