2023年高三数学一轮复习训练：三角恒等变换针对练习

第四章三角函数与解三角形

4.2.2三角恒等变换(针对练习)

针对练习

针对练习一和与差公式的应用

1.已知角6的终边过点A(-M),则sin(g-。)=()

0

AA/2+A/6B+^6c—口~\f2—

'-4-'4-_4-'4

【答案】D

【解析】

【分析】

由任意三角形的定义求出sin。,cos。，由两角差的正弦公式代入即可求出sinC-。).

0

【详解】

因为角。的终边过点A(-U),由任意三角形的定义知：sine=*,cos6=-1，

sin(——8)=sin—cos0-cos—sin^="^.

6664

故选：D.

2.已知cosa=—^^(0<a<»),则tan(a+ij=()

A.—B.—C.—3D.3

33

【答案】A

【解析】

【分析】

根据同角三角函数关系和正切的和角公式即可计算.

【详解】

•*.—<a<4,sin6Z=A/1-COS2CT=——

25

sincr

tana=

cosa

(TIYtaner+11

•,tanaH——-------——

I4)1-tan3

故选：A.

已知cosa=一|,siny0=-j|,夕则cos(a—£)=()

3.

63_56

A.—B.—

6565

用D.-史

C.

6565

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平方关系求得sina=4]、cos£=-5],再应用差角余弦公式求目标式的值.

【详解】

,3(71V4

由cosa=_《，＜zeI—,Ia：sina=—,

,.„12„(3*/曰05

由sm?=-A，夕得：cos/?=--,

33

所以cos(a_0)=cosacos,+sinasin夕=---.

65

故选：C

4.已知a,(3£[o,W]sina二枭叨需,贝L|a+尸=()

【答案】A

【解析】

【分析】

由平方关系求得cosa、cos〃，再由两角和的余弦展开式求得答案.

【详解】

依题意a,4均为锐角，

由sina=恪得cosa=A/1-sin2a=,

由sin4=得cos/3=Jl-sin'0-，

grpj/工-2百3M非M6

所以cos(a+p\=-----x---------------x------=——，

、)5105102

7T

而0va+力〈冗，所以。+夕=一.

4

故选：A.

5.已知。£(跖苧],若cos(a+2]=好，则cos[a+二]=()

'乙)1"317

A亚B.叵C、V10门3回

,•-------LJ.---------

10101010

【答案】c

【解析】

【分析】

由同角的基本关系式和两角差的余弦公式,计算可得出答案.

【详解】

aG]乃)，豆11[。+<0.(如2A/5

,..sinocH—=--------,

I3j5

(71A(717l\

cosa-\----=cosa-\-----------

(⑵I34；

(71、71.(7l\.71V10

=cosa-\--cos——i-sina-\——sin—=-------.

3J4(4)410

故选：C.

针对练习二和与差公式的逆用

6.sinl8cos27+cosl8sin27的值是()

A.立B.|C

、下nV2

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

根据式子的特点，逆用两角和的正弦公式,即可计算出.

【详解】

V2

解：(18+27)=sin45=

sinl8cos27+cosl8sin27=sin~T

故选：A

7.coslOcos20-sinlOsin20等于()

A.-昱B.昱

22

【答案】B

【解析】

【分析】

观察题中的式子的结构，结合余弦的差角公式的逆用,结合特殊角的三角函数值，求得结果.

【详解】

根据题意可得:

coslOcos20-sinlOsin20=cos(l0+20°)=cos30°=

故选:B.

8.sin78°cos180-cos78°cos72°=()

A.@B.1C.--

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根据诱导公式五可得cos72°=sin18°,逆用两角差的正弦公式计算即可得出结果.

【详解】

由诱导公式五，得cos72°=sin18°,

所以sin78°cos18°-cos78°cos72°

=sin78°cos18°-cos78°sin18°

sin(78°-18°)=sin60°=与

故选：A.

9.131117。+101128。+101117"01128。等于()

A.—走B・立C

D.1

22

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用两角和的正切公式的变形公式化简计算即可

【详解】

tan170+tan280+tan17°tan28°

=tan(17°+28°)(l-tanl7°tan28°)+tan17°tan28°

=tan45°(1-tan17°tan28°)+tan17°tan28°

=1—tanl70tan28o+tanl70tan28o=l,

故选：D

10.sin[t+d]cos^1-6]+cos[t+o]sin[^|-e]=()

A.1B.--C.且D.一直

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

逆用两角和的正弦公式，再由特殊角的三角函数值求解.

【详解】

sinf—+e]cosf-—e]+cosf-+81sinf——o]

UJ[n)14)[n)

.「3乃八乃八、.5TT1

=sin1•“+-----“=sm—=—

(412)62,

故选：A

针对练习三巧变角

7TL35

11.右0＜。＜,＜/?＜兀,且cos尸=一《,sin(a+尸)=石,则cosa=()

63-56-16c4

A.花B.__p__D.一

65•6513

【答案】B

【解析】

【分析】

4I?

由题干中的条件可得sin/=y,cos(a+^)=--,再由cose=cos[(cz+尸)-切化简求值即可.

【详解】

cospc———3,兀—<c/<,/.si.nynt/——4,

兀5

0<cr<—sin(cz+y0)=—,

71cc、/2512

<oc+p<,/.cos(a+/?)=—JJ

16913

1235456

.•.csa=cos[(a^)-^]=co(a^)cos^in(a^)sin^=--xH-------X—=——

O+S++S13565,

故选：B.

已知17

12.aef0,—，尸仔,sina=-,sin(6z+/?)=-,贝！Jcos/7的值为()

A-4B-Ic--ID"

【答案】A

【解析】

【分析】

先由平方关系求出cosa,cos(«+/7),再由cos〃=cos(a+£-a)结合余弦差角公式即可求解.

【详解】

由ae[o,q,

故cos0=cos(<2+/3-oc)=cos(a+/?)cosa+sin(a+/?)sina

47227271

--------------X-----------1——X—

93933

故选：A.

13.已知尸为锐角,sin(a+24)=g,cos/?=|,则sin(a+0的值为()

A1+8百口1±873「2A/6+2A/2「1-86

15151515

【答案】A

【解析】

【分析】

sin(«+^)=sin[(«+2^)-/?],根据正弦的差角公式展开计算即可.

【详解】

・・冗〃71

・°C〈Q/＜3，cos/?=1-＜1-=cos-,♦•万£&•，5，24W飞-,乃，

乙DZD、3乙J\-3J

又：0＜0后，.・.&+2公曰之，

又sin(o+2y0)=g＞O,a+2/3,

_____________2m

•*•cos(a+2,)=-^1-sin2(cr+2y0)=-,

O]j.AA2^20

cos夕=§nsinp=-cosp=,

/.sin(a+0=sin[(a+2⑶一尸)=sin(c+2⑶cos/?-cos3+2/7)sin；0

112A/62721+86

=—X--1--------x-------=------------

535315

故选：A.

14.已知a,夕都是锐角，且以)51+事)=1111，?-3=—/,则cos(a+/?)=()

A2小2V5+2V10

A.----------D.----------

1515

C2屈-2屈D2岳+2回

'15'15-

【答案】B

【解析】

【分析】

利用同角三角函数的基本关系式求得sin[+,,cos,-3的值，然后由1+3+=a+

用两角和与差的余弦公式可得答案.

【详解】

因为a是锐角，所以0＜々＜]，所以g＜a+g＜¥，

2336

因为cos"1"＞。，所以泊+产，所以sin"》当，

因为尸是锐角，所以0＜方＜£,所以-弓＜6-

2536

因为sin1/-#-*。,所以弋＜£兰＜0,所以乎，

因为=a+13,所以cos(cr+y0)=cosa+—j+|/3~—

=cos[a+cos[月一一sin[e+sin[月-2出+2回

15

故选：B.

15.已知明】都是锐角,且cos伉+工］=典，sin)—生匕好,则cosg")=(

I3J1016)5

A.一走B,互C.一述D,速

221010

【答案】B

【解析】

【分析】

利用两角差的正弦公式求sink+j，由此可求cos(i-Q).

【详解】

因为。，夕都是锐角,

1、I兀兀5乃71„7171

所以丁<a+-<———<B——<—,

35o663

又cosa+升。,

匚匚[、[万万]c0兀兀

所以§<a+]<5,0<^-7<3

(a+斗)」]]=题x拽一典次=立,

所以sin

\3jV6JJ1051052

所以sing+a-八二5,

所以cos(a—6)=丰，

故选：B.

针对练习四倍角公式的应用

16.已知角C的终边过点尸（1,夜），则cos2a=（）

A.-B.--C.-1D.1

33

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义求出cosa,再根据二倍角余弦公式计算可得;

【详解】

解：•••角。的终边过点尸（1，夜），所以|。尸|=同可=百,

]1

••cosa=—j==——,故cos2a=2cos2=2x

V333

故选：B

17.已知tan9=-2,贝|Jsin26—8s2。的值为()

A・--4B-3C,—5

【答案】D

【解析】

【分析】

利用同角关系计算即可.

【详解】

tan0=和9-=-2,/.sin0=-2cos0,sin20+cos20=1,cos20=—,

cos。5

sin20-cos20=2sin0cos。一(2cos2夕-1)=-6cos?6+1=—；；

故选：D.

i-cos2a

18.若sina=—+cosa,则sin,+?」

221

A.B.C.D.

333

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知条件可得出cosa-sina=-正，利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式化简可得结果.

3

【详解】

由已知可得cosa-sina=--3，

cos2cr-sin2a

V2(cosa-sina)=——

则原式二日.

——sina+cosa

2I

故选：A.

19.已知。£(一］,0),且后cos2a=sin(a+：),则sin2a=()

33

A.——B.-C.-1D.1

44

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.

【详解】

Q6cos2a=sin(cr+；)=(,由a+cosa)，

/.cos2a-sin2a=(cosa+sina)(cosa-sina)=g(cosa+sina),

/.(cosa+sina)(cosa-sina-g)=0,

/.coscr+sincif=0^cos6r-sin^=,

由cosa+sina=0平方可得l+sin2a=0,即sin2a=-l,

113

由coso—sina=—平方可得1一sin2a=—,即sin2a=一,

244

因为aw(go),所以2a£(-兀,0),sin2a<0,

综上，sin2a=-L.

故选：C

20.已知sine+2cos*。，贝|网迎出竺L（）

sin0+cos0

A.-B.-C.-

555

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知可得tand=-2,再根据二倍角的正弦公式及平方关系结合商数关系化弦为切，从而可得出

答案.

【详解】

解：由sin，+2cos，=0,得tan8;,由。二一2,

cos。

二匚［、［sin6(1+sin2。)sin8(sin8+cos、

所以---------L=---------------L=sin6(sin6+cos0)

sin0+cos6sin6+cos0

sin2+sincostan20+tan04-2_2

—sin20+sincos0—

sin20+cos20tan26>+l-4+l-5

故选：D.

针对练习五降幕升角公式的应用

21.2cos2^1+1的值是()

A.-B.正C1+

22,2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用降幕公式求解

【详解】

-7TC<7L__,\J3

2COS---F1—cos—F2=2H---.

1262

故选：D.

22.已知/5）=$五（无+£|-；，则〃尤）是（）

A.奇函数且周期为兀B.偶函数且周期为兀

C.奇函数且周期为2万D.偶函数且周期为21

【答案】A

【解析】

【分析】

利用降幕公式进行化简，再通过三角函数相关性质判断奇偶性及周期即可.

【详解】

1—COS2%H—

1二I2)故为奇函数，且最小正周期为7==n

/(x)=sin[x+?—=—sin2x

2222

故选：A

23.已知sin2a=；,cos21a一工]=(

则

I4j)

32-45

A.-B.C.一D.

4356

【答案】B

【解析】

【分析】

根据余弦的二倍角公式得。卡1-£|=上产，再结合已知求解即可.

【详解】

解：•/sin2a=^

."1+cos2a--

..cosa---21+sinla2.

43

2223

故选：B.

兀71a+71971

24.已知cos2~则sinCCH-----()

36696

A3g-4口3G+43-4D3+4-

c。

21.(D.--------------------

101010'-io-

【答案】A

【解析】

【分析】

根据已知及所求，先利用二倍角公式及三角函数的基本关系得到cos[a+?)sin]c+q

,然后利用

角的拆分以及两角差的正弦公式即可得解.

【详解】

解：由已知可得cos(a+j]=2cos2修+：]一l=2x之一1=”，

V.3)126/105

(717l\71.(7l\3

ccG----,—,..aH—G0,—,..sincc-\———,

I36/3I27I3；5)

.(%)(n7t(n).n3百一4

sina-\——=sina-\---------=sina-\■一-cos-------cosa-\——sin—=----------

<6)(36)(3)6(3)610

故选：A.

25.函数y=sinx(sinx+退cosx),xe[0,()值域为()

13,

AA.rB.[0,1]

22

3

C.[-2,2]D.[0,-]

【答案】D

【解析】

【分析】

化简函数解析式，结合三角函数值域的求法求得正确答案.

【详解】

y=sin2+5/3sinxcosx=——sin2尤——cos2x+—=sinlx--+—,

222I6j2

八7171八兀5%,।')、ri/,<1八3

0<x<—<2x----<——,sin2x-------G——,i,sin2x-----+—G0,-

2~666、6）2I6j22

故选：D

针对练习六辅助角公式的应用

26.函数/（无）=sin尤+指cosx的最大值为（）

A.1B.2C.1+73D.273

【答案】B

【解析】

【分析】

根据辅助角公式化简即可求解.

【详解】

71

f(x)=sinx+真cosx=2sinx+—,故最大值为2

3

故选：B

71

27.函数，(x)=cosx+sin|x在区间［0,句上的最小值为（）

A.1B.-1c"D-4

【答案】D

【解析】

【分析】

化简可得〃x)=sin(x+£|,再结合正弦函数的图象分析求解即可

【详解】

,(、6.16.1.(如

r(%=COSXH---sinx——cosx=——sinx+—cosx=sinx+—,

v72222I

故当％E[0,同时，X+^-Eg,?，

6166

故当工+[=?时，/(%)取最小值sin?=—4

ooo2

故选：D

28.已知函数/（x）=gsino%cosG%+cos23（o>0）,若函数/（x）在［会乃］上单调递减，则实数co的

取值范围是（）

一13-

A.D.

L32」

【答案】B

【解析】

【分析】

利用二倍角和辅助角公式化简解析式,然后利用正弦函数的单调性解决即可.

【详解】

sin2cox+g(1+cos2cox]石.c11

函数/(x)=A/3sin<z>xcoscox+cos2GX(G>。)——sin2cox+—cos2cox+—

222

=sin2①xH—H—.

I6）2,

由函数外）在（l"，kJ上单调递减，且2s+3"+卞20%+小,

7171…

CDTCH---2----F

6

得5,ZeZ,^--+2k<(D<-+k,kcZ.

c乃,3»c,33

2G)TCH—«----F2k7i

62

又因为①>0,1x至2；T-J,所以左=0,

22①2

所以实数①的取值范围是匕1它2".

故选：B

29.已知函数/(x)=sinx+cosx的定义域为［%可，值域为则的取值范围是()

3兀兀兀3兀

A.—B.大-r

L42J124」

—「兀3兀］「3兀3兀

C.-D.—

122」L42J

【答案】D

【解析】

【分析】

根据正弦函数的图像特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.

【详解】

f(x)=sinx+cos=V2sin(x+—)，因为所以x+巴金a+—,b+—，因为一1<V2sin(x+—)<41,

44L44J4

所以一^^<sin(x+—)<1.

24

jr37r-TTrrSir

正弦函数ksinx在一个周期卜天2］内，要满足上式，则x+3-：，手，

所以(』L1dH=g，(咛十'所以j的取值范围是序号

I,\I"J乙乙乙

故选：D

30.已知函数/(x)=2百sinxcosx+2cos0-1向右平移0(°>0)个单位长度后为奇函数，则。的最小

值为()

,2兀

A.—

3

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用三角函数恒等变换公式化简变形函数，再利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析式,

然后根据其为奇函数可求出。的值，从而可求出其最小值

【详解】

/(x)=2V3sinxcosx+2cos2x-1

=5/3sin2x+cos2x

=2sin(2x+£],

则其向右平移。(0>0)个单位长度后，得

.71.(兀、

y=2sin2{x-(p)+—=2sinI2x-2^?+—I,

因为此函数为奇函数，

所以一20+?二左兀，ksZ,得0=一”+々,keZ,

o212

TT

因为。>。，所以。的最小值为五，

故选：D

针对练习七化简求值

31.化简t产an14为。xcos28。的结果为

1-tan214°

sin28°

A.---------B.sin28°C.2sin28°D.sin14°cos28°

2

【答案】A

【解析】

【分析】

由吗"构造出正切二倍角公式《义7^吗'="曲28。,再根据同角三角函数商的关系式化简

1-tan14°21-tan1402

即可.

【详解】

tan14°c12tan140

角A7星3：--------；---xcos28°=—x--------------xcos28°

1-tan214°21-tan214°

sin28°

=—tan28°xcos28°=

22

故选:A

【点睛】

本题考察正切二倍角公式，同角三角函数商的关系式的应用，需要注意观察题中所给角度的关系.

cos2a_

32・化简工占二

A.cosaB.sin＜zC.1D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先考虑分母化简，利用降次公式，正切的两角和与差公式打开，整理，可得答案.

【详解】

化简分母得

4sin22+夕卜11]?一4

1-cos|—F2aI

(2)1-tan6Z

=4------------------------------------

21+tancr

•c、cosa-sina,

=2(1+sin2a)-----------------

cosa+sina

=2(cos2cr-sin2a)=2cos2a

故原式等于，故选D.

【点睛】

本题主要考查了两角和与差公式以及倍角公式.属于基础题.

33.化简一sin8-Jl+sin8=()

A.2sin4B.-2sin4

C.2cos4D.-2cos4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正弦的二倍角公式，由1-$抽8=6垣4-(：054)2,1+$皿8=($皿4+8$4)2,再结合彳＜4＜彳，化简

即可得解.

【详解】

解：因为A/1-sin8-Jl+sin8=^(sin4-cos4)2-J(sin4+cos4『,

Sir371

由彳<4<w,所以cos4>sin4,sin4+cos4<0,

所以原式=cos4-sin4一[一(sin4+cos4)]=2cos4.

故选：C.

34.化简8'5fin25=

sin40cos40

A.1B.2C.：D.-1

【答案】B

【解析】

【详解】

cos?5—sii?5_cos10_2sin(9。-1。)_2sin80

试速分析:sin40cos401sin80sin80sin80.故B正确.

2Sm

考点：二倍角公式，诱导公式.

35.化简生生•匕上巫的结果为()

sin2acos2a

A.tan。B.tan2。C.——-——D.1

tanla

【答案】B

【解析】

【分析】

利用二倍角的公式及同角三角函数化简，即得.

【详解】

-2-c-o-s-2-a.-1---c-o-s-l-a-=-l-+--c-o-s2-c-r•-1---c-o-s-l-a

sin2acos2asin2acos2a

1-cos22a

sinlacos2a

sin22a

sinlacosla

_sinla

cos2a

=tan2a.

故选：B.

针对练习八三角恒等变换与三角函数的综合应用

36.已知函数/(x)=sin2x+6sinxsin[x+m]

⑴求的最小正周期；

⑵求函数“X)的对称中心;

2

⑶求函数〃力在区间。，§兀上的取值范围.

【答案】⑴兀

kll兀7r

(2)|—+—,—\,kE.Z

2122J

(3)「也31

【解析】

【分析】

(1)先利用三角函数恒等变换得到/(尤)=532万1+；,从而利用?=青求出最小正周期；(2)

在第一问的基础上令2x-J=E,AeZ,求解函数的对称中心；(3)利用函数图象求解函数的值域.

6

(1)

/(x)=sin2x+后sinxsin[%+巴]=-~+且sinxcosx=sin2x~—cos2x+—=sin(2x-,

(2J222216)2

所以“X)的最小正周期为7=^5；

(2)

令2x-C=eZ,则彳=出+',左eZ,

6212

所以函数“X)的对称中心是仁+合乐故

(3)

2717兀

XG0,-71时，2%.工£6'TJ)

3o

1

贝U/(%)=sin12x—2+—e°4

2

37.已知向量〃=(逝sinx,l),Z?=(cosx,-1).

(1)若a〃6,求tan2x的值;

⑵若〃无)=(。+6)力，当xe0,三时，求函数f(x)的最大值及对应的x值.

【答案】⑴-君

(2)当x=£时，〃尤)取最大值为:

o2

【解析】

【分析】

(1)由a//6,化简得tanx=-3,结合正切的倍角公式，即可求解；

3

(2)根据题意得到/(x)=sin(2x+?j+：,结合三角函数的图象与性质，即可求解.

(1)

由题意，向量〃=(指sinx,l),b=(cosx,-l),

因为〃///?,可得lxcos%=-lx(石sin%),整理得cosx=-V^sinx,显然cos尤wO,故tanx=-无，所

3

2因2」

2tanx

以tanlx=

1-tan2xr_V3、2

1-3

3

7

(2)

因为F())=(£+1),

可得/(%)=^3sinJ;COSx+cos2x=^^sin2x+gcos2x+；=sin[2x+^)+g,

因为尤所以2x+*e，，?],

2J0Loo

当2x+?=g,即x=£时，函数取最大值为l+4=[.

62o22

38.已知函数/(x)=cos2x-cos(2x+5j.

(1)求函数/(x)的最小正周期；

⑵求函数/(X)在[-/4]上的单调递增区间.

【答案】⑴兀

【解析】

【分析】

(1)根据两角和的余弦公式，辅助角公式化简可得/(x)=si”2x+《],根据最小正周期公式，代

入即可得答案.

(2)由⑴可得/(x)=sin(2x+《，根据x的范围，可得2x+J的范围，令_]<2了+恭，即可

VOy6662

求得答案.

⑴

cos2x-cosf2x+—71=cos2x-cos2%cos—+sin2xsin—=—cos2x+sin2x

f(x)=

33322

=sin2x+-,

I6

函数〃无)的最小正周期7彳=兀.

⑵

由(1)知：/(x)=sinf2x+-^j.

71兀兀7兀

当xe，2x+台

65265T

717兀

又因为y=sinx在-上单调递增，在上单调递减,

Vo22'T

A兀c7T/7T/pa兀兀

令)<2尤+瓷彳，得xe

oo26；6

7171上的单调递增区间为上71兀

函数/(x)在(注:同样给分).

652koo6,6

39.设函数/(%)=力〃，其中加=(cosx,sinx),n=(cosx,-3sinx+4cosx),XGR.

⑴求函数/(%)的最小值及相应的x的值；

(2)若函数g(x)=/(x+]j+40asinx-夜片(OWXWTI)的最大值为一&_1,求实数a的值.

【答案】⑴户工+也，LeZ时函数/(x)有最小值-2百-1

O

(^2)a——y/3或a=2+#).

【解析】

【分析】

(1)由向量的数量积的坐标求法结合三角恒等变形化简可得出的解析式为

〃x)=2忘sin12x+：