2023年八年级数学下册知识点归纳

北师大版八年级数学下册各章知识要点总结三、等腰三角形的鉴定

第一章三角形的证明1.有关的定理及其推论

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成”等角对等边二)

一、全等三角形鉴定、性质：

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

1.全等三角形的鉴定(SSS)(SAS)(ASA)(AAS)(HL直角三角形)

推论2：有一种角等于60°时等腰三角形是等边三角形。

(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)

2.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本领实、已经有定理或已知条件

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)

相矛盾的成果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明措施称为反证法

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)

四、直角三角形

(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)

1、直角三角形的性质

(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)

①、直角三角形的两锐角互余

2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等

②、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

二、等腰三角形的性质

③、在直角三角形中，假如一种锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的二分之一;

定理：等腰三角形有两边相等；(定义)

④、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的二分之一。

定理：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角

2、直角三角形鉴定

推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重叠。(三线合一)

有两个角互余的三角形是直角三角形.

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一种角都等于60°。

假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形;

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形;

3、互逆命题、互逆定理第二章一元一次不等式和一元一次不等式组

在两个命题中，假如一种命题的条件和结论分别是另一种命题的结论和条件，那么这两个命1.定义：一般地，用符号“V"（或"W”），“>”（或“2”）连接的I式子叫做不等式

题称为互逆命题，其中一种命题称为另一种命题的逆命题.

与方程的区别：方程表达的是相等的关系；不等式表达的是不相等的关系.

假如一种定理的逆命题通过证明是真命题，那么它也是一种定理,这两个定理称为互逆定理,

备注：精确“翻译”不等式，对的理解“非负数”“不不不小于”“不不小于”“至多”“至

其中一种定理称为另一种定理的逆定理.

少”等数学术语。

备注：一种命题一定有逆命题，但一种定理不一定有逆定理.

2.基本性质:

五、线段的垂直平分线、角平分线

性质L.不等式的两边都加（或减）同一种整式，不等号的I方向不变.

1、线段的垂直平分线。

假如a〉b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.（注:移项要变号，但不等号不变）

性质：线段垂直平分线上时点到这条线段两个端点的距离相等；

性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一种正数，不等号的方向不变.

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心）

假如a>b,并且c>0,那么ac>bc,

鉴定：到一条线段两个端点距离相等的I点，在这条线段的垂直平分线上。

2、角平分线。性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一种负数，不等号的方向变化.

性质：角平分线上的I点到这个角的两边的距离相等。

假如a>b,并且c<0,那么ac<bc,

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）

用差值比较法比较大小：a>b<===>a-b>0a=b<===>a-b=Oa<b<===>a-b<0

鉴定：在一种角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

3.不等式的解：能使不等式成立时未知数的值，叫做不等式的解

六、尺规作图的应用：已知等腰三角形的I底边及底边上的高作等腰三角形.

4.不等式的解集：一种具有未知数的不等式的I所有解，构成这个不等式的解集。

5.解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。边界:有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆备注：几种不等式解集的公共部分，一般是运用数轴来确定.

圈

6.一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只具有一种未知数，并且未知数的最高次数是第三章图形的平移与旋转

1,像这样的不等式，叫做一元一次不等式

一、图形区I平移

7.解不等式的环节：1、去分母；2、去括号；3、移项、合并同类项；4、系数化为1。

1平移的定义：在平面内，将一种图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

8.列一元一次不等式组解实际问题的I一般环节：

关键：a.平移不变化图形的形状和大小（也不会变化图形的方向，但变化图形的位置）。

（1）审题；（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）（根据不等量）关系式列不等式（组）

b.图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。

（4）解不等式组；（5）检查（6）作答。

2平移的规律（性质）：通过平移，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段

9一元一次不等式与一次函数

平行（或在一条直线上）且相等、对应角相等。

设一次函数尸kx+b,则有一次函数於I图像在国轴的上方司廷迈>0；一次函数的图像在国

注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。

轴的I下方[^]kx+b<0.

3简朴的平移作图：

10.一元一次不等式组:一般地，有关同一未知数的几种一元一次不等式合在一起，就构成一种一

平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一种特性点按一定

次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，焦作这个一元一次不等式组的

方向和一定的距离平行移动。

解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

二、图形的旋转

11、解一元一次不等式组的措施：

1旋转的定义：在平面内，将一种图形饶一种定点按某个方向转动一种角度，这样的图形运动称

（1）、先分别求出各个不等式的解集；

为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的I角称为旋转角。

（2）、在确定各个不等式解集的公共部分作为不等式组的解集;

关键：a.旋转不变化图形的形状和大小（但会变化图形的方向，也变化图形的位置）。

b.图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。把一种平面图形绕某个点旋转180。，假如旋转后的图形可以和本来的图形重叠，那么这个

图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。

2旋转的规律（性质）：

4、中心对称与中心对称图形的区别与联络

一种图形和它通过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋

转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。旋转后，原图形与旋转后的假如将成中心对称的两个图形当作一种图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，假

图形全等。如把一种中心对称图形沿着过对称中心时任一条直线提成两个图形，那么这两个图形成中心对

称。5、图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）时对比

3简朴的旋转作图：

6、图案的分析与设计①首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运

旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。

动变换而形成。②图案设计的基本手段重要有：轴对称、平移、旋转三种措施。

整个旋转作图，就是把图案的每一种要点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的角度旋转移

动。第四章因式分解

一、公式：

三、中心对称

1.因式分解定义：把一种多项式化成几种整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解

1.概念：中心对称、对称中心、对称点

也可称为分解因式。

把一种图形绕着某一点旋转180。，它可以与另一种图形重叠，那么就说这两个图形有关这

2.公因式：把多项式的各项都具有的相似因式，叫做这个多项式的各项的公因式.

个点对称或中心对称，这个点叫做它们时对称中心。

3.提公因式法：假如一种多项式的各项具有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多

2.中心对称的基本性质：

项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的I措施叫做提公因式法

（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

4.找公因式的一般环节：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相似的字母，

（2）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段通过对称中心，且被对称中心平分。

字母的指数取较低的；（3）取相似的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘

3.中心对称图形概念：中心对称图形、对称中心积即为公因式.

5.公式法:(1)分式与整式最本质的区别：分式的字母必须具有字母；分子可含字母可不含字母。

(1)ma+mb+mc=m(a+b+c)(2)a2b2=(a+b)(a-b)(3)a2±2ab+b2=(a±b)2(2)分式故意义的条件：分母不为零，即分母中时代数式时值不能为零。

6.、分解因式的一般环节为：(3)分式时值为零的条件：分子为零且分母不为零

(1)若有“-”先提取，若多项式各项有公因式，则再提取公因式.3.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一种不等于零的I整式，分式时值不变。

(2)若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.用式子表达右百―4=生”西工

BBxM'BB+M

(3)每一种多项式都要分解到不能再分解为止.注意：(1)运用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不变化分式值的大小，只变化形式。

7、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。(2)应用基本性质时，要注意CWO,以及隐含的BWO。

(1)把几种整式的积化成一种多项式的形式，是乘法运算.(3)注意“都”，分子分母要同步乘以或除以，防止只乘或只除以分子或分母的部分项,

或防止出现分子、分母乘除的I不是同一种整式的错误。

(2)把一种多项式化成几种整式的积的形式，是因式分解.

4.分式时乘除：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,分母相乘的积作为积的分母;两个

补充：十字相乘法

分式相除,把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘.即:ACACA£_ADAD

BDBDB'D~BC~BC

5.分式乘方：把分子、分母分别乘方,即：嗑(”为正整黝

n

第五章分式与分式方程A逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.

Bn

B

L分式的定义：假如A、B表达两个整式，并且B中具有字母，那么式子叫做分式，其中A称

6.一最简分式一分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.

为分式的分子，B称为分式的分母。对于任意一种分式，坟墓都不能为零。

7.分式的通分和约分：关键先是分解因式

2.注意事项

(1)分式的约分：运用分式於I基本性质，把一种分式的分子与分母的公因式约去，这种变

形称为分式的约分。11.分式方程的解法:

（2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式（1）能化简时先化简⑵方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）

验根.

（3）分式时通分：根据分式的基本性质，把几种异分母的分式化成同分母的I分式，这一过

程称为分式的通分。注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有也许为0,这样就产生了

增根，因此分式方程一定要验根。

（4）最简公分母：最简朴的公分母简称最简公分母。

分式方程检查措施：将整式方程的解带入最简公分母，假如最简公分母时值不为0,则整式

8.分式附加减：（1）同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减；上述法则用式子表达

是:司mu方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

CCC

12.列分式方程解应用题:环节：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检查（6）

（2）异号分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式附加减法法则进行

写出答案，检查时要注意从方程自身和实际问题两个方面进行检查。

计算；

13.应用题基本类型；

上述法则用式子表达是：悭±£二四±空=再生

BDBDBDBD

（2）应用题基本类型；

9.分式的符号法则

①、行程问题：基本公式：旅程二速度X时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.

分式的分子、分母与分式自身的符号，变化其中任何两个分式的值不变。用式子表达为②、数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表达法.

③、工程问题：基本公式：工作量二工时义工效.

注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同步变号，而不是指变化分子或分母中的部分

④、顺水逆水问题：V顺水二V静水+v水.V逆水二V静水-V水.

项的I符号。

⑤、相遇问题：

10.分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。

相遇旅程=速度和X相遇时间相遇时间=相遇旅程+速度和速度和=相遇旅程+相

增根：分式方程的增根必须满足两个条件：

遇时间

（1）增根是最简公分母为0;（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。

⑥、追及问题:1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

追及距离=速度差义追及时间追及时间=追及距离+速度差速度差=追及距离+2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形的邻角互补（3）平行四边形

追及时间的对角相等（4）平行四边形的对角线互相平分。

⑦、流水问题二、平行四边形的鉴定

顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度一水流速度1、平行四边形的鉴定

静水速度=（顺流速度+逆流速度）+2水流速度=（顺流速度一逆流速度）+