第二章解析函数(21-22)知识课件

第二章解析函数§2.2解析函数和调和函数的关系§2.1解析函数的概念§2.3初等函数§2.1解析函数的概念一、导数与微分二、解析函数三、柯西-黎曼方程一、导数与微分1.复变函数的导数则称在处可导，设函数

在点的某邻域内有定义，定义是的邻域内的任意一点，如果存在有限的极限值

A，且称A为在处的导数，记作如果函数

在区域

D

内的每一点都可导，在

D

内可导，此时即得的导(函)数则称

P30定义

2.1

一、导数与微分3.可导与可微以及连续之间的关系(1)可导可微如果可导可微如果可微可导由此可得即一、导数与微分3.可导与可微以及连续之间的关系(1)可导可微(2)可导连续如果可导可微连续由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。对二元实函数：偏导数存在可微连续偏导数连续解(1)由(

n

为正整数

)；同理可得得(

C

为复常数

)。求下列函数的导数：例(1)(2)解(2)由得求下列函数的导数：例(1)(2)一、导数与微分4.求导法则(1)四则运算法则P32

一、导数与微分4.求导法则(1)四则运算法则(2)复合函数的求导法则(3)反函数的求导法则其中，与是两个互为反函数的单值函数，且二、解析函数则称在点解析；(1)如果函数在点以及点的邻域内处处可导，定义(2)如果函数

在区域

D

内的每一点解析，则称或者称是

D

内的解析函数。在区域

D内解析，奇点则称为的奇点。如果函数在点不解析，(2)区域可导区域解析。关系(1)点可导点解析；

P31定义

2.2

二、解析函数性质(1)在区域D

内解析的两个函数

与

的和、差、积、商(除去分母为零的点)在

D

内解析。(2)如果函数在

z

平面上的区域

D

内解析，则复合函数

在

D

内解析。函数在

平面上的区域

G

内解析，且对

D

内的每一点

z，函数

的值都属于

G，P32

由函数的解析性以及又方程的根是设解当时，解析，因此在全平面除去点的区域内，解析。求导法则可知：求函数的解析区域及在该区域上的导数。例极限不存在(见§1.5

)讨论函数的解析性。例当时，即当时，不存在。因此，仅在点可导，处处不解析。解由有讨论函数的解析性。例解当时，当时，因此，处处不可导，处处不解析。对函数如何判别其解析性？问题三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann

)方程：和在点处可微，(简称

方程)函数在点处可导定理的充要条件是：实二元函数

可微的含义：附

P33定理

2.1

三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件证明必要性“”若在处可导，且和在点处可微，故记则必可微，即由有三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件证明充分性“”即在

处可微(可导)，若和

在点

处可微，则得又由和

满足方程：且求导公式三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件若在

处可导，则P34

三、柯西-黎曼方程2.区域解析的充要条件和

在区域D

内可微，且函数在区域

D

内解析的定理充要条件是：满足

C

-

R

方程。推论在区域

D

内存在且连续，并满足

C

-

R

方程，在区域D

内解析。和

的四个偏导数若函数则函数

P34定理

2.2

P34推论

可知不满足

C

-

R

方程，解由有所以在复平面内处处不可导，处处不解析。讨论函数的可导性与解析性。例21有由

C

-

R

方程，所以仅在点可导，处处不解析。解由讨论函数的可导性与解析性。例22讨论函数的可导性与解析性。例由

C

-

R

方程，解由有处处不解析。所以仅在直线上可导，xy23讨论函数的可导性与解析性。例解由有四个偏导数连续，且满足

C

-

R

方程，故在全平面上处处可导，处处解析，且注函数记为本例结果表明：P35例2.4部分

24解由有由

C

-

R

方程可得求解得设函数求常数例在复平面内处处解析。的值，使即得(常数)。(1)由解析，证由解析，为常数，设函数内为常数。在某区域例之一，证明：在区域内解析，且满足下列条件内解析；在(1)(2)内为常数。在

P35例2.5

证(常数)；(2)由解析，由在

D

内为常数，(常数)，两边分别对

x

,y

求偏导得：①若②若方程组(A)只有零解，即得(常数)。为常数，(A)§2.2解析函数与调和函数的关系一、调和函数二、共轭调和函数三、构造解析函数一、调和函数则称为区域

D

内的调和函数。若二元实函数在区域

D

内有连续二阶偏导数，定义且满足拉普拉斯

(

Laplace

)

方程：注泊松

(

Poission

)

方程

P36定义

2.3

同理证明由解析，有

P36定理

2.3

一、调和函数若函数和在区域内解析，则定理在区域内都是调和函数。二、共轭调和函数设函数及均为区域

D

内的调和函数，定义函数

在区域

D

内解析的充要定理条件是：在区域D

内，v

是

u

的共轭调和函数。则称

v

是

u

的共轭调和函数。注意

v

是

u

的共轭调和函数

u

是

v

的共轭调和函数。

且满足

C

-

R

方程：

P37定义

2.4

P37定理

2.4

-u

是

v

的共轭调和函数

三、构造解析函数问题已知实部u，求虚部v

(或者已知虚部v，求实部u

)，使解析，且满足指定的条件。注意

必须首先检验

u

或

v

是否为调和函数。方法

偏积分法

全微分法构造解析函数的依据：依据

(1)u

和

v

本身必须都是调和函数；

(2)u

和

v

之间必须满足

C

-

R

方程。方法

偏积分法三、构造解析函数(

不妨仅考虑已知实部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程(2)将

(A)

式的两边对变量y

进行(偏)积分得：其中，已知，而待定。(3)将

(C

)

式代入

(B

)

式，求解即可得到函数得到待定函数

v的两个偏导数：(A)(B

)(C

)C方法三、构造解析函数

全微分法(

不妨仅考虑已知实部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程得到待定函数

v

的全微分：(2)利用第二类曲线积分(与路径无关)

得到原函数：C0C1C2其中，或P39

故是调和函数。由解(1)验证为调和函数P38例2.6修改