2023年江苏中考数学大题专练：以三角形为载体的几何压轴问题（模拟30题）解析版

专题21以三角形为载体的几何压轴问题(最新模拟30题)

一、解答题

1.(2023春・江苏镇江•九年级统考阶段练习)

(1)［基础巩固］如图①，在三角形纸片ABC中，AACB=90°,将△4BC折叠，使点2与点C重合，折痕为

MN,则与的数量关系为；

(2)［思维提高］如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6,AB=10,将△ABC折叠，使点2与点C重合,

折痕为九W,求需的值；

DM

(3)［拓展延伸］如图③，在三角形纸片4BC中，AB=9,BC=6,N4CB=2乙4,将△4BC沿过顶点C的直

线折叠，使点8落在边/C上的点/处，折痕为CM.求线段/C的长；

【答案】

(2肯

(3MC=y

【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；

(2)利用相似三角形的性质求出所幺即可；

(3)证明推出器=察=等，由此即可解决问题.

ADDCAC

【详解】(1)解：如图①中，

c

图①

••,A48C折叠，使点8与点C重合，折痕为

・•.MTV垂直平分线段BC,

■■.CN=BN,

,:小NB=UCB=90。,

：.MmAC,

■：CN=BN,

故答案为AM=BM.

(2)如图②中，

图②

•；CA=CB=6,

••・乙4=/JB,

由题意垂直平分线段BC,

・・/B=AICB,

：/BCM=(A,

•••乙B=^B,

:ABCMsABAC,

BC_BM

~BA~BC

6_BM

To——

：.BM=y：

：.AM=AB-BM=IO-T=¥

AM3-2

-5

--1-1-6

0M29

0-

5

(3)如图③中,

A'C

F

A^~B

图③T

由折叠的性质可知,CB=CB'=6,乙BCM=UCM,

■■■^ACB=2AA,

：.Z-BCM—Z-A,

乙B=LB,

:.△BCMFBAC,

BC_BM_CM

''~AB~~BC~~AC

6_BM

*'9一~6~

・・・瓦〃=4,

.'.AM=CM=5,

6_5

''^~~AC9

.••"=字

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段

成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

2.(2023春・江苏苏州•九年级苏州市振华中学校校考阶段练习)如图，在中，NB4C=90°

,AB=AC,〃是NC边上的一点，连接作4P1BM于点尸，过点C作/C的垂线交4P的延长线于点

E.

图1图2图3

(1)如图1,求证：AM=CE；

(2)如图2,以为邻边作D4MBG,连接G£交8C于点N,连接/N,求黑的值；

(3)如图3,若加■是NC的中点，以力B,BM为邻边作口力GMB,连接GE交8c于点连接/N,经探究

发现写请直接写出器的值.

DCOAIN

【答案】(1)见解析;⑵篇=2；(3)华

【分析】(1)通过证△4BM与4CAE全等可以证得AM=CE；

(2)过点E作EF1CE交BC于F,通过证明△ABG与△ACE全等，证得AG=AE,通过△GBN三△EFN

证得GN=EN,最后由直角三角形的性质证得结论；

(3)延长GM交BC于点F,连接AF,在Rt^AFC中，由勾股定理求出AN的长，在&△AEG中，求出

EG的长即可得到答案.

【详解】(1)证明

•・•AP1BM,・••乙APB=90°

•••乙ABP+乙BAP=90°

•・•ABAP+/.CAE=90°

••・Z-CAE=Z.ABP

•・•CE1AC,•••/.BAM=^ACE=90°

•••AB=AC,・•・△ABM=△CAE(ASA)

••・CE=AM

AA

(2)过点E作CE的垂线交BC于点产

・•.Z,FEC=90°

vAB=AC,ABAC=90°

••・乙ACB=乙ABC=45°

•・•匕ACE=90°,・•・LFCE=45°

•••乙CFE=乙FCE=45°

・•.CE=EF/EFN=135°

・•・四边形ZMBG是平行四边形

・•.AM=BG,乙ABG=ABAC=90°

/.Z.GBN=^.ABG+乙ABC=135°

・•・乙GBN=乙EFN

由(1)得△ABMw△巴4E

・•.AM=CE,BG=CE=EF

•••乙BNG=乙FNE

・•.△GBN=△EFN(AAS)

・•.GN=EN

-AG//BM

・•・/,GAE=乙BPE=90°,AN=^GE.

GE「

—=2.

AN

(3)如图，延长GM交BC于F,连接AF

G

A

图3

在口48MG中，AB//GM,△ABM三△MG4

••・乙4MG-4C=90。，

Z.GMC=AACE=90°,

・•.GF//CE,

•・•AM=MC,

・•.BF=CF,

•••AB=AC,

・••AF1BC,AF=却，

・.•整=：,设CN=x,则BC=8x,AF=FC=4x,FN=3x,

•­•在Rt△AFN中，AN=，AF2+FN2=5x,

在RtzXABM中，AB=^BC=¥X8x=4岳,AM=^AB=2V2x,

BM=7AB2+4M2=J（4岳）2+（2V2x）2=2屈x,

AG=BM=2/10%,

由（1）知△ZBM三△CZE,

・•.△CAE=△MGA

AE=AG,

在Rt△AEG中，EG=VT4E2AG2=y[2AG=V2x2V10%=4V5%,

.竺_4后_4V5

'''AN~~^c5~,

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、勾股

定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找全等三角形解决问题，属于压轴题.

3.（2023•江苏♦九年级专题练习）如图，在中，zC=90°,BC=3,4。=4,点尸，。都是斜边43

上的动点，点尸从8向/运动(不与点2重合)，点。从“向2运动，BP=AQ.点、D,E分别是点/,B

以。，P为对称中心的对称点，于。，交/C于点〃，当点E到达顶点/时，P,。同时停止运动,

设AP的长为x,的面积为八

(1)求证：ADHQsAABC；

(2)求y关于x的函数解析式；

(3)当x为何值时，为等腰三角形?

U比一"20＜久＜2

【答案】⑴证明见详解⑵y与x之间的函数解析式为片号，%%*(3)当x的值为条

黑，3)时，△”£＞£是等腰三角形.

•LUJ11q

【分析】(1)4、。关于点。成中心对称，HQ1AB,可得NDQH=NC=90。，DH=AH,根据等边对等角可

得=可得△DHQSAABC；

(2)在RtA48C中根据勾股定理求出48=5,AQ=QD=BP=PE=x,分两种情况，①如图1,当0cx4时,

ED=5-4x,利用相似三角形性质求出Q吟,利用三角形面积可求y=纱E-QW=|(5-4%)--部+

择.②如图2,当土》注时，ED=4x-5,Q吟,利用三角形面积y=20E.QH=,4x—5)E=#—

揖即可；

O

(3)等腰三角形分两类情况，D、E相遇前与相遇后，D、£相遇前，当时，列方程"=5—4%；

D、E相遇后分三种情况当ED=EH时，在RtAQBE中根据勾股定理列方程HE?=QE2+QH2=(5-3%)2+

(1X)2=£)E2=(5-4X)2,当。£=!汨时列方程4x—5=务，当EH=DH时,列方程3x-5=x,然后解方程即

可.

【详解】证明(1)•••/、。关于点。成中心对称，HQ1AB,

.・ZDQH="=9O。，DH=AH,

：.Z.A=Z-ADH,

•,△DHQs/\ABC.

解（2）在RtAASC中+BC2=,42+32=5,3尸的长为x,AQ=BP=x，点D,E分别是点4,B

以。，P为对称中心的对称点，AQ=QD=BP=PE=xf

①如图1,当0＜久＜3时，切=5—4%,

•:HQUB,

〃=乙。=90。，

•:乙QAH=^CAB,

•••△QAHMCAB,

，丝=丝昵=空

ACCB143

3支

••・QH=z

此时y=扣E.Q”=如_4%）•牛=-1%2+yx.

②如图2,当*xw|时,

••旬=4%—5,QH=~,

此时y=纱£.QH=|(4x-5)-y=|x2-^-x.

—15X-302<(cX7,<5-

82\4>

•••y与x之间的函数解析式为y=15，57,5

--------X\-<X<-

8V42,

解：（3）等腰三角形分两类情况，D、E相遇前与相遇后,

D、E相遇前，当。时，QD=x,QH=—,

:.DHfQH2+QD2=J停)+/=%,DE=5-4X,

.,-5-%=5L—4A%,

4

解得x=3

当ED=EH时,AE=5-BE=5-2x,QE=5-3x,QH=—,

在RtAQBE中，HE2=QE2+QH2=(5-3x)2+Qx)2=DE2=(5-4x)2,

解得x=摆;

B

当QE=I汨时,4%—5=曲,

4

解得比=*;

当£由。〃时，

••,HQ工ED,

-EQ=DQ,

'-'EQ=EB-QB=2x-(5-x)=3x-5,

•••3x-5=x,

解得X等

当X的值为令，愕，黑，和寸，△/»£是等腰三角形.

【点睛】本题考查轴对称性质，三角形相似判定与性质，三角形面积，以及面积函数，等腰三角形判定，

一元方程及其解法，掌握轴对称性质，三角形相似判定与性质，三角形面积，以及面积函数，等腰三角形

判定，一元方程及其解法，利用分类思想解题是解题关键.

4.(2023春•江苏南通・九年级专题练习)如图1,△力BC中，AB=AC,N4BC>45。，△BCD是以2C为斜

边的等腰直角三角形.

⑴求乙1DB的度数；

(2)将48绕点/逆时针旋转90。得到/G,连接BG,GD,GC.

①若4。=4,tanzCGD=提请在图2中补全图形，并求CD的长；

②过点C作CF1BG,垂足为R请写出ED,FB,尸C之间的数量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)135。

(2)①图见解析，2鱼；@FB=FC+V2FD,证明见解析

【分析】(1)证明三△4CD,可得=然后根据NBOC=90。可得答案；

(2)①根据题意补全图形；由旋转的性质可得△4BG为等腰直角三角形，然后证明△力BDs^GBC,求

出CG及NBCG,然后可得ADCG=90。，再根据正切的定义求解即可；

②在8尸上取一点H,使4HDF=90°,可得3、C、尸、。四点在以为直径的圆上,然后证明△BDH三△CDF

(ASA),求出△£>///为等腰直角三角形即可得出结论.

【详解】(1)解：•・•△BCD是以8c为斜边的等腰直角三角形，

.•.DB=DC,

5L-：AB=AC,AD=AD,

:.4ABDmAACD(SSS),

:./-ADB=/-ADC,

又•.2BDC=90。，

1

；ZADB=/.ADC=-x(360°-90°)=135°；

(2)①补全图形如图:

由旋转可知△4BG为等腰直角三角形，

or,

=V2,"BG=45°,

AD

又：△BCD是等腰直角三角形，

=V2,4DBC=45°,

DL)

：.Z-ABD=Z.GBC,

・•・△ABD-AGBC,

：.CG=V2XD=4V2,^BCG=^ADB=135°,

又,:乙BCD=45°,

.-.ZDCG=90°,

cn1

-tan^CGD=—=^

C(Jz

■■.CD=2V2；

②FD,FB,PC的数量关系：FB=FC+也FD；

证明：在8尸上取一点〃，使NHDF=90。，贝IUBOH=ZTDF,

垂直3G,

."CFB=乙BDC=90°,

:.B、C、F、。四点在以8C为直径的圆上，

...乙DBH=4FCD,

■：BD=CD,

：.△BDH^ACDF(ASA),

.-.BH=FC,DH=FD,

;.△£)///为等腰直角三角形，

.-.HF=42FD,

:.FBFC+^2FD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,

解直角三角形，四点共圆，圆周角定理等知识，能够作出合适的辅助线是解题的关键.

5.(2023•江苏扬州•校考一模)如图1,R叱中，^4=90°,Zfi=45°,NC的角平分线交边48于。点，

BD=42,

⑴请求出NC的长；

(2)如图2,£为。上的一个动点，AEVEF,ACVCF,£尸交/C于G点，连接NR当£点在CD间运动时,

请判断黑的值是否为一个定值，如果是请求出具体的值，不是，请说明理由；

/1C,

(3)在(2)的条件下，若AE=EC,请求出△EGC的面积.

【答案】⑴/C=«+l；

(2荒的值为是一个定值，^=72+1；

⑶SZGEC=；

【分析】(1)作。"12C于"，由角平分线的性质得到40=。初，根据3。=鱼，乙8=45。求出。朋=3河=1,

进而得到AC=AB=a+1；

(2)取/尸的中点为N,连接EN,CN,证得4E、C、尸四点共圆，推出乙4FE=4CD,进而证得

AAEF~ADAC,得至！；

JRA匕=—AU=V2+1

(3)由求得ZAFC=45°,得至UCF=AC=<2+1,求出CG=1,AG=&,易证AE=DE=EC,利用SAAEC=

手=苧，得至也

【详解】(1)作。M12C于M,

•••CD平分乙4C5,^DAC=90°,

:.AD=DM,

•••BD=&,Z5=45°,

：.DM=BM=\,

,-.AD=DM=l,

又・・・。=90。，匕3=45。,

­.AC=AB=V2+1；

(2)取4r的中点为N,连接£N,CN,

•・•乙4£尸=乙4c歹=90。，

••.EN=CN=AN=NF,

・•・/、E、C、尸四点共圆,

山FE=UCD,

又,."AC=UEF=90。,

；・AAEF〜ADAC,

(3)由第(2)问可知力、E、C、b四点共圆,

•：AE=EC,

：./.AFE=/-EFC,

-AACD=22.5°

,・••乙AFE=^EFC=22.5。,

・・・々/。=45。,

■■.CF=AC=y/2+1,

又嘿=笠=&+l,

•••CG=1,

:.AG=&,

•；AE=EC,

；/EAC=UCE,

■■■/.EAC+U)AE=^ACE+Z^DC=9QO,

•t-Z-ADE=Z.DAE,

：.AE=DE=EC,

：.SAAEC^^=苧,

11

1-,

.•.SAGEC^+1-

V24

【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，直角三角

形斜边中线的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键.

6.（2023春・江苏南通•九年级专题练习）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可

以通过旋转解决问题.如图①，在四边形/8CZ）中，AD=CD,^ABC=120°,^ADC=60°,AB=2,

BC=1.

【问题提出】

（1）如图②，在图①的基础上连接2，由于2D=CD,所以可将aDCB绕点。顺时针方向旋转60。，得到

△DAB',则△的形状是；

【尝试解决】

（2）在（1）的条件下，求四边形4BCD的面积；

【类比应用】

(3)如图③，等边aABC的边长为2,△BDC是顶角NBDC=120。的等腰三角形，以。为顶点作一个60。的

角，角的两边分别交于点交AC于点、N,连接MN,求△2MN的周长.

【答案】(1)等边三角形

(2呼

(3)4

【分析】(1)由旋转的性质得出。Q，乙BDB，=60。,所以△8。夕是等边三角形；

(2)求出等边三角形的边长为3,求出三角形8。9的面积即可；

(3)将△3。“绕点。顺时针方向旋转120。，得到△DCP,则三△CDP,得出NBD=

乙DCP,乙MDB=LPDC,证明△MWO三△NPD,证得ZUAfiV的周长=/8+/C=4.

【详解】(1)解：：将△£>以绕点。顺时针方向旋转60°,得到△D48',

：.BD=B'D,ZBDB'=60°,

:.△BDB'是等边三角形；

故答案为：等边三角形；

(2)解：由(1)知，△SCr>^AS,AD,

...四边形/BCD的面积=等边三角形也)夕的面积，

,:BC=AB'=1,

：.BB'=AB+AB'=2+1=3,

:.S四边形ABCD=SABDB.x3X等=竽；

(3)解：将绕点。顺时针方向旋转120°,得到△DCP

ABDM^ACDP,

:.MD=PD,CP=BM,NMBD=/DCP,ZMDB=ZPDC,

「△BDC是等腰三角形，且NADC=120°,

：.BD=CD,NDBC=NDCB=30°,

又；△NBC等边三角形，

AZABC=ZACB=60°,

AZMBD=ZABC+ZDBC=90°,

同理可得/NCD=90°,

/PCD=ZNCD=ZMBD=90°,

/.ZDCN+ZDCP^1SO°,

:.N,C,尸三点共线，

■:/MDN=60°,

：.ZMDB+ZNDC^ZPDC+ZNDC^ZBDC-NMDN=60°,

即/Affi>N=NPDN=60°,

:.ANMD妾ANPD{SAS）,

：.MN=PN=NC+CP=NC+BM,

：.^AMNJW¥Z=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2+2=4.

故△/MN的周长为4.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了图形的旋转变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与

性质，类比思想等.熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键.

7.（2023春・江苏南通•九年级专题练习）（1）如图1,在四边形ABCD中，NB=NC=90。，点E是边BC上一

点，AB=EC,BE=CD,连接4E、DE.判断△2ED的形状，并说明理由；

（2）如图2,在平面直角坐标系中，已知点4（0,1）,点C是x轴上的动点，线段C4绕着点C按顺时针方

向旋转90。至线段CB,连接B。、BA,

①求2点的运动轨迹解析式

②80+B4的最小值是.

【答案】（1）见详解

（2）®y=x-l；②四

【分析】(1)根据已知条件证得△ABE三△ECD,即可证得△AED为等腰直角三角形;

(2)①根据(1)可知△A。。三△CDB,设8点坐标为(％,y),C点坐标为(m,0),可得x=m+l,y-m,

即点3的运动轨迹解析式为：y=x-l；

②作点。关于直线y=c-l的对称点。1，连接入。1，交直线尸片1与点比，此时/、/、/三点共线时，BO+

B4值最小，求得。1坐标为(1,-1),根据勾股定理即可求得最小值.

【详解】(1)△4ED为等腰直角三角形，理由如下，

在△4BE与△ECD中，

(AB=EC

•：］Z-B=乙C,

VBE=CD

：./\ABE=^ECD{SAS},

;.AE=DE,Z-BAE=Z.CED,

•：Z-BAE+ABEA=90°f

・"EZ+"ED=90。，

.•.乙4ED=90。，

.•.△HE。为等腰直角三角形；

(2)①作BDlx轴于点D,如图所示，

由(1)得，AAOC=ACDB,

.-.AO=CD=1,CO=BD,

设8点坐标为(％,y),C点坐标为(m,0),

.,.%=m+l,y=m,

：.y=x-l,

・••点2的运动轨迹解析式为：y=x-l；

②如图所示，作点。关于直线y=x-l的对称点。1，连接4。1，交直线y=x-l与点Bi，

止匕时。181=081，ABBi=AB1Bi=A01,

即4、。八/三点共线时，8。+84值最小，

・・•直线y=%-l垂直平分。。1，

.,.0G=00^=l,

.・.。1坐标为(1,-1),

••皿=/"2+6。12=，22+12=心

即：8。+员4的最小值为限

【点睛】本题主要考查的是一次函数与全等三角形的综合，主要是数量掌握“一线三垂直”模型以及“将军饮

马”模型.

8.(2023・江苏•九年级专题练习)如图，在等腰直角A42C中，"C5=90。，AC=BC,CD是中线，一个以

点。为顶点的45。角绕点。旋转，使角的两边分别与NC、3c的延长线相交，交点分别为点E、F,DF马

NC交于点M,DE与3c交于点M

图1图2

(1)如图1,若CE=CF,求证：DE=DF.

(2)在乙红中绕点D旋转过程中：

①如图2,求证：CD2=CE(F；

②若CE=6,CF=3,求DN的长.

【答案】(1)见解析

⑵①见解析；②DN=V1U

【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质可得NDCF=NDCE=135。，然后证明△DCE三ADCF即可得出结论；

(2)①禾!J用三角形夕卜角的性质得出NCDF+NCFD=48CD=45。，ZCDF+ZCDE=45°,贝IJNCFD=NCDE,结

合NDCF=NDCE=135。，证明△CFDS^CDE,根据相似三角形对应边成比例可得结论；

②根据①中结论求出CD的长度，过点。作DP1BC于点P,贝I」。尸〃CE,DP=CP=*D=3,可证明

PND,从而得出PN的长度，运用勾股定理计算即可.

【详解】(1)证明：・•・在等腰直角△ABC中，4cB=90°,AC=BC,CD是中线，

.•.△ABC为等腰直角三角形，

.-.ZXCD=ZSCD=45°,AB=2CD,

ZDCF=ZOCE=135°,

在△DCF和△£)£1£■中，

(CD=CD

\/-DCF=/.DCE,

ICF=CE

■.4DCF三△DCE(SAS),

；.DE=DF；

(2)①「4CDF+乙CFD=4BCD=45°,ZCDF+ZCD£=45°,

•••Z.CFD=Z-CDE,

•・•ADCF=^DCE=135°,

・•・ACFD〜ACDE,

tCD_CF

''~CE~'CD'

•.CD2=CE-CF；

②•・•CE=6,CF=3f

：.CD=3y/2,

过点。作。尸IBC于点P,

E

图2

贝！DP=CP=*D=3,

・•.△CNE〜/\PND,

.PN_PD_1

"'CN~'CE~2,

PN=；ICP=：IDP=1,

在RtADPN中，DN=y/DP2+PW2=V32+12=V1O.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形以及勾股定理,

熟练掌握全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质是解本题的关键.

9.(2023春・江苏南京•九年级南京市竹山中学校考阶段练习)(1)［初步尝试］如图①，在三角形纸片ABC

中，乙4c3=90。，将A4BC折叠，使点3与点C重合，折痕为则与5M的数量关系为；

(2)［思考说理］如图②，在三角形纸片N8C中，AC=BC=6,48=10,将八42。折叠，使点2与点C重

合，折痕为求需的值；

DM

(3)［拓展延伸］如图③，在三角形纸片48c中，AB=9,BC=6,UCB=2U,将A48C沿过顶点C的直

线折叠，使点3落在边NC上的点⑶处，折痕为CM.

①求线段/C的长；

②若点。是边NC的中点，点尸为线段。夕上的一个动点，将沿尸新折叠得到△4PM,点N的对应

PP

点为点4,4M与CP交于点R求研的取值范围.

【答案】(1)AM=BM；(2)与；(3)(l)y;<^<|

【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

(2)利用相似三角形的性质求出8M,即可.

(3)①证明推出器=等=器，由此即可解决问题.②证明△「口，一△九田。推出鉴=笠，

/1D£5CCf/3C1*1

因为CW=5,推出需=鲁即可解决问题.

•••△^8。折叠，使点8与点C重合，折痕为MN,

••.々W垂直平分线段BC,

：,CN=BN,

，：AINB=UCB=90。,

BN_BM

'*'CW-'AM"

,:CN=BN,

:.AM=BM.

故答案为：AM—BM.

(2)解：如图②中，

c

•；CA=CB=6,

-'-Z-A—Z-B,

由题意得：垂直平分线段5C,

:.BM=CM,

・・/B="CB,

：./-BCM=Z.A,

•••乙B=(B,

•••△BCM〜ABAC,

BC_BM

6BM

''To一~6~f

：.AM=AB-BM=10-y=y,

AM等16

•,・前=?一

(3)解：①如图③中，

由折叠的性质可知，CB=CB，=6,乙BCM=UCM,

“C5=2"

・"CM=乙4cM=乙4,

•:乙B=CB,

:•△BCMFBAC,

.BC_BM_CM

''~AB~~BC~~AC9

6_BM

**,9一~6~f

：.AM=CM=5,

65

••5—~ACJ

「15

.'.AC=—.

图③-I

•:小=Z.A'=Z-MCFfZ-PFA'=/-MFC,PA=PA',

・•.△PFA'-△MFC,

PF_PA'

"FM-CM，

,:CM=5,

FM5

•・•点尸在线段。方上运动，CM=OC=S4/=与一6=*

若，

3,PR,3

,—v----V-

*,10-FM-V

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线

分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

10.（2023秋•江苏连云港•九年级统考期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小

覆盖圆.

图①图②图③

(1)如图①，线段AB=3,则线段4B的最小覆盖圆的半径为；

(2)如图②，RtaABC中，NA=90。，AB=®AC=3a,请用尺规作图，作出Rt△4BC的最小覆盖圆(保

留作图痕迹，不写作法).此最小覆盖圆的半径为；

(3)如图③，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,则矩形2BCD的最小覆盖圆的半径为；若用两个等

圆完全覆盖该矩形A8CD,那么这两个等圆的最小半径为.

【答案】(嚅

(2)作图见解析，|

(3浮,等

【分析】(1)根据最小覆盖圆的定义可知，当4B为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆；

(2)根据最小覆盖圆的定义可知，直角三角形的最小覆盖圆即为该直角三角形的外接圆，据此求解即可；

(3)根据最小覆盖圆的定义可知，矩形2BCD的外接圆即为最小覆盖圆，如图③所示，连接AC、BD交于

0,则点。即为矩形ABCD的外接圆圆心，利用勾股定理求出4C的长即可得到答案；如图④所示，分别取

AD,BC的中点G,H,连接4”,BG交于E,连接CG、DH交于F,连接G”，则四边形力BHG,四边形CDG”

都是矩形，同理可得圆£和圆尸分别是四边形4BHG,四边形CDGH的最小覆盖圆，同理求出4E即可.

【详解】(1)解：如图所示，・./8W071+OB,

：.0A<O'A9为AB中点，)，

・••,当4B为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆，

.•・线段4B的最小覆盖圆的半径为=*

故答案为：

图①

(2)解：由题意可知Rt^ABC的最小覆盖圆即为RtZ\48C的外接圆,

作线段BC的垂直平分线交BC于。，点D即为最小覆盖圆圆心，

•.•在RtZi2BC中，"=90。，AB=y/7,AC=3小

■-BC=yjAB2+AC2=5,

•••*BC=|，

■•.Rt△ABC最小覆盖圆的半径为:

故答案为：|；

图②

(3)解：由题意得，矩形4BCD的外接圆即为最小覆盖圆,

如图③所示，连接AC、BD交于。，

•.•四边形ABCD是矩形，

：.0A=OB=OC=OD,

・••点0即为矩形ABC。的外接圆圆心，

-：AB=3,BC=5,AABC=90°,

■■■AC=7AB2+BC2=V34.

.M=夕。=等

矩形4BCD的最小覆盖圆半径为亨；

D

图③

如图④所示，分别取力D,BC的中点G,H,连接4”,BG交于E,连接CG、DH交于F,连接GH,则四边形

ABHG,四边形CDGH都是矩形,

同理可得圆£和圆尸分别是四边形四边形CDGH的最小覆盖圆,

在Rt△力中，AB=3,BH=|BC=|,AABH=90°,

.■.AH=7AB2+BH2=殍,

：.AE=\AH=^,

••.这两个等圆的最小半径为缥,

4

故答案为：绥华.

【点睛】本题主要考查了三角形外接圆以及四边形的外接圆的相关知识，矩形的性质，勾股定理，正确理

解最小覆盖圆的定义是解题的关键.

11.（2023秋•江苏泰州•九年级校联考期末）如图1,在等边△4BC中，点D,£分别在48,BC上，且

BD=CE,连接CD,AE交于点M,将力E绕着点4顺时针旋转60。得到2F,连接EF.

图1图2

⑴①A4EF=°.

②求证：EFWCD.

(2)如图2,连接DM若DEIIZC,求证：DE2=DM•DC.

【答案】⑴①60；②见解析

(2)见解析

【分析】(1)①根据旋转的性质和等边三角形的判定得出△4”为等边三角形，即可得出乙4EF的性质.

②利用SAS证出△ACEM4CBD,得出=再利用三角形外角的性质得出

乙CME=Z.CAE+ACD=60°,再利用平行线的判定即可.

(2)利用=得出比例式即可.

【详解】(1)解：①•・•将/E绕着点/顺时针旋转60。得到4F,

：.AE=AF,Z,EAF=60°

・・・△/E尸是等边三角形，

・ZEF=60°,

故答案为：60；

②证明：•・•△ABC是等边三角形，

：.AC=BC,AACE==60°.

在△ACE和中，

(AC=BC

\z-ACE=/-CBD

ICE=BD

AACE=ACBD(SAS),

：.^BCD=/_CAE,^BCD+^ACD=60°,

.-.ACME=Z.CAE+ACD=60°.

-Z-AEF=60°

：./LAEF="ME,

.-.EFWCD.

(2)证明：・.・QE||4C,

"DEM=/.CAM.

由(1)知Z_5CD=/CAE,

・•/DEM=乙DCE.

-：Z-MDE=乙EDC,

・•.△DMEDEC,

DE_DM

,•茄—"5p

.-.DE2=DM-DC.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判

定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.

12.(2023秋•江苏泰州•九年级校考期末)已知：在正方形力BCD中，点E、F分别是C8、CD延长线上的点,

SLBE=DF,连接ZE、AF.DE、DE交于点M.

(1)如图1,当E、4、F在一直线上时，求证：点M为ED中点;

(2)如图2,当力FIIED,求证：AM2=AB-BM.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)连接AC,根据正方形的性质得到=NBEM=NBCD=90。，得出△4DM三△BEM,根

据全等三角形的判定和性质即可得DM=EM；

(2)根据正方形的性质得到ND4M=NEBM=90。，AD=AB,根据相似三角形的性质得到需=黑，根据

DMDC,

已知条件得到四边形AMD尸是平行四边形，根据平行四边形的性质得到4M=DF,等量代换得到=

于是得到结论.

【详解】(1)证明：连接AC,・・•四边形ABC。是正方形，

.-.ADAM=ABEM=^BCD=90°,^BCA=^DCA=4509AB=BC=CD=DA,

-BE=DF,；.CE=CF,

=/F=45。,

:.BE—BA—AD,

在△4DM和ABEM中,

（Z-DAM=乙EBM

]/LAMD=Z.BME,

IAD=BE

△ADM=△BEM,

；,DM=EM,即点M为EO中点

图1

（2）证明：・・•四边形/BCD是正方形,

.-.Z.DAM=乙EBM=90°,AD=AB,

AADM~ABEM,

AM_AD

-AM\\DFfAF\\DE,

・•・四边形/MDF是平行四边形，

.'.AM=DF,

'.'BE=DF,

：.AM=BE,

AM_AB

图2

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的

性质与判定，熟练掌握以上知识并运用是解题的关键.

13.（2023春・江苏•九年级专题练习）【模型建立】（1）如图1,在等边△ABC中，点。、E分别在BC、AC

边上，^ADE=60°,求证：AB-CE=BD-DC；

【模型应用】（2）如图2,在RtZkABC中，Z.BAC=90°,NB=60。，4D18C于点。，点£在AC边上，

。F

4E=4。，点尸在DC边上，AEFD=60°,则定的值为；

【模型拓展】（3）如图3,在钝角△A8C中，〃BC=60。，点。、E分别在BC、AC边上，

^DAE=^ADE=60°,若AB=5,CE=6,求DC的长.

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）DC=9

【分析】（1）利用等边三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质解答即可；

（2）先证明△ZDE为等边三角形，进一步得到DE=EC,△DER是直角三角形，贝！J。F=2EF,再证得

EF=FC,则。尸=2>C,得到答案；

（3）在。C上截取连接EF,先证明△54。三△FDE（SAS）,再证明△EFC〜△DEC,利用相似三

角形的性质求得CF=4,即可得到答案.

【详解】（1）证明：・・・△ABC是等边三角形，

・・・乙48。=乙4cB=60。，

.・2ADE=60。,

：.Z-ABC=乙ADE,

,：Z.ADC=Z-ADE+乙CDE=Z.ABC+乙BAD,

：.Z-CDE=乙BAD,

AABD~4DCE,

AB_BD

'''DC~~CE'

：.AB,CE=BD,DC；

（2）解：・♦2BZC=90。，ZB=6O°,

.4=30。，

vzB=60°,ADIBC,

・44O=30。,

.-.ADAE=60°,

,：AE=AD,

・・.△ADE为等边三角形，

.,.DE=AD=AE,Z-ADE=乙AED=60°,

-AAED=ZC+乙EDC=60°,

.­.ZEDC=ZC=3O°,

：.DE=EC,

••ZEFD=60°,

"DEF=180°-乙EFD一乙EDC=90°,

・•.△OEF是直角三角形，

：,DF=2EF,

"DEF=Z-C+Z-FEC=60°,

.•."EC="=30。，

：.EF=FC,

：.DF=2FC,

即冷2,

故答案为：2

(3)在DC上截取=连接EF,如图3,

图3

"DAE=Z.ADE=60°,

.-.ADAE=/.ADE=^AED=60°,

•••△ADE是等边三角形，

.,.AD=DEf

・•・乙4BC=60。，AADE=60°,

"ADB+乙BAD=120°,乙ADB+乙EDF=120°,

：.Z-BAD=Z-EDF,

在△BAD和△尸DE中，

（BA=DF

］乙BAD=乙FDE

IAD=DE

A^D=AFDE（SAS）,

."B=乙EFD=60°,

.­.ZEFC=120°,

-Z.AED=60°,

.・ZDEC=120。，

"EFC=乙DEC,

vzC=Z.C,

・•.△EFCDEC,

EC_CF

,•比一访‘

6_CF

‘5+"-~6~f

：.CF2+5"—36=0,

解得CF=4或CF=-9（不合题意，舍去），

・・.CF=4,

DC=Z）F+CF=5+4=9.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、直角三角

形的性质、含30。角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的

关键.

14.（2023秋•江苏泰州•九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）（1）如图1,D、E为等边△ZBC中BC边

所在直线上两点，ACME=120。，求证：XABDsXECA；

（2）中，^DAE=120°,请用不含刻度的直尺和圆规在DE上求作两点仄C,点B在点C的左侧，使

得△ABC为等边三角形；

（3）在（1）的条件下，”为BC边上一点，过“作"用凶。交延长线于点F,HGII4E交AC延长线于点G,若

up

AB=6,BD=a,^HAE=60°,求去的值.（用含有a的代数式表示）

AAA

【答案】⑴见解析；（2）见解析；（3）

【分析】《）根据等边三角形的性质可得423。=乙4废=120。,再由4口45=120。，可得4比4。+4。15=60。,

从而得到ND=NC4E,即可；

（2）作AB4D=NE/a4E=ND,分别交0E于点2,C,即可；

（3）根据等边三角形的性质以及N/ME=60。，=AGAH,AFAH=^CAE,再由HFII4D,可得

4F=ZBAD,再由△/^0“△£1乙4,可得CE=至，NF=NE,可证得△4F"S△AEC,从而得到瞿=瞿,

aCcAc

同理△aGHsaADB,可得黑=*，从而得到黑=噂，即可求解.

DUADDUCC

【详解】（1）证明：・・・△ABC是等边三角形，

：.^LABC=乙ACB=ABAC=60°,

：.AABD=A.ACE=120°f

：.Z-D+乙BAD=60°,

・SAE=120。，

.-.^BAD+Z.CAE=/-DAE-A.BAC=60°,

；/D=Z.CAE,

.--AABD-AECA；

（2）解：如图，△ABC即为所求；

理由：根据作图得：乙BAD=^E,乙CAE=^D,

.--AABD-AECA,

：.Z-ABD=乙4cM

：.Z.ABC=Z-ACB,

•.2D4E=120。，

"D+ZE=z£)+乙BAD=60°,z£)+ZE=ZE+Z.CAE=60°,

^^ABC=4。+乙BAD=60°,4ACB=ZE+Z,CAE=60°,

：./-ABC=乙ACB=60°,

：.Z-BAC=/.ABC=/-ACB=60°,

・•.△ZBC是等边三角形；

(3)•・•△ABC是等边三角形，

・44C=60。，AB=AC=6f

-Z.HAE=60°,ADAE=120°,

"DAH=LEAH=Z.BAC=60°,

：.£.BAD=AGAH^FAH=Z.CAE,

-HFWAD,

••zF=Z-BAD,

由(1)得：△AB"Z^ECA,

嘿=,，/.BAD=乙E/D=乙EAC,

*=也即09=返，

：.Z.F=乙E,

AAFH-AAECf

FH_AH

：'~CE一就‘

同理△ZG”〜△ZDB,

GH_AH

：'~BD-~ABJ

GH_FH

：'~BD-CF,

HFCE—36

----=----=_2_=---

2

HGBDaa,

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判

定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键.

15.(2023•江苏泰州•九年级校考期末)如图1,在等边△ABC中，点。，£分别在48,BC上，且=CE,

连接CD,2E交于点将/E绕着点/顺时针旋转60。得到2F,连接EF.

⑴①=°；

②求证：EF||CD.

(2)如图2,连接DE,若DEII4C,求证：DE2=DM-DC.

【答案】⑴①60；②见解析

(2)见解析

【分析】(1)①根据旋转的性质证明是等边三角形即可；

②先证