2023年春九年级数学中考复习《圆常考热点题型分类汇编》综合练习题

2023年春九年级数学中考复习《圆常考热点题型分类汇编》综合练习题(附答案)

圆周角定理

1.如图，AB为。。的直径，CD为弦，CDLAB于点E,连接DO并延长交。。于点F,

连接“尸交于点G,CG=AG,连接4C.

(1)求证：AC//DF-,

(2)若42=12,求ZC和GD的长.

二.三角形的外接圆与外心

2.如图，是△48C的外接圆，是。。的直径，4D_LBC于点E.

(1)求证：ABAD=ZCAD-,

(2)连接2。并延长，交NC于点尸，交。。于点G,连接GC.若。。的半径为5,OE

=3,求GC和的长.

三.切线的性质

3.如图，N8为。。的直径，C为A4延长线上一点，CD是的切线，。为切点，OFL

4D于点E,交CD于点、F.

(1)求证：ZADC=ZAOF；

(2)若sinC=4,BD=8,求斯的长.

3

15

C0

4.如图，为。。的直径，C为。。上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D

(1)求证：4c平分/D4B；

求CD的长.

5.如图1,4B是。。的直径，点C是O。上不同于4,8的点，过点C作。。的切线与A4

的延长线交于点。，连结/C,BC.

(1)求证：/DCA=/B；

(2)如图2,过点C作CEL/3于点E,交。。于点尸，R9的延长线交C8于点G.若

。。的直径为4,Zr>=30°

D

6.如图，BE是直径，点/是外一点，OALOB,/P切。。于点P,连接交

/。于点C.

(1)求证：ZPAO=2ZPBO；

(2)若。O的半径为5,tanZPAO=—,求BP的长.

4

B

7.如图，N3是的直径，点£在。。上，/A=2/BDE、过点E作。。的切线EC,

交AB的延长线于C.

(1)求证：NC=/ABD；

8.如图，是。。的直径，C是。。上一点，过C作。。的切线交的延长线于点

连接4C、BC,过。作。尸〃/C,交.BC于E,交DC于F.

(1)求证：ZDCB=ZDOF；

求。尸、。尸的长.

四.切线的判定

9.如图，是OO的直径，CD是。。的一条弦，ABLCD,连接/C,0D.

(1)求证：/B0D=2/A；

(2)连接D8,过点C作CELOB,交。8的延长线于点E,延长。O,交NC于点?若

尸为4C的中点，求证：直线CE为。。的切线.

五.切线的判定与性质

10.如图，是的直径，弦CDL/8于点E,点尸在函上，AF与CD交于■点、G,点、H

在。C的延长线上，旦HG=HF,延长坂交的延长线于点M.

(1)求证：是O。的切线；

(2)若sinA/=&,BM=\,求NF的长.

5

11.如图，为的直径，C,。为。。上两点，BD=AD，连接/c,BC,AD,BD,过

点D作DE//AB交CB的延长线于点E.

(1)求证：直线DE是。。的切线；

(2)若/8=10,BC=6,求/。，8E的长.

12.如图，在△/BC中，ZC=90°,BC,/C与。。交于点尸，D,BE为。0直径,点、E

在48上，连接3D,DE,/ADE=/DBE.

(1)求证：NC是。。的切线；

(2)若siir4=^,。。的半径为3,求8c的长.

5

六.圆与相似三角形综合

13.如图，是△4BC的外接圆，是的直径，点。为血的中点，。。的切线。£

交OC的延长线于点E.

(1)求证：DE//AC-,

(2)连接8。交NC于点P,若NC=8,cos^=—,求。E和3P的长.

5

14.如图，48是。。的直径，C是。。上一点，连接4C.过点8作。。的切线，交/C的

延长线于点。，在/。上取一点E,使/连接BE,交于点尸，连接/足

(1)求证：/BAF=NEBD；

(2)过点£作EG_LAD于点G.如果43=5,BE=2近,求EG,20的长.

15.如图，四边形48co内接于O。，4B为。。的直径，点。为标的中点，对角线/C,

BD交于■点、E,的切线N尸交2。的延长线于点R切点为4.

(1)求证：AE=AF；

(2)若"=6,BF=T3求的长.

C

16.如图，在△N8C中，AB=AC,以48为直径作。。，交BC于点、D,交AC于点、E,过

点B作的切线交OD的延长线于点F.

(1)求证：NA=/BOF；

(2)若43=4,DF=\,求/£的长.

17.如图，是。。的直径，CB,CD分别与。。相切于点8,D,连接。C,点E在48

的延长线上，延长ND,EC交于点F.

(1)求证：FA//CO；

(2)若E4=FE,CD=4,BE=2,求处的长.

18.如图，为。。的直径，BD=CD，过点/作。。的切线，交。O的延长线于点E.

(1)求证：AC//DE；

(2)若4C=2,tan£=-i,求的长.

19.如图，四边形43co内接于。。，对角线/C是O。的直径，BD平分NABC,BD交AC

于点E,过点。作。尸，。尸交A4延长线于点尸.

(1)求证：AF=BC；

(2)如果/2=3/尸，求还■的值；

BE

(3)过点尸作尸G〃AD交。延长线于点G,求证：AG=CE.

。£并双向延长，交CD于点尸，交O。于点P,点0.

(1)如图2,当/8〃CZ)时，且。£=3,跖=2时，求。。的半径；

(2)如图3,当与CD不平行(假设/N3C</D48),过点尸作N8的平行线，交

2c的延长线于点交4D于点N.

①求证：AMCFsADNF；

②若OE=4,EF=3,求。。的半径；

(3)在(2)②的条件下，连接NC,BD.若/DEB=45°,求四边形NCD6的面积.

图1图2图3图4

参考答案

一.圆周角定理

1.(1)证明：°：AG=CG,

：.ZDCA=ZCAF,

：.ZCAF=ZCDF,

：.ZACD=ZCDF,

：.AC//DF；

(2)解：如图，连接CO,

9：AB±CD,

AAC=AD,CE=DE,

・・•ZDCA=ZCAF,

.,府=E,

•••菽=舒=谛

ZAOD=ZAOC=ZCOF,

•・・。尸是直径，

AZAOD=ZAOC=ZCOF=60°,

•・Q=OC,

是等边三角形，

：.AC=AO=6,ZCAO=60°,

9：CELAO,

:・AE=EO=3,ZACD=30°,

:・CE=3\[^=DE,

"：AG2=GE2+AE^,

：.AG2=U北-AG)2+9,

.•./G=2g,

：.GE=n，

：.DG^4-^3.

二.三角形的外接圆与外心

2.(1)证明：是。。的直径，ADVBC,

BD=CD,

・•・ZBAD=ZCAD；

(2)解：在RtZXBQE中，08=5,OE=3,

A^=7OB2-OE2=4,

是O。的直径，ADLBC,

:.BC=2BE=8,

是的直径，

.•.N3CG=90°,

.".GC=^BQ2_BC2=6,

'：AD±BC,ZBCG=90°,

J.AE//GC,

：./\AFO^^CFG,

.OA=OF即5—UF

"GCFG’65-0F'

3.解：(1)连接OZ),

9：OFLAD,

：.ZAOF+ZDAO=90°,

・・・CD是OO的切线，。为切点,

：.ZCDO=90°,

AZADC+ZADO=90°,

9：OA=OD,

：.ZDAO=ZADO,

：.NAOF=ZADC；

(2)OFLAD,BDLAD,

：.OF//BD,

OF//BD,AO=OB,

:・AE=DE,

：.OE=—BD=—X8=4,

22

二设OD=x,0C=3x,

'.OB=x,

>•CB=4x,

,：OF//BD,

:.△COFsACBD,

.OC=0F

"而一丽’

•.•3x_QF,

4x8

：.OF=6,

4.(1)证明：连接。C,如图,

•.•CD为切线,

：.OCLCD,

^ADLCD,

：.OC//AD,

：.ZOCA=ZDAC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZDAC=ZOAC,

・・・/C平分NZMB；

(2)解：连接5C,如图,

•：AB为OO的直径,

AZACB=90°,

4

cosZOAC—cosZCAD——,

5

,AC4

在RtZ\/C5,,：cosZOAC=—=—

AB5

44

：.AC=—AB=—X5=4,

55

5.(1)证明：连接。C,如图1,

・・・cz)为切线,

OCXCD,

：.ZOCD=90°,

即NZ)G4+NOG4=90°,

TAB是。。的直径，

AZACB=90°,

即NOC4+NOC5=90°,

JZDCA=ZOCB,

YOB=OC,

：・/OCB=/B,

：./DCA=NB；

(2)解：如图2,

VZD=30°,

・・・NCQD=60°,

AZB=—ZCOD=30°,

2

9：CELAB.

AC=AF,

AZAOF=ZCOA=60°,

・・・N5OG=60°,

：.ZOGB=9Q°,

：.OG=—OB=1,

2

：.FG=OF+OG=2+l=3.

图1

6.(1)证明：连接。尸，如图,

,・Z尸切。。于点尸，

：.OP±AP,

：.ZPAO+ZAOP^90°,

*：OA±OBf

・・・NAOE=90

即//QP+N尸OE=90°,

：./PAO=NPOE,

•・•ZPOE=2ZPBO,

：.NB4O=2/PBO；

(2)解：过尸点作尸于77点，如图，

ZPAO=ZPOH,

Q

tanZ.POH—tan/PAO=一，

4

在Rt△尸。〃中，tanZPO//=—=—,

OH4

设尸H=3x,OH=4x,

：・OP=5x,

即5x=5,

解得x=L

:.PH=3,OH=4,

在RtZ^O/7/中，YPH=3,BH=OB+OH=5+4=9,

BP=d32+g2=3v13.

E

B

7.(1)证明：连接O£,

则N5OE=2NBD£,又/A=2NBDE,

・・・NBOE=/A,

又,・Z5是直径，CE与。。相切，

：.ZOEC=ZADB=90°,

JAABDSAOCE,

：・NC=NABD；

(2)解：,:BF=2,。。的半径为5,

：・OF=3,

设4BDE=a,

：.ZADF^90°-a,N4=2a,/DBA=90°-2a,

在△/0尸中，ZDE4=1SO°-2a-(90°-a)=90°-a,

ZADF=ZDE4,

：.AD=AF=AO+OF=5+3=8,

・・・40=4F=8,

•：/ADF=/AFD,ZADF=ZFBE,ZAFD=ZBFE,

：.NBFE=ZFBE,

：.BE=EF,

由(1)知，NA=2NBDE=NBOE,

*：ZBED=ZA,

：.ZBEF=/BOE,

NFBE=/OBE,

：.ABEFsABOE,

,EFBF

••=,

OBBE

•.•-E--F-=--L-Q---8--,

5EF

:.EF=4W,

故E尸的长为JU.

8.(1)证明：连接。C,如图，

•；DC为O。的切线，

OCLDC,

：.ZOCD^90°,

即NOC5+N5co=90°,

,:AB是。。的直径，

AZACB=90°,

即N5CO+NOG4=90°,

・・・NDCB=NOCA,

9：OA=OC,

：.ZA=ZOCA,

：.NDCB=NA,

'JOF//AC,

：./DOE=NA,

：.ZDCB=ZDOF；

(2)解：在RtZX/BC中，：tan//=^=上,

AC2

：.AC=2BC=2X4=S,

•'•^=VBC2+AC2=Vi2+82=4点,

■:/DCB=NA,ZBDC=ZCDA,

：.ADBC^ADCA,

•DC=DB=BC=1

*'DADCAC~2

设。8=x,则DC=2x,

在RtZ\ODC中，(2x)2+(2A/5)2=(x+2V5)2,

解得修=0（舍去），X[=,

3

nR_W5_

•DD---------,UC----------

33

'：OF//AC,

10-

,OF=DF=0D即亚-DF_3

"AC-DC-AD,8—8“一isVi'

33

：.OF=5,DF=^^.

3

B

四.切线的判定

9.证明：（1）如图，连接力。,

：.ZCAB=ZBAD,

9：ZBOD=2ZBAD,

：.NB0D=2NA；

(2)如图，连接OC,

・・•尸为ZC的中点,

：.DFLAC,

：.AD=CD,

：.ZADF=/CDF,

,/BC=BD,

：.ZCAB=ZDAB,

,：OA=OD,

：.ZOAD=ZODAf

：.ZCDF=ZCAB,

•・・OC=OD,

：.ZCDF=ZOCD,

：.ZOCD=ZCAB,

VBC=BC.

：.ZCAB=ZCDE,

：.ZCDE=ZOCD,

VZE=90°,

:・/CDE+NDCE=90°,

：.ZOCD+ZDCE=90°,

即OC_LCE,

・・・。。为半径，

・,・直线CE为。。的切线.

五.切线的判定与性质

10.(1)证明：连接。尸,

9：CDLAB,

：.ZAEG=90°,

AZA+ZAGE=90°,

■:HG=HF,

・・・/HFG=ZHGF,

*：ZHGF=/AGE,

：.NHFG=/AGE,

9：OA=OF,

：.NA=/OE4,

：.ZOE4+ZHFG=90°,即NOFH=90°,

・・・HF是。。的切线；

（2）解：连接5厂，

由（1）得，ZOFM^90C

：.ZBFO+ZBFM=90°,

,:AB是。。的直径，

；・NAFB=90°,

AZA+ZABF=90°,

*：OB=OF,

：.ZABF=ZBFO,

：./BFM=N/,

*.*/M=/M,

：.ABFMS/\E4M,

,BFFM

••一，

AFAN

4

smM=——,

5

.OF4

OM5

■:BM=\,OB=OF,

OB+15

・・・。尸=4,

*.OM=5,AM=9,AB=8,

„=，0"卅2=3,

・.・B™F,—FM~1,

AFAN3

：.BF=—AF,

3

"：AF2+BF2=AB2,

•X尸。白财产=82,

o

.12VIU

••Ar-----------.

5

11.(1)证明：连接0。，

,JAB//DE,

：.ZAOD=ZODE=90°,

是。。的半径，

直线。E是。。的切线；

(2)解：连接CD,

♦.ZB为。。的直径,

：・NACB=NADB=90°,

*：AB=10,BC=6,

.-.^C=7AB2-BC2=\/102-62=8;

VBD=AD,

：.AD=BD=^=5\[2,

V2

ZABD=ZBAD=45°,

ZACD=ZABD=45°,

,JAB//DE,

：.ZABD=ZBDE=45°,

：.ZBDE=ZACD,

,/四边形/D2C是圆内接四边形，

：.ZCAD+ZCBD^1SO0,

■:NCBD+/EBD=18Q°,

ZEBD=ZCAD,

：.△BDEs”CD,

.BD=BE

"AC-AD'

.5^2_BE

.工一近

：.BE=—,

4

的长为5近，BE的长为空.

4

12.(1)证明：连接。。，

•：OB=OD,

：./DBE=NODB,

,?ZADE=ZDBE,

：.ZODB=ZADE.

•・・5£为。。直径，

：・/BDE=90°,

即NOD8+N0DE=9O°,

AZADE+ZODE=90°.

：.ODLAC.

•••。。是0。的半径，

，直线NC是的切线；

⑵解:「。。的半径为3,

13.(1)证明：连接。£»,

与相切于点

：.OD±DE,

:点。为AC的中点,

：.ODLAC,

：.DE//AC；

(2)解：连接。。与/C交于点H连接4。,

•■-5C=VAB2-AC2=6"

:点。为踊的中点,

：.AH=CH=4,OD//BC,

，。"=聂=3,

\'0D=—AB=5,

2

：.DH=OD-OH=5-3=2,

•■•^=VAH2+DH2=742+22=班,

'：AB为直径，

ZADB=90°,

•■•^=VAB2-AD2=V102-(2A/5)2=475,

"：OD//BC,

:.丛HPDs丛CBP,

.DP_DH即空叵理卫

"BP-BC'BP-6，

:・BP=3近,

,:HC〃DE,

:•△OHCSXODE,

14.(1)证明：,・ZB是直径,

AZAFB=90°,

；・NBAF+NABF=90°,

•・・B。是。。的切线，

AZABD=90°,

VZABF+ZEBD=90°,

：.ZBAF=ZEBD；

(2)解：如图，

:/BAF=/EBD,ZAFB=ZBGE=90°,

•.△ABFsXBEG,

：EG//AB,

.EG=DG

*AB-BD，

•BG=^(2^5)2-22=4,

：.BD=BG+DG=—.

3

15.(1)证明：•.•点。为标的中点,

CD=AD,

:./CBD=/ABD,

•.18为。。的直径，

：./4CB=9Q°,

ZAEF=ZBEC=90°-ZCBD,

是OO的切线，48为OO的直径，

ZBAF^90°,

：.ZF=90°-AABD,

：.ZAEF=ZF,

:.AE=4F；

(2)解：VZBAF=90°,AF=6,BF=10,

=8,

为O。的直径，

:./ADB=90°,

•••2SAABF=4B・AF=BF・AD,

./n_AB・AF_8义6_24

BF105

在中，

5Z)=AJAB2_^D2=32,；

由⑴^\AE=AF=6,

I-----------1Q

在R&OE中，^=VAE2-AD"=TL>

J

14

：.BE=BD-DE^—.

5

答：BE的长为芈•.

5

•:AB是。O的直径,

・•・ZADB=90

・・Z5=/C,

；・/CAB=2/DAB,

・.・/DOB=2/DAB,

：.ZCAB=ZBOF；

(2)解：连接BE,

■:AB是。。的直径,

・•・N4EB=90°

,・Z5=4,

：.0B=0D=LB=2,

2

'：DF=\,

：.OF=OD+DF=3,

•••2尸与O。相切于点£

：.ZOBF=90°,

：.ZAEB=ZOBF=90°,

'：ZCAB=ZBOF,

:.△EABs^BOF,

.AE=AB

"BOOF'

.AE_4

••,

23

：.AE=—,

3

：.AE的长为

3

17.(1)证明：如图1,连接AD,OD,

■:CD,C5均为。。的切线，

:・CD=CB,ZODC=ZOBC=90°,

在RtAODC和RtZXOBC中，

[oc=oc

10D=0B，

ARtAODC^RtAO5C(HL),

：・/OCD=/OCB,

•••△CQB为等腰三角形，

・•・OCLBD,

■:AB为直径，

：・/ADB=90°,

：.AF±BD,

：.E4//CO；

(2)解：如图2,

图2

・・・CD=4,

:・CB=CD=4,

9：ZOBC=90°,

；・/EBC=90°,

•:BE=2,

・•・C-TCB2+BE2=山2+22=2近,

,:FA=FE,

/./A=/E,

U：FA//CO,

：./A=/COE,

：.ZCOE=ZEf

：.CO=CE,

•：CB_LOE,

：・OB=BE=2,

：.OA=2f

：.AE=6,0E=4,

OC//FA,

•,•EC=EO,

EFEA

.2V54

••—，

EF6

:・EF=3疵,

:・E4=EF=3立.

18.(1)证明：VBD=CD,

・•・/BAD=/CAD,

■:DO=DA,

：.ZODA=ZOADf

：.ZODA=ZCAD,

：.DE//AC；

(2)解：如图，连接OC,过点。作。/，ZC于点R

：.ZOE4=90

由(1)知，DE//AC,

：.ZOFA+ZFOE^1?,0°,

ZFOE=ZFOA+ZAOE=90°,

为OO的直径，NE为OO的切线，切点为N,

J.ABLAE,

：.ZOAE=90°,

VZAOE+ZE+ZOAE=180°,

：.ZAOE+ZE^90°,

ZFOA=ZE,

在△FOAAAEO中，

ZFOA=ZE,ZOFA=ZEAO=90°,

:.4E40sAAOE,

.OF_AF

"AE"OA"

.AF_0A

"'OF"AE)

tans'——-，

2

.0A1

"AEV

AE=2OA,

OF2

"：OA=OC,OFLAC,

：.AF=CF=—AC=\,

2

：.OF=2,

在Rt/XON/中，OA2=AF2+OF^,

.•Q2=12+22=1+4=5,

/.OA=J'5,

：.AE=2AO=2\[5,

°£=VOA2+AE2=V(V5)2+(2A/5)2=^25=5.

19.(1)证明；..ZC是O。的直径,

AZABC=ZADC^90°,

又,.・BD平分/ABC,

：・/ABD=NCBD=45°,

：.AD=CD,

■:DF1BD,

:・/BDF=/ADC=90°,

：.ZADF=ZCDB,

・・•四边形/BCD内接于。。,

・・・N3Cr)+NA4Q=180°,

又•：/BAD+/DAF=180°,

：.ZDAF=ZDCB,

：.ADAF^ADCB(ASA)f

：・AF=BC；

(2)解：设/b=a,AB=3AF=3a,

由(1)ADAF会ADCB,

：.BC=AF=a,

在RtA^^C中，/C=JAB2+Be2=VT5a,

在RtZ\4。。中，AD=CD=AC9sm45°5”号国

过点B作BMLAC于点M,

连接OD,则OD=—AC=^^-

22

•••△/CD是等腰直角三角形,

：.OD±AC,

J.OD//BM,

:.AODEs^MBE,

V10

.DEOD2"5

"'BE"BN393；

10a

(3)证明：设。尸交O。于点N,在。尸上截取。尸=DE,连接Ri,AN,PG,

由(1)知：NADF=NCDB,4D=CD,

：./\DAP^ADCE⑶S),

:・AP=CE,/DAP=/DCE=45°,

AZPAC=ZDAP+ZDAC=90°,

AZR4G=90°,

四边形ZBQN内接于OO,

AZABD+ZAND=1SO°,

乂•；/ANF+/AND=180°,

：・NANF=/ABD=45°,

VZBDF=90°,NABD=45°,

:./BFD=45°,

:・/FAN=90°,AF=AN,

：./PAN=/GAF,

又•：FG〃BD,

:・NGE1=FBD=45°