2025年新人教版数学七年级下册全册导学案

人教版数学七年级下册全册导学案（2025年春季新教材）

7．1.1两条直线相交【学习要求】知识与技能1．能结合具体的图形找出邻补角和对顶角，进而理解邻补角和对顶角的定义．2．理解对顶角的性质．3．能运用邻补角的性质、对顶角的性质进行简单的推理或计算．过程与方法通过画图、看图、归纳等掌握邻补角、对顶角的概念；通过先观察，再猜想，最后再推理的方法掌握“对顶角相等”这一重要定理．【学习重难点】重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质．难点：1.邻补角与补角的区别与联系．2．初步体验推理的方法．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题填空：如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1与∠3是邻补角，所以∠1＋∠3＝180°，因为∠2与∠3是邻补角，所以∠2＋∠3＝180°，根据同角的补角相等，所以∠1＝∠2，这就证明了对顶角一个重要的性质定理：对顶角相等．归纳结论1．定义：(1)邻补角：有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角；(2)对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角．2．性质定理：(1)如果两个角互为邻补角，那么这两个角的和等于180°；(2)对顶角相等．3．邻补角与补角的关系：邻补角一定互补，互补的两个角不一定是邻补角．邻补角是具有特殊位置关系的补角．4．推理是今后经常遇到的事情，推理的依据是已知、定义、公理、定理等．【运用新知，深化理解】1．如图，找出图中∠AOC的对顶角与邻补角．解：对顶角：∠BOD；邻补角：∠BOC，∠AOD.2．如图，∠B＋∠2＝180°，问∠1与∠B是否相等，∠B与∠3是否相等，为什么？解：因为∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠2＝180°.所以∠B＝∠1＝∠3.

7．1.2两条直线垂直【学习要求】知识与技能1．能结合具体图形理解垂直的概念，能经过一点画已知直线的垂线．2．通过画图，理解垂线的基本事实及“垂线段最短”这个公理．3．理解点到直线的距离这一重要概念．4．初步锻炼作图能力，能运用本节的两个公理进行简单的说理或应用．过程与方法通过画图探究出两个公理，在不同的情况下过一点作已知直线的垂线，通过看图会找出点到直线的距离，在此基础上深入理解本节的两个公理，进而运用它们进行简单的说理或应用．【学习重难点】重点：垂直定义、垂直公理的理解与运用．难点：点到直线距离与垂线段的区别与联系．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题1如图，在相交线模型中，固定木条a，转动木条b，当b的位置变化时，a，b所成的角也会发生变化．体验当α＝90°时，a与b互相垂直的位置关系．问题2已知点P和直线l，过点P画直线a⊥l.解：作图略．问题3如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？解：过P作河岸的垂线段，沿垂线段挖渠即可．【思考探究，获取新知】思考1.两条直线相交，所成的4个角中．如果有一个角是90°，那么其余各角分别是多少度？解：其余各角均为90°.2．如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3…，其中PO⊥l(PO称为P到直线l的垂线段)，比较线段PO，PA1，PA2，PA3，…的长短，这些线段中，哪一条最短？解：PO最短．3．垂线段和点到直线的距离有哪些区别和联系？解：区别：垂线段表示的是一个图形，点到直线的距离表示的是一个数量．联系：点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度．归纳结论1．定义：互相垂直：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是90°，那么这两条直线互相垂直．其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．2．两条重要公理：垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．垂线的基本事实：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，可简单说成：垂线段最短．3．垂线段和点到直线的距离的区别与联系：区别联系垂线段是图形，点到直线的距离是一个长度，是一个数量，不是垂线段这个图形本身点到直线的距离是相对应的垂线段的长度，没有作出这条垂线段，就无法度量出点到直线的距离【运用新知，深化理解】1．如图，CO⊥AB于点O，OD⊥OE，∠AOE＝42°，求∠DOC的度数．解：因为CO⊥AB，OD⊥OE，所以由垂直的定义可得∠AOC＝90°，∠DOE＝90°.则∠COE＝∠AOC－∠AOE＝90°－42°＝48°，∠DOC＝∠DOE－∠COE＝90°－48°＝42°.2．小刚牵着一头小牛从A先到B拿东西，再到河边让小牛饮水，请画出小刚的最佳行走路线，并说明这种画法的理由．解：小刚的最佳行走路线如图所示．理由：两点间的线段最短；点到直线的垂线段最短．3．如图，PR⊥l，QR⊥l，R为垂足，那么P，Q，R在同一直线上吗？解：P，Q，R在同一直线上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．4．如图，已知AOB为一条直线，OC为一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．解：OD⊥OE，理由：AOB为一条直线，∠AOB＝180°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠DOC＝eq\f(1,2)∠BOC，∠EOC＝eq\f(1,2)∠AOC，所以∠DOE＝∠DOC＋∠EOC＝eq\f(1,2)(∠BOC＋∠AOC)＝eq\f(1,2)∠AOB＝90°，即OD⊥OE.

7．1.3两条直线被第三条直线所截【学习要求】知识与技能1．了解同位角、内错角、同旁内角的概念．2．会在复杂或变式的图形中找出同位角、内错角或同旁内角，并能说出它们分别是哪两条直线被第三条直线所截形成的．过程与方法先通过简单的图形了解同位角、内错角和同旁内角，再由浅入深地在复杂或变式的图形中找出同位角、内错角和同旁内角，并说出它们分别是哪两条直线被第三条直线所截形成的．【学习重难点】重点：理解同位角、内错角、同旁内角的概念．难点：在复杂或变式的图形中找出同位角、内错角和同旁内角，并能说出它们分别是哪两条直线被第三条直线所截形成的．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题如图，两条直线AB，CD被直线EF所截，形成了八个角：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8.(1)观察∠1与∠5的位置关系，这种位置关系的角还有哪些？(2)观察∠3与∠5的位置关系，这种位置关系的角还有哪些？(3)观察∠3与∠6的位置关系，这种位置关系的角还有哪些？解：(1)同位角；∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.(2)内错角；∠4与∠6.(3)同旁内角；∠4与∠5.归纳结论1．定义：同位角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在这两条直线的同一方，在第三条直线的同一侧，那么这两个角叫作同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在这两条直线之内，并且分别在第三条直线的两侧，那么这两个角叫作内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在这两条直线之内，在第三条直线同一旁，那么这两个角叫作同旁内角．2．要判断同位角、内错角和同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截形成的，可先判断出第三条直线，第三条直线的显著特点是与两个角的边都有关．【运用新知，深化理解】如图，(1)∠B与哪个角是同位角，它们分别是哪两条直线被第三条直线所截形成的？(2)∠B与哪个角是同旁内角，它们分别是哪两条直线被第三条直线所截形成的？(3)∠C与哪个角是内错角，它们分别是哪两条直线被第三条直线所截形成的？(4)∠1与∠B是同位角吗？解：(1)∠B与∠DAE是同位角；AE，BC被BD所截．∠B与∠DAC是同位角；AC，BC被BD所截．(2)∠B与∠C是同旁内角；AB，AC被BC所截．∠B与∠CAB是同旁内角；AC，BC被BD所截．∠B与∠EAB是同旁内角；AE，BC被BD所截．(3)∠C与∠1是内错角；AE，BC被AC所截．∠C与∠DAC是内错角；BD，BC被AC所截．(4)不是．

7．2.1平行线的概念【学习要求】知识与技能1．掌握平行线的概念．2．理解平行线的基本事实及其推论．过程与方法1．通过实验，体验两条直线的平行关系，进而掌握平行线的概念．2．通过画图，体验过直线外一点画已知直线平行线的情形，从而总结出平行线的基本事实进而体验并理解其推论．【学习重难点】重点：平行线的基本事实及其推论的理解．难点：平行线的基本事实及其推论的归纳、理解与运用．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题1如图，分别将木条a，b与木条c钉在一起，并将它们想象成在同一平面内两端成无限延伸的三条直线，将b，c不动，转动a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与b相交，想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？解：有．问题2如图，已知直线a和它之外两点B，C，过B，C作直线b，c与直线a平行．过点B可作几条直线与直线a平行？过点C可作几条直线与直线a平行？直线b与c平行吗？解：过点B可作1条直线与直线a平行，过点C可作1条直线与直线a平行．直线b与c平行．【思考探究，获取新知】思考1.在同一平面内，两条直线的位置关系有几种？2．平行线的基本事实与垂线的基本事实非常类似，请问已知条件中的点的位置有什么不同之处，为什么？归纳结论1．平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线．2．平行线的基本事实及其推论：(1)平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．3．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：(1)平行；(2)相交．4．平行线的基本事实中，已知条件中的点必须在已知直线外，而垂线的基本事实中，已知条件中的点可在直线外，也可在直线上，这是因为如果点在已知直线上，那么经过这一点不可能画已知直线的平行线，但可以画已知直线的垂线．5．在理解平行的定义时，必须注意以下两点：(1)必须在同一平面内；(2)必须是不相交的直线．【运用新知，深化理解】1．如图，是一个正三棱柱，请找出图中所有的平行线．解：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，AA′∥BB′∥CC′.2．如果直线a1∥l，直线a2∥l，…，an∥l(n为正整数)，则a1，a2，…，an的位置关系如何？解：平行．

7．2.2平行线的判定【学习要求】知识与技能1．平行线的三个判定定理的理解．2．平行线的三个判定定理的简单运用．过程与方法经历实验过程得到判定方法1，再结合前面已学的知识推导出判定方法2和判定方法3.【学习重难点】重点：平行线的三个判定定理的理解与简单运用．难点：推理的基本格式及方法．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题1如图，用实际操作演示画平行线的过程，想一想，在这个过程中，∠1与∠2的大小关系怎样，∠1与∠2是什么关系的角？解：∠1＝∠2.∠1与∠2是同位角．问题2如图，如果∠2＝∠3，能否得到a∥b；如果∠2＋∠4＝180°，能否得到a∥b?解：如果∠2＝∠3，能得到a∥b.如果∠2＋∠4＝180°，能得到a∥b.归纳结论平行线的判定：判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等．那么这两条直线平行，简单说成：内错角相等，两直线平行．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简单说成：同旁内角互补，两直线平行．【运用新知，深化理解】1．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？解：平行．因为同位角相等，两直线平行．2．如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行，并说明根据．(1)∠ABD＝∠CDB；(2)∠CBA＋∠BAD＝180°；(3)∠CAD＝∠ACB.解：(1)AB∥CD.内错角相等．两直线平行．(2)AD∥BC.两旁内角互补，两直线平行．(3)AD∥BC.内错角相等．两直线平行．3．如图，写出所有能推得直线AB∥CD的条件．解：∠1＝∠7；∠2＝∠8；∠3＝∠6；∠4＝∠5；∠2＝∠5；∠1＝∠6；∠1＋∠5＝180°；∠2＋∠6＝180°.

第1课时平行线的性质【学习要求】知识与技能1．掌握平行线的性质定理．2．综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算．过程与方法1．经历猜想、实践、探究不难得到平行线的性质定理．在此基础上，结合前节的知识，进行简单的证明或计算．2．培养逆向思维的能力．【学习重难点】重点：掌握平行线的性质定理，综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算．难点：综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？【思考探究，获取新知】可将上述问题细化：1．如图，直线a∥b，直线a，b被直线c所截．(1)请填表：角∠1∠2∠1与∠2的大小关系度数120°120°∠1＝∠2(2)如果a与b不平行，∠1与∠2还有以上关系吗？(3)通过(1)(2)的探究，能得到什么结论？解：(2)没有．(3)两直线平行，同位角相等．2．如图，直线a∥b，则∠3与∠2相等吗？∠3与∠4互补吗？解：∠3与∠2相等，∠3与∠4互补．思考1.你能根据以上探究，归纳出平行线的三个性质定理吗？2．平行线的性质定理与相应的判定定理是怎样的关系？归纳结论1．平行线的性质：性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．2．平行线的性质定理与相应的判定定理的已知部分和结论部分正好相反，它们是互逆关系．【运用新知，深化理解】1．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1＋∠2＝__90°__.第1题图第2题图2．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD＝__40°__.3．一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝__270°__.提示：在有关图形的计算和推理中，常见一类“折线”“拐角”型问题，解决这类问题的方法是：经过拐点作平行线，沟通已知角和未知角的联系，从而化“未知”为“可知”，这种方法应熟练掌握，如“eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1())”“eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1())”“eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1())”型要引起注意．4．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠A与∠C有怎样的大小关系，为什么？解：∠A＝∠C，理由：∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°.∴∠A＋∠D＝∠D＋∠C，即∠A＝∠C.5．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N，MP平分∠EMA，NQ平分∠MNC，那么MP∥NQ，为什么？解：∵AB∥CD，∴∠EMA＝∠MNC.∵MP平分∠EMA，NQ平分∠MNC，∴∠EMP＝eq\f(1,2)∠EMA，∠MNQ＝eq\f(1,2)∠MNC.∴∠EMP＝∠MNQ，∴MP∥NQ.

第2课时平行线的判定和性质的综合运用【学习要求】知识与技能理解平行线的性质和判定的区别，并初步学会数学说理．【学习重难点】重点：掌握平行线的性质与判定，并能运用它们解决有关问题．难点：平行线的性质和判定的混合应用．【学习过程】【情景导入，初步认识】1．请填写下表，并思考两者之间有什么区别和联系．平行线的性质平行线的判定独立思考，观察、分析、对比，发现其区别和联系．两者的条件和结论正好相反，如下：两直线平行eq\o(,\s\up14(性质),\s\do5(判定))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同位角相等,内错角相等,同旁内角互补))由角的数量关系，得出两条直线平行的论述是平行线的判定．这里角的关系是条件，两条直线平行是结果．由已知的两条直线平行得出角的数量关系的论述是平行线的性质．这里两条直线平行是条件，角的关系是结论．2．用符号语言表述平行线的判定与平行线的性质，如图．平行线的性质：(1)∵a∥b，∴∠1＝∠5；(2)∵a∥b，∴∠1＝∠7；(3)∵a∥b，∴∠1＋∠8＝180°.平行线的判定：(1)∵∠1＝∠5，∴a∥b；(2)∵∠1＝∠7，∴a∥b；(3)∵∠1＋∠8＝180°，∴a∥b.【思考探究，获取新知】思考1如图，BCD是一条直线，∠A＝75°，∠1＝53°，∠2＝75°，求∠B的度数．解：∵∠A＝75°，∠2＝75°，∴∠A＝∠2，∴AB∥CE(内错角相等，两直线平行)，∴∠B＝∠1＝53°(两直线平行，同位角相等)．思考2如图，已知DE⊥AO于点E，BO⊥AO于点O，FC⊥AB于点C，∠1＝∠2，试说明DO⊥AB.分析：应从两方面着手，一方面从已知条件出发，看得出什么结论；另一方面从结论出发，看需要什么条件．将两方面的分析联系起来求解．解：∵DE⊥AO，BO⊥AO(已知)，∴∠DEA＝∠BOE＝90°，∴DE∥OB，∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1＝∠3(等量代换)，∴CF∥DO(同位角相等，两直线平行)，∴∠BCF＝∠ODB(两直线平行，同位角相等)．又∵FC⊥AB(已知)，∴∠CBF＝90°，∴∠ODB＝90°，∴DO⊥AB(垂直的定义)．【运用新知，深化理解】1．判断题．(1)不相交的两条直线叫作平行线．(×)(2)两条直线被第三条直线所截，同位角相等．(×)(3)两直线平行，同旁内角相等．(×)(4)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．(√)2．如图，已知∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＝50°，求∠4的度数．解：∠4＝130°.3．如图，AB∥CD，探究∠BED，∠CDE，∠ABE三者之间的关系，并说明理由．解：过点E作EF∥AB，可得∠BED＝∠CDE＋∠ABE.

第1课时命题【学习要求】知识与技能1．知道什么叫作定义、命题、真命题、假命题．2．理解命题由题设和结论两部分组成，能将命题写成“如果……那么……”的形式或“若……则……”的形式．过程与方法了解定义、命题以及命题的组成，知道什么叫作真命题，什么叫作假命题．【学习重难点】重点：命题的定义，命题的组成．难点：命题的判断，真假命题的判断，命题的题设和结论的区分．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题1分析判断下列语句，指出它们的题设和结论．(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．(3)对顶角相等．(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式．解：略．问题2判断下列语句，是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题．(1)画线段AB＝5cm.(2)两条直线相交，有几个交点？(3)如果直线a∥b，b∥c，那么a∥c.(4)直角都相等．(5)相等的角是对顶角．解：(1)不是命题．(2)不是命题．(3)是命题，真命题．(4)是命题，真命题．(5)是命题，假命题．【思考探究，获取新知】思考对题设和结论不明显的命题，怎样找出它们的题设和结论．归纳结论1．命题：可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作命题．2．命题由题设和结论两部分组成．3．真命题与假命题：被判断为正确(或真)的命题叫作真命题，被判断为错误(或假)的命题叫作假命题．对于题设和结论不明显的命题，应先将它改写成“如果……那么……”的形式或“若……则……”的形式．一般来说，如果前面的部分是题设，那么后面的部分是结论．将这种命题改写成“如果……那么……”的形式时，“那么”后面的部分一定要简单明了．【运用新知，深化理解】1．下列句子中是定义的是②③(选填序号)．①同位角相等，两直线平行；②若两条直线相交所成的四个角中有一个角为直角，就说这两条直线互相垂直；③大于直角、小于平角的角叫作钝角；④两点之间，线段最短．分析：定义是被定义的事物与其他事物进行区分的依据，通常情况下定义中有“叫”“是”等判断动词，显然①④只是对事物特征的识别，而不是定义．2．(1)请举出一个真命题的例子：对顶角相等(答案不唯一)；(2)说出2个假命题．解：(2)两个假命题：①若|a|＝|b|，则a＝b.②若a＞b，则ac＞bc.3．判断下列语句是不是命题．(1)两条直线相交只有一个交点；(2)同角的余角相等；(3)求∠ABC的大小；(4)延长AB到C，使BC＝AB；(5)两直线平行，同位角相等．解：(1)(2)(5)是命题，(3)(4)不是命题．4．指出下列命题的题设和结论，并把它改写成“如果……那么……”的形式．(1)直角都相等；(2)三角形的内角和等于180°.解：(1)命题的条件是两个角都是直角，结论是这两个角相等；如果两个角都是直角，那么这两个角相等．(2)命题的条件是三个角是一个三角形的内角，结论是它们的和等于180°；如果三个角是一个三角形的内角，那么这三个内角和等于180°.5．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题．举出一个反例．(1)若a＞b，则a2＞b2；(2)两个锐角的和是钝角；(3)同位角相等；(4)两点之间，线段最短．解：(1)假命题．反例：－1>－2，(－1)2<(－2)2.(2)假命题．反例：30°＋60°＝90°.(3)假命题：反例：不平行的两条直线构成的同位角不相等．(4)真命题．

第2课时定理与证明【学习要求】知识与技能1．理解什么是定理和证明，知道如何判断一个命题的真假．2．体会命题证明的必要性，掌握证明的步骤和格式．3．在学习的过程中体会数学的逻辑思维能力和有条理的推理能力．过程与方法经历推理和举反例证明命题真假的过程，培养逻辑思维能力．【学习重难点】重点：理解证明要步步有理有据．难点：证明的步骤和格式．【学习过程】【情景导入，初步认识】判断下列命题是真命题还是假命题．(1)在同一平面内，如果一条直线平行于两条平行线中的一条，那么也平行于另一条；(真命题)(2)两个锐角的和一定是钝角；(假命题)(3)如果a2＝b2，那么a＝b；(假命题)(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；(真命题)(5)两点确定一条直线．(真命题)归纳结论1．判断某一件事情的语句叫作命题．2．每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．3．命题分为真命题和假命题．如果条件成立，那么结论一定成立，这样的命题叫作真命题，如果条件成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫作假命题．【思考探究，获取新知】思考1如何证实一个命题是真命题或假命题呢？其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题．公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得(Euclid，公元前300年前后)编写了一本书，书名叫作《原本》(Elements)．为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理．除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断．【概念提出】从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫作定理．思考2我们学过哪些定理？归纳结论定理都是真命题，但真命题不一定是定理．【概念提出】根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这种推理的过程叫作证明．归纳结论从结论逆推进行分析得出条件，反过来的过程就是证明结论的过程．证明的一般步骤：(1)仔细读题，领会题意，分清命题中的条件和结论；(2)根据题意画出正确的图形，并在图形上标注字母和符号；(3)根据条件、结论，结合图形，用符号语言写出“已知”“求证”；(4)分析因果关系，探求解题的思路，书写推理过程，并标明依据．【运用新知，深化理解】1．下列说法中错误的是（C）A．定理是真命题B．基本事实是真命题C．证明是真命题D．假命题是命题2．命题“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”是（C）A．定义B．定理C．基本事实D．假命题3．如图，下列证明正确的是（B）A．因为MA∥NB，所以∠1＝∠3B．因为∠2＝∠4，所以MC∥NDC．因为∠1＝∠3，所以MA∥NBD．因为MC∥ND，所以∠1＝∠3

7．4平移【学习要求】知识与技能1．知道什么叫平移．2．会欣赏、分析较复杂的平移图案，知道平移的实质是点的平移．3．会对一个图形按要求进行平移．过程与方法通过观察平移图案了解平移在日常生活中的重要性，明确平移的目的、提高学习平移的兴趣．在此基础上，掌握平移的实质，从而学习一种欣赏美、创造美的本领．【学习重难点】重点：1.分析平移图案是由怎样的基本图案怎样平移而成的．2．能将一个图形按要求进行简单的平移．难点：1.探求图形的平移实质．2．运用平移知识制作美丽的平移图案．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题1如图，可以看作是什么“基本图案”通过平移得到．解：略，答案不唯一，合理即可．问题2如图是小鱼平移前后的图形，指出点A，B，C的对应点，并指出AD，BE，CF之间的位置关系及大小关系．解：点A，B，C分别对应点D，E，F.AD平行且等于BE平行且等于CF.【思考探究，获取新知】思考1.问题1的答案只有一种吗？2．图形平移的实质是什么？3．平移前后两个图形的形状和大小是怎样的情况？平移前后连接各对应点的线段的关系怎样？归纳结论1．在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移．2．图形平移的实质是点的平移．3．平移的特征：(1)平移前后两个图形的形状和大小完全相同；(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的．这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等．4．图形的平移方向不一定是水平的．5．利用平移可以制作很多美丽的图案．【运用新知，深化理解】如图，平移四边形ABCD，使点A移动到点A′，画出平移后的四边形A′B′C′D′.解：略．

第1课时平方根【学习要求】知识与技能1．掌握平方根的概念．2．能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方和平方之间的互逆关系．过程与方法通过探索平方与开平方的区别与联系，学会解决平方根的问题．【学习重难点】重点：平方根的概念和求一个数的平方根．难点：求一个数的平方根．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题1求出下列各数的平方．1，0，－1，－eq\f(1,3)，3，eq\f(1,2).解：12＝1，02＝0，(－1)2＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)，32＝9，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).问题2下列各数分别是某实数的平方，请求出某实数．25，0，4，eq\f(4,25)，eq\f(1,144)，－eq\f(1,4)，1.69.解：由于52＝25，(－5)2＝25，故平方为25的数为5或－5；02＝0，故平方为0的数为0；22＝4，(－2)2＝4，故平方为4的数为2或－2；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,25)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,25)，故平方为eq\f(4,25)的数为±eq\f(2,5)；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(1,12)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,144)，故平方为eq\f(1,144)的数为±eq\f(1,12)；对于－eq\f(1,4)这个数，没有实数的平方等于它，故平方为－eq\f(1,4)的实数不存在；(±1.3)2＝1.69，故平方为1.69的数是±1.3.问题3已知一个数的平方等于16，这个数是多少？如何表示这个数呢？分析：由于42＝16，(－4)2＝16，故平方等于16的数有两个：4和－4，把4和－4叫作16的平方根，记为4＝eq\r(16)，则－4＝－eq\r(16)，把4和－4称为16的平方根．解：这个数是4或－4；±eq\r(16)＝±4.平方根定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根，记为x＝±eq\r(a).【思考探究，获取新知】求一个数的平方根的运算，叫作开平方．平方与开平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根．例1求下列各数的平方根．(1)eq\f(9,25)；(2)0.0004；(3)(－6)2；(4)256.分析：一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可根据平方与开平方的互逆关系，通过平方运算求一个数的平方根．解：(1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,25)，∴eq\f(9,25)的平方根是±eq\f(3,5).(2)∵(±0.02)2＝0.0004，∴0.0004的平方根是±0.02.(3)∵(－6)2＝36，∴±eq\r(（－6）2)＝±6.(4)∵(±16)2＝256，∴±eq\r(256)＝±16.特别说明一个正数的平方根有两个，不要丢掉其中负的平方根．求平方根时一定要把所求的数化成x2的形式，同时注意正数有两个平方根．例2求下列各式中的x.(1)x2－361＝0；(2)(x＋1)2＝289；(3)9(3x＋2)2－64＝0.分析：表面上本题是求方程的解，但实质上可理解为求平方根，用开平方求出x值，(2)中(x＋1)、(3)中(3x＋2)看作一个整体，求出它们后，再求x.解：(1)∵x2－361＝0，∴x2＝361.∴x＝±eq\r(361)，即x＝±19.(2)∵(x＋1)2＝289，∴x＋1＝±eq\r(289)＝±17.当x＋1＝17时，x＝16；当x＋1＝－17时，x＝－18.(3)∵9(3x＋2)2＝64，∴(3x＋2)2＝eq\f(64,9).∴3x＋2＝±eq\r(\f(64,9))，即3x＋2＝±eq\f(8,3).当3x＋2＝eq\f(8,3)时，x＝eq\f(2,9)；当3x＋2＝－eq\f(8,3)时，x＝－eq\f(14,9).例3某建筑工地，用一根钢筋围成一个面积是25m2的正方形后还剩下7m，能求出这根钢筋的长度吗？分析：先求出面积是25m2的正方形需用的钢筋长度，然后再求出这根钢筋的总长度．解：正方形的边长为5m，钢筋的长度为27m.【运用新知，深化理解】1．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是(C)A．1B．－1C．0D．1，02．要使eq\r(a＋4)有意义，则a的取值范围是(D)A．a>0B．a≥0C．a>－4D．a≥－43.eq\f(9,64)的平方根是±eq\f(3,8)__，1eq\f(7,9)的平方根是__±eq\f(4,3)__.4．若|a－2|＋eq\r(b－3)＝0，则a2－2b＝__－2__.5．判断题．(1)eq\r(25)的平方根是±5(×)(2)－16的平方根是±4(×)(3)－3是9的一个平方根(√)(4)64的平方根是±8(√)6．求下列各式中x的值．(1)(x－1)2＝121；(2)36x2＝49.解：(1)x－1＝±11，x＝12或－10.(2)x＝±eq\f(7,6).

第2课时算术平方根【学习要求】知识与技能1．了解算术平方根的概念，明确平方根与算术平均方根之间的联系与区别，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性．2．会用平方运算求某些非负数的算术平方根．3．理解无限不循环小数的概念．过程与方法通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维．【学习重难点】重点：理解算术平方根的概念．难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题学校要举行美术比赛，小壮想在一块面积为25dm2的正方形画布上画一幅画，这块画布的边长应取多少？解：正方形边长应取5dm.【思考探究，获取新知】正数a的正的平方根eq\r(a)叫作a的算术平方根，记作eq\r(a).规定：0的算术平方根是0.例1求下列各数的算术平方根．(1)(－3)2；(2)1eq\f(15,49)；(3)0；(4)eq\r(81).分析：正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根．解：(1)∵32＝9＝(－3)2，∴(－3)2的算术平方根是3，即eq\r(（－3）2)＝3.(2)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,7)))eq\s\up12(2)＝eq\f(64,49)＝1eq\f(15,49)，∴1eq\f(15,49)的算术平方根是eq\f(8,7)，即eq\r(1\f(15,49))＝eq\f(8,7).(3)∵0的算术平方根是0，∴eq\r(0)＝0.(4)∵eq\r(81)是81的算术平方根9，而9的算术平方根是3，∴eq\r(81)的算术平方根是3.特别说明(1)算术平方根是非负数，要注意不要弄错算术平方根的符号．如：不要把eq\r(（－3）2)＝3写成eq\r(（－3）2)＝－3；(2)要审清题意，不要被表面现象迷惑．如求eq\r(81)的算术平方根，错误地理解为求81的算术平方根eq\r(81).例2计算下列各题．(1)eq\r(484)；(2)±eq\r(12\f(1,4))；(3)－eq\r(20.25)；(4)eq\r(8×9×10×11＋1).分析：(1)eq\r(484)就是求484的算术平方根；(2)是求12eq\f(1,4)的平方根，可把带分数化成假分数；(4)应先求出被开方数的大小．解：(1)eq\r(484)＝eq\r(222)＝22.(2)±eq\r(12\f(1,4))＝±eq\r(\f(49,4))＝±eq\f(7,2).(3)－eq\r(20.25)＝－4.5.(4)eq\r(8×9×10×11＋1)＝eq\r(7921)＝eq\r(892)＝89.例3求下列各式的值．(1)eq\r(252－242)·eq\r(32＋42)；(2)eq\r(20\f(1,4))－eq\f(1,3)eq\r(0.36)－eq\f(1,5)eq\r(900).分析：先要弄清每个符号表示的意义，并注意运算顺序．解：(1)原式＝eq\r(49)·eq\r(25)＝7×5＝35.(2)原式＝eq\r(\f(81,4))－eq\f(1,3)×0.6－eq\f(1,5)×30＝eq\f(9,2)－0.2－6＝－1.7.特别说明(1)混合运算的运算顺序是先算开平方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学时可根据平方根，算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据eq\r(a2)＝a(a>0)来解．探究：当a为负数时，a2有没有算术平方根？其算术平方根与a有什么关系？举例说明所得结论．学习指导当a为负数时，a2为正数，故a2有算术平方根，如a＝－5时，a2＝(－5)2＝25，eq\r(a2)＝eq\r(25)＝5，5是－5的相反数，故a<0时，a2的算术平方根与a互为相反数，表示为－a.当a为正数时，a2的算术平方根表示为eq\r(a2)，其值为a，即eq\r(a2)＝a.当a＝0时，eq\r(a2)＝0.综上所述，eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a>0，,a，a＝0.,－a，a<0.))【运用新知，深化理解】1．“eq\f(4,9)的算术平方根是eq\f(2,3)”用数学式子表示为(A)A.eq\r(\f(4,9))＝eq\f(2,3)B.eq\r(\f(4,9))＝±eq\f(2,3)C．±eq\r(\f(4,9))＝eq\f(2,3)D.eq\f(4,9)＝eq\r(\f(2,3))2．计算eq\r(（－5）2)的结果是(A)A．5B．－5C．±5D．253．下列各式中无意义的是(D)A．－eq\r(2)B.eq\r(42)C.eq\r(（－2）2)D.eq\r(－32)4．求下列各式的值．(1)eq\r(1.44)；(2)eq\r(（－0.1）2)；(3)eq\r(0.81)－eq\r(0.04).解：(1)eq\r(1.44)＝1.2.(2)eq\r(（－0.1）2)＝eq\r(0.01)＝0.1.(3)eq\r(0.81)－eq\r(0.04)＝0.9－0.2＝0.7.5．求下列各式的值．(1)eq\r(0.09)＋eq\r(0.25)；(2)eq\f(1,2)eq\r(0.04)＋5eq\r(0.16)；(3)eq\r(（－3）2＋（－4）2)；(4)1－eq\r(（－3）×（－27）)；(5)eq\r(0.64)×eq\r(1\f(9,16))；(6)eq\r(1－\f(7,16)).解：(1)原式＝0.3＋0.5＝0.8.(2)原式＝eq\f(1,2)×0.2＋5×0.4＝0.1＋2＝2.1.(3)原式＝eq\r(9＋16)＝eq\r(25)＝5.(4)原式＝1－eq\r(81)＝1－9＝－8.(5)原式＝0.8×eq\r(\f(25,16))＝0.8×eq\f(5,4)＝1.(6)原式＝eq\r(\f(9,16))＝eq\f(3,4).

第3课时二次根式的估值【学习要求】知识与技能1．用计算器求一个正数的算术平方根．2．能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值．过程与方法通过用计算器求一个二次根式的值，结合用一个数的平方与被开方数比较大小，不断更加精确地得出二次根式的近似值．【学习重难点】重点：理解夹值法．难点：通过夹值法估计无理数的大小．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题1你能计算eq\r(5.89)吗？基本上计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值)．注意不同品牌的计算器，按键顺序有所不同．问题2如图，把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形．你知道这个大正方形的边长是多少吗？解：设大正方形的边长为xdm，则x2＝2.由算术平方根的意义可知x＝eq\r(2)，∴大正方形的边长是eq\r(2)dm.【思考探究，获取新知】例eq\r(2)有多大呢？分析：∵12＝1，22＝4，而1<2<4，∴1<eq\r(2)<2.思考：如何得到更精确的范围？∵1.42＝1.96,1.52＝2.25,1.96<2<2.25，∴1.4<eq\r(2)<1.5；∵1.412＝1.9881,1.422＝2.0164，1．9881<2<2.0164，∴1.41<eq\r(2)<1.42；∵1.4142＝1.999396,1.4152＝2.002225,1.999396<2<2.002225，∴1.414<eq\r(2)<1.415；……如此下去，可以得到更精确的近似值．【运用新知，深化理解】1．估算eq\r(3)的值(A)A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间2．比较大小：4>eq\r(15).3．用计算器求下列各式的值(结果保留小数点后三位)：eq\r(582)≈24.125，eq\r(12.41)≈3.523，eq\r(0.049)≈0.221.

8．2立方根【学习要求】知识与技能1．了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根．2．了解立方与开立方互为逆运算，会用立方运算或计算器求某数的立方根．3．能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算．过程与方法用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法，并能总结出平方根与立方根的异同．【学习重难点】重点：立方根的概念及求法．难点：立方根与平方根的区别．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题填空：33＝27，(－3)3＝－27；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝－eq\f(1,8)；03＝0；0.13＝0.001，(－0.1)3＝－0.001.归纳结论求立方运算时，当底数互为相反数，其立方值也互为相反数，这与平方运算不同，平方运算的底数为相反数时，平方值相等．故一个正数的平方根有两个值，但一个正数的立方根只有一个值．引出立方根定义：若x3＝a，则x为a的立方根，记为eq\r(3,a).根据上述定义填空，并推广到一般规律．eq\r(3,8)，eq\r(3,－8)的意义分别是8的立方根，－8的立方根；结果分别是2，－2.eq\r(3,0)的意义是0的立方根，结果是0.eq\r(3,－\f(8,27))＝－eq\f(2,3)，eq\r(3,\f(8,27))＝eq\f(2,3).归纳结论1．正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.2．一般地，eq\r(3,－a)＝－eq\r(3,a).【思考探究，获取新知】例1求下列各数的立方根．(1)－27；(2)－0.125；(3)2eq\f(10,27)；(4)eq\r(729).分析：依据立方根的定义，先写出这四个数分别是由哪个数的立方得到的，从而求出立方根．解：(1)∵(－3)3＝－27，∴－27的立方根是－3，即eq\r(3,－27)＝－3.(2)∵(－0.5)3＝－0.125，∴－0.125的立方根是－0.5，即eq\r(3,－0.125)＝－0.5.(3)∵2eq\f(10,27)＝eq\f(64,27)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(64,27)，∴2eq\f(10,27)的立方根是eq\f(4,3)，即eq\r(3,2\f(10,27))＝eq\f(4,3).(4)∵eq\r(729)＝27，33＝27，∴eq\r(729)的立方根是3.提示：被开方数是带分数时，先将其化成假分数．例2求下列各式的值．(1)eq\r(3,－512)；(2)eq\r(3,\f(729,8))；(3)－eq\r(3,0.008)；(4)eq\r(3,2×9×12).分析：先要分清符号的实际意义，如eq\r(3,－512)表示求－512的立方根，而－eq\r(3,512)表示求512的立方根的相反数．解：(1)－8.(2)eq\f(9,2).(3)－0.2.(4)6.提示：(1)任何数的立方根只有一个，而且被开方数的符号与立方根的符号相同；(2)被开方数是算式，可先算出结果．例3求下列各式中的x.(1)27x3－8＝0；(2)eq\f(1,4)(2x＋3)3＝54.分析：可根据立方根的定义求得x的大小．(2)中把(2x＋3)看作一个整体．解：(1)∵27x3－8＝0，∴27x3＝8，x3＝eq\f(8,27)，∴x＝eq\r(3,\f(8,27))，即x＝eq\f(2,3).(2)∵eq\f(1,4)(2x＋3)3＝54，∴(2x＋3)3＝216，∴2x＋3＝eq\r(3,216)＝6，即x＝eq\f(3,2).例4在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5cm3，小华又将铁块从水中提起，量得水杯中的水位下降了0.62cm，请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？(用计算器求结果，结果精确到0.1cm)．分析：铁块排出的40.5cm3的水的体积，是铁块的体积，也是高为0.62cm烧杯的体积．解：烧杯内部的底面半径约是4.6cm，铁块的棱长约是3.4cm.【运用新知，深化理解】1．计算下列各题．(1)eq\r(3,－1)－(eq\r(3,8)－4)÷eq\r(（－6）2)；(2)eq\r(3,216)＋eq\r(3,1000)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2))；(3)－eq\r(3,（－8）2)＋(－eq\r(3,－8))－eq\r(3,1－9)；(4)eq\r(3,24×75×15).解：(1)－eq\f(2,3).(2)16eq\f(3,5).(3)0.(4)30.2．某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一个长方体钢铁，此长方体的长，宽，高分别为160cm，80cm和40cm，求原来立方体钢铁的边长．解：原来立方体钢铁的边长为eq\f(80,3)cm.3．有一边长为6cm的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一正方体容器时，还需再加水127cm3才满，求另一正方体容器的棱长．解：设棱长为acm，依题意得63＋127＝a3，解得a＝7，∴另一正方体容器棱长为7cm.4．若3x＋16的立方根是4，求2x＋4的平方根．解：由题意得3x＋16＝43，解得x＝16，±eq\r(2x＋4)＝±eq\r(36)＝±6.∴2x＋4的平方根为±6.

第1课时实数【学习要求】知识与技能1．了解无理数和实数的概念，会将实数按一定的标准进行分类．2．知道实数与数轴上的点一一对应．过程与方法1．了解无理数和实数的概念，适时拓展数的观念．2．通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数形结合”思想．【学习重难点】重点：正确理解实数的概念．难点：对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，如eq\f(9,11)＝0.8·1·，eq\f(5,9)＝0.5·等．任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？特别说明任何一个有限小数或一个无限循环小数都可以化成分数，所以任何一个有限小数或一个无限循环小数都是有理数．【思考探究，获取新知】例1(1)试着写出几个无理数；(2)判断下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？－π，eq\f(1,3)，－2.7，0.323323332…，eq\r(3)，eq\r(3,27)，－eq\r(49)，eq\r(3,15)，eq\f(π,5).解：(1)eq\r(2)，eq\r(3)，π.(答案不唯一)(2)有理数：eq\f(1,3)，－2.7，eq\r(3,27)，－eq\r(49)；无理数：－π，0.323323332…，eq\r(3)，eq\r(3,15)，eq\f(π,5).问题如何把实数分类？出示实数分类表：实数eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有理数\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(正有理数,0,负有理数))有限小数或无限循环小数,无理数\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(正无理数,负无理数))无限不循环小数))实数eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正实数,0,负实数))提示：特别强调“0”在表中的位置，考虑问题时不能忘记特殊数——0.例2将例1(2)中各数填入相应括号内．整数集合：{eq\r(3,27)，－eq\r(49)…}；正数集合：{eq\f(1,3)，0.323323332…，eq\r(3)，eq\r(3,27)，eq\r(3,15)，eq\f(π,5)…}；有理数集合：{eq\f(1,3)，－2.7，eq\r(3,27)，－eq\r(49)…}；负数集合：{－π，－2.7，－eq\r(49)…}；无理数集合：{－π，0.323323332…，eq\r(3)，eq\r(3,15)，eq\f(π,5)…}．例3如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′表示的数是什么？由这个图示你能想到什么？解：由图可知，OO′的长是这个圆的周长π，所以O′点表示的数是π，由此可知，数轴上的点可以表示无理数．特别说明每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数．实数与数轴上的点是一一对应的．例4下列说法中错误的是（D）A.eq\r(16)的平方根是±2B.eq\r(2)是无理数C.eq\r(3,－27)是有理数D.eq\f(\r(2),2)是分数分析：eq\r(16)的平方根即4的平方根±2，eq\r(3,－27)＝－3是有理数，而eq\f(\r(2),2)是无理数，不属于有理数范围，故其不可能是分数．特别说明判断一个数是不是无理数，不能只看最初形式，而要看化简后的最后结果．【运用新知，深化理解】1．下列说法中正确的是(B)A.eq\r(4)是一个无理数B．在eq\r(x－1)中x≥1C．8的立方根是±2D．2的平方根是eq\r(2)2．下列各数中，不是无理数的是(D)A．πB.eq\r(2)C．2eq\r(6)D.eq\r(3,216)3．下列各数中：－eq\f(1,4)，eq\r(7)，3.14159，π，eq\r(\f(10,3))，－eq\r(3,4)，0，0.3·，eq\r(3,8)，eq\r(16)，2.121121112…其中无理数有eq\r(7)，π，eq\r(\f(10,3))，－3eq\r(4)，2.121121112….有理数有－eq\f(1,4)，3.14159，0，0.3·，3eq\r(8)，eq\r(16).4．判断正误．(1)有理数包括整数、分数和零；(2)不带根号的数是有理数；(3)带根号的数是无理数；(4)无理数都是无限小数；(5)无限小数都是无理数．解：(1)√.(2)×.(3)×.(4)√.(5)×.

第2课时实数的运算【学习要求】知识与技能1．了解实数范围内的相反数和绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值．2．学会比较两个实数的大小．3．了解在有理数范围内的运算及运算法则，运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算．过程与方法在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算．【学习重难点】重点：有理数的大小比较和运算．难点：带有绝对值的有理数的运算．【学习过程】【情景导入，初步认识】学习了有理数相反数，绝对值的概念，那么，这一法则能否推广到实数呢？数a的相反数是－a(a表示任意一个实数，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0)【思考探究，获取新知】1．在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大．2．两个正实数，绝对值较大的值也大；两个负实数，绝对值大的值反而小；正数大于0，负数小于0，正数大于负数．3．运算律：(1)加法交换律：a＋b＝b＋a；(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)乘法交换律：ab＝ba；(4)乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；(5)分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.例1比较下列各实数的大小．(1)eq\r(2)＋1与2.42；(2)3eq\r(5)与2eq\r(11)；(3)eq\r(2－x)与eq\r(3,x－3).解：(1)∵eq\r(2)≈1.414，∴eq\r(2)＋1≈2.414<2.42.(2)(3eq\r(5))2＝32×(eq\r(5))2＝45，(2eq\r(11))2＝22×(eq\r(11))2＝44，由45>44知3eq\r(5)>2eq\r(11).(3)由eq\r(2－x)为实数知2－x≥0，即x≤2，∴eq\r(2－x)≥0，eq\r(3,x－3)<0，故eq\r(2－x)>eq\r(3,x－3).特别说明实数比较大小常用以下方法：(1)两个负数比较，绝对值大的反而小；(2)被开方数大，它的算术平方根也大；(3)立方数大原数也大．例2计算：(1)eq\r(3,－27)＋|3－eq\r(5)|－(eq\r(9)－eq\r(3,8))2＋3eq\r(5)；(2)eq\r(4)－eq\r(3,8)－eq\r(3,－\f(1,27))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(2).分析：先逐个化简后，再按照计算法则计算．解：(1)eq\r(3,－27)＋|3－eq\r(5)|－(eq\r(9)－eq\r(3,8))2＋3eq\r(5)＝－3＋3－eq\r(5)－1＋3eq\r(5)＝2eq\r(5)－1.(2)eq\r(4)－eq\r(3,8)－eq\r(3,－\f(1,27))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝2－2＋eq\f(1,3)－eq\f(1,9)＝eq\f(2,9).特别说明实数的运算同有理数的运算律和运算性质、运算顺序一样．例3已知实数x，y，z，满足2|4x－4y＋1|＋eq\f(1,8)eq\r(2y＋z)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝0，求(y＋z)·x2的值．解：由已知条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－4y＋1＝0，,2y＋z＝0，,z－\f(1,2)＝0.))∴x＝－eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,4)，z＝eq\f(1,2).∴(y＋z)x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)＋\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16).归纳结论1．非负数的和等于零的条件是当且仅当每个非负数的值都等于0.2．任何实数的绝对值是一个非负数，任何一个非负数的算术平方根也是一个非负数．【运用新知，深化理解】1．(1)绝对值等于eq\r(3)的实数是±eq\r(3)，绝对值是eq\f(\r(2),2)的实数是±eq\f(\r(2),2)；(2)eq\f(7,5)－eq\r(2)的相反数是eq\r(2)－eq\f(7,5)，绝对值是eq\r(2)－eq\f(7,5).2．比较eq\r(2024)－1与eq\r(1949)＋1的大小．解：∵eq\r(2024)－1<eq\r(2025)－1＝45－1＝44，eq\r(1949)＋1>eq\r(1849)＋1＝43＋1＝44，∴eq\r(2024)－1<eq\r(1949)＋1.

9．1.1平面直角坐标系的概念【学习要求】知识与技能1．知道利用数轴确定直线上一个点的位置用一个数就可以了．2．理解平面直角坐标系及其相关概念．3．理解坐标的概念．4．能利用平面直角坐标系表示点的位置，也能根据坐标找到坐标平面上它所表示的点．过程与方法先利用数轴确定直线上一点的位置，进而利用两条共原点且互相垂直的两条数轴确定平面点的位置，再学习平面直角坐标系及相关概念，最后用坐标表示平面上的点或根据坐标找到坐标平面上它所表示的点．【学习重难点】重点：平面直角坐标系及相关概念，各象限及坐标轴上点的坐标特征．难点：各象限及坐标轴上点的坐标特征，建立适当的平面直角坐标系，表示平面上点的坐标．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题1如图，A，B两点在直线l上，怎样表示A，B两点的位置？问题2如图，平面上有A，B，C三点，怎样用类似于数轴确定直线上点的位置的方法，确定A，B，C的位置？特别说明问题1在直线上确定出正方向、原点和单位长度，建立数轴，于是可用一个数表示A，B两点的位置了．问题2在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．这样我们就可以用有序数对表示A，B，C的位置了．【思考探究，获取新知】思考1.什么叫作平面直角坐标系？2．坐标平面内各象限及坐标轴上点的坐标特征．3．点(a，b)与点(b，a)是否表示同一个点(a≠b)？4.怎样建立恰当的平面直角坐标系？如果建立的平面直角坐标系不同，对于平面上的一个点A，它的坐标相同吗？归纳结论1．平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点．建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成四个象限，右上方叫第一象限，以后按逆时针的方向，依次为第二象限、第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限(如图)．2．坐标：若点A在坐标平面内，过A作x轴的垂线，垂足在x轴上的坐标是a，过A作y轴的垂线，垂足在y轴上的坐标是b，那么A的坐标就是(a，b)．坐标平面内，各象限及坐标轴上点的坐标特征．点的位置横坐标符号纵坐标符号第一象限＋＋第二象限－＋第三象限－－第四象限＋－在x轴正半轴上＋0在x轴负半轴上－0在y轴正半轴上0＋在y轴负半轴上0－原点003.点(a，b)和点(b，a)表示的是两个点(a≠b)．4．建立恰当的平面直角坐标系的技巧是要根据实际情况进行正确决策，如在网格点上，原点应选在某一格点处，以后可根据实际情况慢慢体会．如果坐标系建得不相同，则对于平面上一点A的坐标就不相同，恰当地建立坐标系，可使横纵坐标都更可能为整数，绝对值都较小，使问题解决起来较简单．【运用新知，深化理解】1．坐标平面上，在第二象限内有一点P，且P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则P点坐标为(A)A．(－5，4)B．(－4，5)C．(4，5)D．(5，－4)2．在平面直角坐标系中，点P(－3，4)到x轴的距离为(C)A．3B．－3C．4D．－43．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是(B)A．(－3，300)B．(7，－500)C．(9，600)D．(－2，－800)4．若点P(2，a)到x轴的距离为3，则a＝±3.5．已知点P(a＋1，2－a)在y轴上，那么点P的坐标是(0，3)．6．如果点M(a＋b，ab)在第二象限，那么点N(a，b)在第三象限．解析：a＋b＜0且ab＞0，则a＜0，b＜0，即点N在第三象限．7．已知A(3，2)，AB∥y轴，且AB＝4.求点B的坐标．解：设B点坐标为(a，b)，依题意有a＝3，|b－2|＝4，解得b＝6或－2，∴点B的坐标为(3，6)或(3，－2)．8．设点P的坐标为(x，y)，根据下列条件判定点P在坐标平面内的位置．(1)xy＝0；(2)xy＞0；(3)x＋y＝0.解：(1)x轴，y轴或原点．(2)第一象限或第三象限．(3)第二象限，第四象限或原点．9．在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标分别为(3，2)和(3，－2)的两个标点A，B，并且知道藏宝地点C的坐标为(4，4)，除此之外不知道其他信息，如何确定直角坐标系并找到“宝藏”(即在图中先正确画出平面直角坐标系，再描出点C的位置)?解：略．

9．1.2用坐标描述简单几何图形【学习要求】知识与技能1．能根据坐标描出点的位置．2．能建立适当的平面直角坐标系描述简单几何图形各顶点的位置．【过程与方法】在探究学习过程中，发现问题，提出问题，然后解决问题，体会在解决问题中和他人合作的重要性．【学习重难点】重点：根据点的坐标在平面直角坐标系中描出点的位置．难点：建立适当的平面直角坐标系，确定图形的点的坐标．【学习过程】【情境导入，初步认识】如图，这是某市部分简图．(1)请以火车站为坐标原点，建立平面直角坐标系，并写出各地的坐标和它们所在的象限；(2)如果选取另外一地为坐标原点，建立坐标系，其余各点的坐标会发生变化吗？【思考探究，获取新知】1．建立坐标系确定图形点的坐标，思考教材“探究”问题．平面直角坐标系的构建不同，则点的坐标也不同，在建立直角坐标系的同时，力求使点的坐标更加简明，从比较中寻找更优化的方法．2．教材例题．【运用新知，深化理解】1．已知在边长为2的等边三角形EFG中，以EF所在直线为x轴建立适当的直角坐标系，得到点G的坐标为(1，eq\r(3))，则该坐标系的原点在(A)A．点E处B．点F处C．点G处D．EF的中点处2．等腰梯形的各点的坐标为B(－1，0)，A(0，2)，C(4，0)，则点D的坐标为(3，2)．3．如图，已知点A(－4，3)，B(0，0)，C(－2，－1)，求三角形ABC的面积．解：过点A，C分别作y轴的垂线AM，CN，垂足分别为M，N，由题可知AM＝4，CN＝2，NM＝4，BM＝3，BN＝1.S三角形ABC＝S梯形ACNM－S三角形ABM－S三角形BCN＝eq\f(1,2)×(4＋2)×4－eq\f(1,2)×3×4－eq\f(1,2)×1×2＝5.4．如图，A，B，C为一个平行四边形的三个顶点，且A，B，C三点的坐标分别为(3，3)，(6，4)，(4，6)．(1)请直接写出这个平行四边形第四个顶点D的坐标；(2)求这个平行四边形的面积．解：(1)点D的坐标为(7，7)，(1，5)或(5，1)．(2)S＝8.

9．2.1用坐标表示地理位置【学习要求】知识与技能1．能用坐标表示地理位置．2．要学会建立恰当的平面直角坐标系，要选择一个单位长度表示实际问题中一个恰当的长度．这样才能用较简洁的坐标系标出某个地理位置．过程与方法通过具体的实例体会用坐标表示地理位置的方法．【学习重难点】重点：用坐标表示地理位置．难点：建立恰当的平面直角坐标系，并选择一个单位长度表示实际问题中一个恰当的长度是本节难点．【学习过程】【情景导入，初步认识】问题根据以下条件画一幅示意图，标出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置．小刚家：出校门向东走150m，再向北走200m.小强家：出校门向西走200m，再向北走350m，最后向东走50m.小敏家：出校门向南走100m，再向东走300m，最后向南走75m.解：略．【思考探究，获取新知】思考1.建立怎样的平面直角坐标系？2．怎样用一个简捷的平面直角坐标系标出某个地理位置．归纳结论1．取实际问题中的某一标志物作为原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴，则可用坐标清楚地表示地理位置．2．建立平面直角坐标系以后，要选择一个单位长度代表实际问题中一个恰当的长度，将地理位置当成一个点，这样就可简明地标出这个地理位置．需要注意的是，写该地理位置的坐标时要写实际问题的数值．【运用新知，深化理解】如图是某市市区几个旅游景点的示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度)．请以某个景点为原点，画出直角坐标系，并用坐标向游人介绍光岳楼、金凤广场、动物园的位置．小明：以光岳楼为原点，金凤广场(－2，－1.5)，动物园(7，3)．小亮：以动物园为原点，金凤广场(－9，－4.5)，光岳楼(－7，－3)．你同意小明、小亮的介绍吗？还有别的方法吗？解：同意小明、小亮的介绍，有别的方法，方法略．(方法不唯一，合理即可)归纳结论利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定单位长度；(3)在坐标系内画出这些点，写出各点的坐标和