2023年高中数学基础知识及础题型复习：立体几何模块之点、线、面的位置关系

第二节点、线、面的位置关系

【知识点5】平面的概念及点、线、面之间的位置关系

1.平面的概念

(1)平面的概念：

广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世

界中抽象出来的几何概念.

(2)平面的画法：

D「

一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图A__/

4R

一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被

遮挡部分用虚线画出来.

(3)平面的表示方法

平面通常用希腊字母a,p,y…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，

如图中的平面a、平面/C等.

AA

AB

2.点、线、面之间的位置关系

点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达

位置关系符号表示

点P在直线48上PGAB

点C不在直线上CiAB

点M在平面/C内"G平面/C

点4不在平面AC内/产平面/C

直线与直线2C交于点BABCBC=B

直线N2在平面/C内/3U平面NC

直线441不在平面/C内平面/C

P

3.平面的基本性质

公理(推论)文字语言图形语言符号语言作用

如果一条直线上的两点在一(1)判定直线在平面

A^a

公理1个平面内，那么这条直线上>OABUa内；

%豆/BRa

所有的点都在这个平面内(2)证明点在平面内

(1)判断两个平面是

如果两个平面有一个公共

P^a否相交；

点，那么它们还有其他公共%S0=l

公理2(2)判定点是否在直

点，这些公共点的集合是经

Jipez线上；

过这个公共点的一条直线

(3)证明点共线问题

A,B,C不共线今

经过不在同一条直线上的三

公理3A,B,。确定一个

点，有且只有一个平面，什•，/

平面a

经过一条直线和这条直线外和l确定一(1)确定一个平面的

推论1

的一点，有且只有一个平面个平面a依据；

(2)证明平面重合；

经过两条相交直线，有且只aC\b=A^a,b确

推论2(3)证明点、线共面

有一■个平面定一个平面a

经过两条平行直线，有且只a//b^a,b确定一

推论3

有一个平面幺一"个平面a

【典例讲解】

类型一、符号表示问题

【例1】(点、直线、平面之间的位置关系的符号表示)如图,用符号表示下列图形中点、直

线、平面之间的位置关系.

⑴(2)

【反思】（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条

直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.

（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

【变式1】若点/在直线6上，6在平面”内，则点直线6,平面夕之间的关系可以

记作.（填序号）

①）AGb"；②AGbu.；③Aubug；④/u6ds.

【变式2】空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是.

【思考1】在正方体48co—/肉CQi中，尸，。，R分别是NB,AD,与q的中点，那么正

方体经过尸，Q,R的截面图形是.

【变式1】如图，直角梯形/ADC中，AB//CD,AB>CD,S是直角梯形4ADC所在平面外

一点，画出平面S3。和平面"C的交线.

类型二、点线共面问题

【例2】（点线共面）如图，已知：aUa,bua,aCtb=A,P^b,PQ//a,求证：PQ^a.

【变式1】求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内

【反思】证明多线共面的两种方法

(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.

(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重

合.

【变式2】已知/1C/2=/，Z2HZ3=5,ZJA/3=C,如图所示.求证：直线///2，勺在同一

平面内.

类型三，点共线、线共点问题

【例3】(点共线)如图，在正方体ABCDT向CQ］中，设线段4c与平面4BC［。］交于点

Q,求证：B,Q,三点共线.

【反思】证明多点共线通常利用公理2,即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两

个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点

也在直线上.

【变式1］已知△NBC在平面a外，其三边所在的直线满足尸,BC^a=Q,AC^a

=R,如图所示.求证：P,Q,R三点共线.

【变式2】若直线/与平面a相交于点O,A,BGl,C,D^a,S.AC//BD,则。，C,D三

点的位置关系是.

【例4】（线共点问题）如图所示，在正方体力BCD—481cB中，E为N8的中点，F为AA1

的中点.求证：CE,D/,。/三线交于一点.

【反思】证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然

后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证

明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.

【变式1】如图，已知。，E是△/BC的边/C,BC上的点，平面a经过D,E两点，若直

线AB与平面a的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是.

【变式2】如图所示，在空间四边形/8CO中，E,尸分别是和C5上的点，G,H分别

口▼…1rAECFAHCG

是CD和上的点，且丽=丽=1，HD=GD=2'

求证：EH,BD,尸G三条直线相交于同一点.

【知识点6】空间两条直线的位置关系

1.在同一平面内，两条直线位置关系：平行与相交.

空间中，既不平行又不相交的两条直线叫做异面直线。

空间两条直线的位置关系

位置关系共面情况公共点个数

相交直线在同一•平面内有且只有二个

平行直线在同一•平面内没有

异面直线不同在任何一^个平面内没有

判断异面直线的方法

方法内容

定义法不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线

定理法过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线

反证法判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线

典型例题异面直线的判断

【例1】(1)在四棱锥尸一48。中，各棱所在的直线互为异面的有对.

(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么N8,CD,EF,G”这四条线

段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对?

［反思］(1)判断空间中两条直线位置关系的关键点

①建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.

②重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.

(2)判定两条直线是异面直线的方法

①证明两条直线既不平行又不相交.

②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是

异面直线.用符号语言可表示为BGa,Bil,/Ua,则48与/是异面直线（如图）.

【变式1］（1）如果把两条异面直线看成“1对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异

面直线共有对.

（2）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论:

®AB±EF；

②跖与儿W是异面直线；

③MN〃CD.

以上结论中正确的序号为

【变式2】如图所示，在三棱锥N—BCD中，E,尸是棱AD上异于N,。的两个不同点,

G,H是棱BC上异于B,C的两个不同点，给出下列说法：

①48与CD互为异面直线；

②尸H分别与。C，互为异面直线；

③EG与切互为异面直线；

④EG与AB互为异面直线.

其中说法正确的是.（填序号）

【知识点7】平行公理（公理4）

a//b

平行公理（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：一,

b//c

典型例题

【例1】(概念理解).下列四个结论中错误命题的个数是.

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②平行于同一直线的两直线平行；

③若直线a,b,c满足_Lc,则aJ_c；

④若直线//《是异面直线，则与//4都相交的两条直线是异面直线・

【变式1】下列三种说法：

①若直线。，6相交，b,c相交，则a,c相交；

②若。〃6,则a,6与c所成的角相等；

③若a_L6,6J_c,则a〃c.

其中正确的个数是.

【思考1】已知在空间四边形48co中，M,N分别是CD的中点，且NC=4,BD=6,

则MN的取值范围为.

【知识点8】等角定理及异面直线所成的角

⑴等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.

(2)异面直线所成的角

前提两条异面直线a,b

作法经过空间任意一点。，作直线a'//a,b'//b

定义

我们把一和所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,6所成的

结论

角

范围记异面直线a与b所成的角为0,则0。＜痣90。

特殊情况当。=90。时，异面直线d6互相垂直，记作a_L6

【例1】(公理4与等角定理的应用)如图，已知在棱长为。的正方体45CD—//CQ］中,

M,N分别是棱CD,的中点.求证：

(1)四边形跖以£是梯形;

(2)ZDNM=

【反思】(1)空间两条直线平行的证明

①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.

②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.

(2)等角定理的结论是相等，在实际应用时，一般是借助于图形判断两角的两边方向是否相

同.

【变式1】如图所示，已知E,F,G,H分别是空间四边形/BCD的边48,BC,CD,DA

的中点.

FC

(1)求证：E,F,G,"四点共面；

(2)^AC±BD,求证：四边形跖G”是矩形.

【变式2】如图所示，E,尸分别是长方体为%。。］—48。的棱qC的中点.求证:

四边形8卢£小是平行四边形.

8

【思考1】如图所示，043。和口49。的对应顶点的连线44、BB'、C。交于同一点。，且

OABOCO2

OA'=OB'=OC=y

(1)求证：A'B'HAB,A'C'DAC,B'C'DBC；

(2)求楙—的值.

°IA'B'C

【例3】俅异面直线所成的角）在空间四边形N8CD中，N8=CD,且与C£＞所成锐角为

30°,E,尸分别为8C,的中点，求跖与N8所成角的大小.

【反思】求两条异面直线所成的角的一般步骤

(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.

(2)计算角：求角度，常利用三角形.

(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝

南，则它的补角就是所求异面直线所成的角.

【变式1】如图所示，在正方体4BCD—中.

⑴求AlCl与所成角的大小；

(2)若£,尸分别为AB,4D的中点，求为C］与跖所成角的大小.

【变式2】如图，点P,0分别是正方体48co—的面对角线8。的中点，则

异面直线尸。和BC］所成的角为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【思考1】如图，在三棱柱4BC—中，AA^AC,48所成的角均为60。，ZBAC=

90°,S.AB=AC=AA1,求异面直线//与/的所成角的余弦值.

【思考2】设尸是直线/外一定点，过点P且与/成30。角的异面直线有条.

【方法小结】

1,判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定

义就是一种常用的判定方法.对于异面直线的判断，常用判定定理和反证法.

2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所

成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要

强调的是，两条异面直线所成角的范围为（0。，90°],在解题时经常结合这一点去求异面直线

所成角的大小.

作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法（可利用

图中已有的平行线）；②中位线平移法；③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何

体，以便找到平行线）.

【知识点9】直线和平面的位置关系

三种位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交；（3）直线与平面平行.

直线与平面的位置关系：⑴直线/在平面a内（Z0a）.（2）直线I在平面a外

J直线/与平面a相交（/Da=4）

“口直线/与平面a平行（/da）

典型例题

【例1】（直线与平面的位置关系）

（1）若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（）

A.直线上所有的点都在平面外B.直线上有无数多个点都在平面外

C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上至少有一个点在平面内

（2）下列四个命题中正确命题的个数是（）

①如果a,6是两条直线，a//b,那么。平行于经过6的任何一个平面；

②如果直线a和平面a满足a//a,那么〃与平面a内的任何一条直线平行;

③如果直线a,6和平面a满足。〃6,a//a,b<ia,那么6〃a；

④如果a与平面a上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面a.

A.0B.1C.2D.3

【反思】在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另

外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，

以便于正确作出判断，避免凭空臆断.

【变式1］（1）若直线。不平行于平面a,则下列结论成立的是（）

A.a内的所有直线都与直线。异面B.a内不存在与。平行的直线

C.a内的直线都与“相交D.直线a与平面a有公共点

（2）一条直线I上有相异的三个点B,C到平面a的距离相等，那么直线I与平面a的位

置关系是（）

A.I//aB.l.LaC./与a相交但不垂直D./〃a或Ya

【变式2】如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系

为（）

A.平行B.直线在平面内

C.相交或直线在平面内D.平行或直线在平面内

【思考1】若。，6是两条异面直线，且“〃平面a,则6与a的位置关系是.

【知识点10】两个平面的位置关系

两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行.

平面与平面的位置关系

位置关系图示表示法公共点个数

两平面平行b__/a///30个

h__/

两平面相交T无数个点（共线）

【例2】（平面与平面的位置关系）在以下三个命题中，正确的命题是（）

①平面a内有两条直线和平面力平行，那么这两个平面平行；②平面a内有无数条直线和

平面£平行，则a与£平行；③在平面a,£内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那

么这两个平面