2023年高中数学基础知识及础题型复习：立体几何模块之直线、平面垂直的判定及其性质

第四节直线、平面垂直的判定及其性质

【知识点15】直线与平面垂直的判定

1.直线与平面垂直的定义

如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线1与平面a互

定义

相垂直

记法l-La

直线/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂面，它们唯一的公共点尸

有关概念

叫做垂足

图示k

画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

2.直线和平面垂直的判定定理

文字

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

语言

符号

/_La,IVb,aUa,bUa,aA

语言

图形

语言

典型例题：

【例1】（概念的理解）下列命题中，正确的序号是.

①若直线/与平面a内的无数条直线垂直，贝

②若直线/与平面a内的一条直线垂直，则/，a；

③若直线/不垂直于平面a,则a内没有与/垂直的直线；

④若直线I不垂直于平面a,则a内也可以有无数条直线与/垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.

【反思】（1）对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线

垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.

（2）判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.

【变式1】（1）若三条直线CM,OB,OC两两垂直，则直线CM垂直于（）

A.平面OABB.平面OAC

C.平面O2CD.平面ABC

（2）如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；

④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是.（填序号）

【变式2】已知根和"是两条不同的直线，a和4是两个不重合的平面，那么下面给出的条

件中，一定能推出心，夕的是（）

A.a//日,且mUaB.m//n,且〃_1_夕C.加_1_〃，且尸D.〃?_!_〃，且"〃"

【变式3】下列说法中，正确的有（）

①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；

②过直线/外一点尸，有且仅有一个平面与/垂直；

③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；

④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；

⑤过点4垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于。的平面内.

A.2个B.3个

C.4个D.5个

例2（线面垂直的判定）如图，在三棱锥S—/8C中，ZABC=90°,。是NC的中点，且&4=

SB=SC.

（1）求证：平面/8C；

（2）若AB=BC,求证：8。，平面&4。

【反思】（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤

①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直;

②确定这个平面内的两条直线是相交的直线;

③根据判定定理得出结论.

(2)平行转化法(利用推论)：

①a〃6,a_l_a=>6J_a;@a//P，

【变式1】如图，正方体/BCD—的棱长为2.求证：AC±B1D；

【变式2】如图所示，直三棱柱NBC—4纥4的底面N8C为等腰直角三角形，ZACB=

90°,C点到的距离为CE,。为的中点.

求证：(1)CD_L必;

(2)/8]_L平面CED.

【练习3】如图，在四棱锥尸一/BCD中，底面N8CD是矩形，网_L平面/BCD,AP=AB

2,BC=2串,E,尸分别是尸C的中点.证明：尸C,平面BEE

知识点

【能力提升思考】

已知HBAC在平面a内,PDa,DPAB=DPAC.求证：点P在平面a内的射影在EIBAC的平

分线上.

【变式1】如图所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，ZBAC=90°,BC11AC,C1H1

AB,证明：点H是Cl在平面ABC内的射影.

【反思】(1)求直线和平面所成角的步骤

①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的

角；

③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.

(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的

特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.

【知识点16】直线与平面所成的角

有关概念对应图形

与平面a相交，但不和平面a垂

斜线

直，图中直线必

斜足斜线和平面的交点，图中点/,_____2/

过斜线上斜足以外的一点向平面

/0L/

引垂线，过垂足和斜足的直线叫

射影

做斜线在这个平面上的射影，图

中斜线PA在平面a上的射影为

直线NO

定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中

ZPAO

直线与平面所成的角

规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90。；一条直线和

平面平行，或在平面内，它们所成的角是0。

取值范围设直线与平面所成的角为仇0OW6W90。

典例讲解:

【例1】(直线与平面所成的角)如图，在正方体/8CD—中,

⑴求//与平面AAXDXD所成的角；

(2)求AR与平面BBRD所成的角.

【反思】求直线与平面所成角的步骤：

(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.

(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的

角.

(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.

【变式1】如图所示，/8是圆柱的母线，即是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，

且/3=3C=2,/CBD=45。,求直线2D与平面/CD所成角的大小.

【变式2】如图，已知OBOC在平面a内，CM是平面a的斜线，且□ZOB=1/OC=60。,

OA=OB=OC=1,BC=yj2,求。/与平面a所成的角的大小.

【思考1】把正方形/BCD沿对角线NC折起，当以4,B,C,。四点为顶点棱锥体积最大

时，直线8。和平面4BC所成的角的大小为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【变式1】如图所示，四棱锥S一/BCD的底面为正方形，50,底面4BCD,则下列结论中

不正确的是（）

s

A.ACLSB

B./2〃平面SCO

C.“与平面SAD所成的角等于SC与平面SAD所成的角

D.与SC所成的角等于DC与山所成的角

【例4】(综合应用)如图，h，矩形4BCD所在的平面，M,N分别是48,PC的中点.

(1)求证：ACV〃平面总。；

(2)若PD与平面4BCD所成的角为45。，求证:MN_L平面PCD.

【方法小结】

1.直线和平面垂直的判定方法：

(1)利用线面垂直的定义.

(2)利用线面垂直的判定定理.

(3)利用下面两个结论：

①若q〃6,q_La,则6_La;②若a〃£,a_La,则a_LQ.

2.线线垂直的判定方法：

(1)异面直线所成的角是90。.

(2)线面垂直，则线线垂直.

3.求线面角的常用方法：

⑴直接法(一作(或找)二证(或说)三计算).

(2)转移法(找过点与面平行的线或面).

(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).

【知识点17】距离问题

L概念：

点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离.

直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这

个平面的距离.

2.方法：

□定义法：根据距离定义，直接作出表示距离的线段，再通过解三角形来求得距离.

□等积法：用定义法求距离比较困难时，可以用等积法间接求得距离.等积法又有等面积法和等体积法，其

中等面积法可以求得点到直线的距离，而等体积法则可以求点到面的距离.

典型例题：

【例1】如图，已知AB是圆0的直径，C为圆上一点，AB=2,AC=1,P为口。所在平面

外一点，且PA垂直于圆0所在平面，PB与平面ABC所成的角为45。.

(1)求证：BC□平面PAC；

(2)求点A到平面PBC的距离.

【变式1】已知△ABC的三条边长分别是5,12,13,点P到A,B,C三点的距离都等于7,

则点P到平面ABC的距离为—

【例2】如图，四棱锥P—A5CD中，底面A6CD为矩形，上4,平面ABCD，石是

的中点.

(1)证明：P3//平面AEC；

(2)设"=1,AD=木三棱锥P—A8D的体积V=乎，求A到平面PBC

的距离.

【反思】求点到平面距离的方法总结:

(1)过已知点作出平面的垂线段是关键.作垂线段通常要借助于垂面，然后利用面面垂直

性质定理作出平面的垂线.

(2)作出垂线段后，通常利用等面积法求得距离.

【变式1】如图，直四棱柱ABC。—ABC。中，AB//CD,AD1AB,AB=2,

1111

AD=^2,AA=3,E为CD上一点，DE=1,EC=3

1,

(1)证明：班，平面班CC；

11

(2)求点8到平面EAC的距离.

111

【反思】求点到平面距离的方法总结：

(1)当直接作出垂线段比较困难时，可以考虑利用等体积法求距离.

(2)用等体积法求距离，一般用三棱锥体积相等来求解.

(3)可以用线面平行关系，转化到一个更容易求解的三棱锥去求距离；也可以利用比例关

系，化为其他点到平面的距离来求解.

【例题3】如图，在长方体ABC。—ABC。中，AB=2,AD=1,AA=1.

iiii।

(1)证明：直线平行于平面。AC；

11

(2)求直线BC到平面。AC的距离.

11

【反思】求直线到平面距离的方法总结：

(1)求线面距离，根据直线上的点到平面距离相等，所以可以转化为点面距离来求解.

(2)在转化为点面距的时候，选择合适的点会对解题有促进作用.

【变式1】在直三棱柱ABC-ABC中，ZABC=90°AB=BC=1,BB=2,求:

iii'i

(1)异面直线3c与AC所成角的余弦值；

111

(2)直线到平面A3C的距离.

111

【思考】已知在直三棱柱ABC—ABC中，AB=4,AC=BC=3,。为AB的中点.

।11

求异面直线CC和的距离;

c

B1

B

D

【感悟】求两条异面直线距离的方法总结：

(1)利用图形关系作出两条异面直线的公垂线，是求两异面直线距离的基本方法，但难度

较大.

(2)过两条异面直线中的一条直线作另一条直线的平行线，构造线面平行，将异面直线距

离化为线面距离，进而转化为点面距离，是求异面直线距离的常用方法.

(3)如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离，

再化为点面距离.

【知识点18】二面角的概念

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.

⑵相关概念：①这条直线叫做二面角的擅，②两个半平面叫做二面角的画

(3)画法：

(4)记法：二面角a—1—B或a—AB-6或尸一/一0或P~AB-Q.

(5)二面角的平面角：若有①。£/；②。4三a,OB。；@OAU,OB±l,则二面角a一/

一6的平面角是//OR

【例1】(概念的理解)有下列结论：

①两个相交平面组成的图形叫作二面角；

②异面直线a,6分别和一个二面角的两个面垂直，则。，6所成的角与这个二面角的平面角

相等或互补；

③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；

④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是()

A.①③B.②④C.③④D.①②

【例2】如图，已知RtZ\4BC,斜边8CUa,点AO±a,。为垂足，ZABO=30°,

//CO=45。，求二面角/一8。一0的大小.

【反思】(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射

线.

(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条

射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.

(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方

法.

【变式1】如图，是。。的直径，以垂直于。。所在的平面，C是圆周上的一点，且为

=AC,求二面角P—BC—A的大小.

【变式2】在正方体NBCD—中，截面/遂。与底面N88所成二面角4一80一/

的正切值为（）

A.乎B.¥C.艰D.小

【思考1】已知在直三棱柱ABC—ABC中，AB=4,AC=BC=3,。为AB的中

111

点.

（I）求异面直线CC和AB的距离；

1

⑵若"Y。，求二面角4一°-色的平面角的余弦直

c,

B1

B

D

【变式1】如图，在长方体/BCD—//1CQi中，AD=AA=1,AB=2,点E在棱上移

动.

(1)证明：。卢，4£＞；

(2)求4E为何值时，二面角D-EC-D的大小为45。?

【方法小结】

1.求二面角大小的步骤

简称为“一4乍二证三求

【知识点19】平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直

①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

②画法：

P%

③记作：

（2）判定定理

文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

P~i

图形语言

y

符号语言l±a,luga邛

【例1】（概念理解）下列不能确定两个平面垂直的是（）

A.两个平面相交，所成二面角是直二面角B.一个平面垂直于另一个平面内的一条

直线

C.一个平面经过另一个平面的一条垂线D.平面a内的直线。垂直于平面£内的

直线6

【例2】已知直线加，〃与平面a,P，给出下列三个结论：

①若"?〃a,则机〃〃；②若机〃a,则机J_〃；③若m///3,贝!J

其中正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【变式1】过两点与一个已知平面垂直的平面（）

A.有且只有一个B.有无数个

C.有且只有一个或无数个D.可能不存在

【变式2】a,£是两个不同的平面，加，"是平面a及£之外的两条不同直线，给出四个论

断：

①机_1_〃；②a_l_夕；③"_1_夕；©mXa.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题.

【例2】(证明面面垂直)如图，在四棱锥尸一/BCD中，PA1.CD,AD//BC,ZADC=ZPAB

=90°,BC=CD=\:AD.

⑴在平面刃。内找一点跖使得直线CM〃平面并说明理由.

(2)证明：平面R13_L平面尸3D

【延申变式1】如图，在四棱锥尸一ABCD中，为垂直于矩形42CD所在的平面，试证明:

平面尸C〃J_平面PAD.

【延申变式2】如图，在四棱锥尸一/BCD中，为，平面4BCZ),底面4BCZ)是菱形，PB=

BC,M是PC中点，试证明：平面跖?Z)_L平面尸CD

【反思】证明面面垂直常用的方法

(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.

(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂

直.

(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三■个平面，则另一个也垂直于此平面.

【变式1】如图，在三棱柱4BC—4卦［中，侧棱垂直于底面，ZACB=90°,AC=^AAy,

。是棱//的中点.

证明：平面BDC］，平面

【变式2】如图，四棱锥尸一N8CD的底面4BCD为正方形，底面48CD,AC,BD交

于点E,尸是尸8的中点.求证：⑴斯〃平面PCA(2)平面P3D平面/MC.

【思考3］如图所示，在正三棱柱ABC—AiB£中,E为AB1的中点，求证：截面

侧面/CC4.

【方法小结】

平面与平面垂直的判定定理的应用思路

(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直=＞面面垂直.

(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题

来解决.

【能力提升】垂直问题难点突破专题

【例1】(空间位置关系相关定理)如图，PA1平面aBC£UD//BC,2£)=2BC,AB1BC,点

E为P。中点.

(1)求证：AB1PD；

(2)求证：CE〃平面P4B.

D

B

【变式1】如图，在三棱柱ABC—ABC中，平面AACC_L平面ABC,AB=BC=

iiiii

2,^ACB=30°

A4=3,BC，AC,E为AC的中点.

1ii

求证：AC_L平面CM；

ii

求二面角A-AB-C的余弦值.

i

【例2】(数量关系)如图，三棱锥P—A5C中，形，底面ABC,PB=5C=,AC=1,

AB<,E为PC的中点，点厂在上，且22尸=£4.

(1)求证：平面平面BEF；

p

【变式2】已知多面体中,四