有理数的加法与减法

2.5有理数的加法与减法

【推本溯源】

1.小学里，我们学过加法和减法运算，引进负数后，怎样进行有理数的加法与减

法运算呢？

2.有理数加法法则：

⑴同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加；

⑵异号两数相加，绝对值相等时，和为5绝对值不等时，取绝对值较大的加数

的符号，并用较大的绝对值减去较小的主对值;

⑶一个数与0相加，仍得这个数.

利用法则进行加法运算的步骤：

(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪

条法则.

(2)确定和的符号(是“+”还是“一”).

(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减).

小试牛刀：

(1)(-180)+(+20)-160(2)(-15)+(-3)-18

(3)(+10)+(-1)9(4)(+105)+(101)206

3.加法的交换律和结合律，在有理数范围内仍适用.

加法的交换律：a+b=b+a

加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

小试牛刀：

(1)[8+(-5)]+(-4)-1(2)[(-22)+(-27)]+(+27)-22

4.有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数.a-b=a+(-b)

注意：减号变为加号；减数变为它的相反数.

小试牛刀：

(1)15-(-7)22(2)(-8.5)-(-1.5)-7

(3)6~(4-9)-|-417(4)(-3)-(T.5)-(-4.5)-(+6)-3

5.根据有理数减法的法则，一切加法和减法的运算，都可以统一成加法运算.

有理数加减混合运算可以看成有理数的加法的运算，其中负数前面的加号省略.

小试牛刀：

(1)-26+43-24+13-46-40(2)9-5-23-19

(3)(+17)-(-32)-(+23)26(4)5.4-2.3+1.5-4.20.4

【解惑】

例1：(2023♦全国•九年级专题练习)计算:

⑴25+(-18)+4+(-10).

(2)(-3)+(+7；＞(5.5).

【答案】⑴1

⑵10

【分析】(1)根据有理数的加法法则，从左到右依次进行计算即可;

(2)利用加法结合律进行简算.

【详解】(1)原式=7+4+(70)=11—10=1；

(2)原式(一3)+(+79+(5.5)=(-3)+13=10.

【点睛】本题考查有理数的加法.熟练掌握有理数的加法法则：“同号相加，取

相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值大的符号，再用大绝对值减

去小绝对值.〃是解题的关键.

Ia1o

例2：(2022秋•浙江金华•七年级校考阶段练习)计算％+(-2：)+5^+(-77时运算

律用得恰当的是()

A.仁+5讯(-2皆+17胃B.[39(-2升昌+(-7令

C.+3%(-7|)]+卜2|)+55D.(-2|)+5(+卜卜(々|)

【答案】A

【分析】利用加法的运算律，将分母相同的数分别结合在一起，然后再进行计算

即可.

1332

【详解】解：3-+(-2-)+5-+(-7-)

=(3%5(|+/2|卜(一7钳

=9-10

故选：A.

【点睛】本题考查有理数的加减运算，合理运用运算律是解题的关键.

例3：（2022秋•贵州黔南•七年级统考期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程

中的解题方法解决问题.

示例：计算：

解：原式=（一1）+（一|）+（一2）+（一|）+（9+；）+13）+（-9

=[(-1)+(-2)+9+(-3)]+

_7

-4

以上解题方法叫做拆项法.

请你利用拆项法计算下面式子的值.

卜2023+卜20224+（_1+卜目+40451

【答案】*

【分析】利用题目提供的方法计算即可.

【详解】解：|^-202311+[-2022^+f-1140451

=（-2023）+[--|+（-2022）+1+（-1）+||+|--|+|4045+-

=[(-2023)+(-2022)4-(-1)4-4045]+

37

n

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解

答本题的关键.

例4：（2022秋•河北沧州•七年级统考期中）如图是某一条东西方向直线上的公交

线路的部分路段，西起A站，东至L站，途中共设12个上下车站点.某天，小

明参加该路线上的志愿者服务活动，从。站出发，最后在某站结束服务活动.如

果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位:

站）：+5,—3,+4r—5f+8,—2,+1,—3,—4,+1.

西4BCDEFGHIJKL东

⑴请通过计算说明结束服务的〃某站〃是哪一站？

⑵若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交

车行进的总路程约是多少千米？

【答案］⑴E站

⑵这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是90千米

【分析】（1）设C站为原点,然后列式计算得出+5-3+4-5+8-2+1-3-4+1=+2,

即可得出结果；

（2）根据题意列式计算即可.

【详解】（1）解：设C站为原点，如图所示：

ABCDEFGHIJKL

11111111111111

-3-2-1012345678910

+5-3+4-5+8-2+1-3-4+1=+2,

团表示原点右侧第二个站，即E站.

（2）解:|+5|+|-3|+|+4|+卜5|+网+卜2|+|+1|+|-3|+|-4|+|+1|

=5+3+4+5+8+2+1+3+44-1

=36,

36x2.5=90（千米）.

答：这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是90千米.

【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算的运用，解题的关键是根据题意列

出算式.

【摩拳擦掌】

1.(2023春,黑龙江哈尔滨•六年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习)把

18-(-33)+(-21)-(T2)写成省略括号的和是()

A.18+(-33)+(-21)+42B.18-33-21+42

C.18-33-21-42D.18+33-21+42

【答案】D

【分析】利用有理数的减法法则将加减法统一成加法后省略括号即可.

【详解】解：18-(-33)4-(-21)-(-42)=184-33-21+42,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用有理数的减法法则将加减

法统一成加法是解题的关键.

2.(2023•河北衡水•校联考模拟预测)若“(-2)+□〃的值为负数，贝广口〃不可能是

()

A.-1B.0C.1D.3

【答案】D

【分析】根据有理数的加法运算法则逐项求解即可.

【详解】解：A、当〃□〃为-1时，(-2)+口=(-2)+(-1)=-3<0,故A选项不符合题

忘；

B、当“□〃为。时\(-2)+D=(-2)+0=-2<0,故B选项不符合题意；

C、当“□〃为十寸，(-2)+口=(-2)+卜4<0,故C选项不符合题意；

D、当“□〃为3时，(-2)+口=(-2)+3=1>0,故D选项符合题意；

故选：D.

【点睛】此题考查了有理数的加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运

算法则.

3.(2023•云南临沧•统考一模)某水库4月份的最高水位超过标准水位5cm,记

为+5cm,最低水位低于标准水位女m,记为-3cm,则4月份该水库的水位差是

()

A.8cmB.3cmC.5cmD.-8cm

【答案】A

【分析】用最高水位减去最低水位，即可求解.

【详解】解：水位差=(+5)—(—3)=5+3=8(cm),

即4月份该水库的水位差是8cm.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了有理数的减法的实际应用，解题的关键是掌握：减去一

个数等于加上它的相反数.

4.(2022秋•江苏扬州•七年级校考期末)计算-1-1|)的结果为()

A.-1B.1C.——D.—

【答案】D

【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数可得答案.

【详解】解：

故选D.

【点睛】本题考查的是有理数的减法运算，掌握有理数的减法运算法则是解本题

的关键.

5.(2023•天津和平•统考二模)计算-2-(+3)的结果等于()

A.-5B.1C.-1D.5

【答案】A

【分析】根据有理数的减法运算法则即可解答.

【详解】解：-2-(+3)=-2-3=-5,

故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的减法运算法则，掌握对应法则是解题的关键.

6.(2022秋・江西宜春•七年级校考阶段练习)计算：

⑴13+(-7)-5；

(2)(,5)+(-4)-(+6)-(-7)

【答案】（1）1

⑵-8

【分析】（1）根据有理数加减运算法则直接求解即可得到答案；

（2）根据有理数加减运算法则直接求解即可得到答案.

【详解】（1）解：13+（-7）-5

=13-7-5

=13-12

=1;

（2）解：（-5）+H）-（+6）-（-7）

=-5-4-6+7

=（-5-4-6）+7

=-15+7

=-8.

【点睛】本题考查有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解决问

题的关键.

7.（2023秋•福建龙岩•七年级统考期末）一年一度的〃双H^一〃全球购物节完美收

官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司,一快递小哥骑三轮摩托车从公

司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶

的记录如表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米）

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

-2+7-9+10+4-5—8

⑴快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司〃的哪个方向上？距离公司〃多

少千米？

⑵在第次记录时快递小哥距公司产地最远；

⑶如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需

要花汽油费多少元？

【答案】⑴最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司P的西边，距离公司3千米

⑵五

⑶快递小哥工作一天需要花汽油费25.92元

【分析】（1）利用有理数的加减法，求七个数的和，得出的数是正数，表示在公

司东，是负数，就在公司西；

（2）从第一个数开始，绝对值最大的就是最远距离；

⑶首先算出走过的路，即各数的绝对值的和，乘以每千米耗油量，再乘以单价

即可.

【详解】（1）-2+7-9+10+4-5-8=-3（千米），

答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司产的西边，距离公司3千米；

（2）|-2|=2（千米）

|-2+7|=5（千米），

|-2+7-9|=4（千米），

|-2+7-9+10|=6（千米），

|-2+7-9+10+4|=10（千米），

|-2+7-9+10+4-5|=5（千米），

|-2+7-9+10+4-5-8|=3（千米），

・••第五次快递小哥距公司P最远.

故答案为：五；

（3）|-2|+|+7上阳+|+叫+|汹+卜5|+国=45（千米），

.-.0.08x45=3.6（升），7.2x3.6=25.92（元），

答：快递小哥工作一天需要花汽油费25.92元.

【点睛】本题考查的是绝对值的性质，有理数的加减和乘法，大小比较等知识,

关键就是要求学生对有理数相关知识的要熟练掌握.

8.（2022秋•吉林长春•七年级校考阶段练习）计算：

⑴-3-卜3|；

(2)6+(y).

【答案】⑴-6

(2)0

【分析】（1）先化简绝对值，再计算减法，即可求解;

（2）直接根据有理数的减法法则计算，即可求解.

【详解】（1）解：-3-|-3|

=-3-3

（2）解：6+（-6）=0

【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解

答此题的关键.

9.（2023・全国•九年级专题练习）计算：

⑴（一23）+72+（-31）+（的7）；

⑵(+125)+

【答案】（1）65

【分析】（1）先把同号的两数先加，再按照绝对值不相等的异号两数相加的法则

进行运算即可；

（2）把和为整数的两个数先加，再通分，再按照绝对值不相等的异号两数相加

的法则进行运算即可.

【详解】（1）解：（-23）+72+（-31）+（447）

=（-54）+（+119）

=65；

(2)(+1.25)+卜升(司+(+弓)

【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，有理数的加法运算律的应用，掌握“有

理数的加法运算法则〃是解本题的关键.

10.(2023•全国•九年级专题练习)5(+&5：[+4]+(-g

【答案】4

【分析】根据有理数的加法法则计算即可.

【详解】51+(-5|)+41+(-1)

=10-6

【点睛】本题考查有理数的加法法则，同分母的进行结合是解题的关键.

11.(2022秋•河南濮阳•七年级统考阶段练习)在一个3x3的方格中填写9个数字,

使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3x3的方格称为一个

⑴在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方;

⑵图2的方格中填写了一些数和字母，要使它能构成一个三阶幻方，求盯丁的

值，并将空格补充完整.

【答案】(1)见解析:

(2)X=5,y=8,空格补充见解析.

【分析】(1)根据三个数的和为2+3+4=9,依次列式计算即可求解;

(2)先求出下面中间的数，进一步得到右上面的数，从而得到人丁的值.

【详解】(1)解：2+3+4=9,

9-6-4=-1,

9-6-2=1,

9-2-7=0,

9-4-0=5,

(2)解：y=4+l-(-3)=8,

x=j+l—4=8+1—4=5.

【点睛】本题考查了有理数的加法，根据表格,先求出三个数的和是解题的关键.

12.(2023秋•陕西榆林•七年级统考期末)若。-2的绝对值为5,b的绝对值为9,

且求々-8的值.

【答案】16或6

【分析】根据绝对值的意义分别求出。力的值，然后根据。+》<0确定出其范围,

即可得出答案.

【详解】解：国。-2的绝对值为5,匕的绝对值为9,

Bo—2=±5,£>=±9,

解得。=7或〃=-3,

回a+bvO,

回。=7或一3时，b=-9,

0tz-Z?=7-(-9)=16,^6r-Z?=-3-(-9)=6,

即的值为16或6.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算等知识点，熟练掌握绝对

值的意义以及有理数的加减运算法则是解本题的关键.

【知不足】

1.(2022秋•河南新乡•七年级校考期末)把(+5)-(+3)-(-7)+(-2)写成省略括号的

和的形式是()

A.-5-3+7-2B.5-3-7-2C.5-3+7-2D.5+3-7-2

【答案】C

【分析】根据有理数的减法法则即可得到原式=5-3+7-2.

【详解】解：原式=5-3+7-2,故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了有理数加、减法运算法则.解题的关键是熟练掌握减去

一个数等于加上这个数的相反数.

2.(2020秋•吉林长春•七年级校考期中)定义运算4渤=需求；，则(一力㊁(一5)

的结果为().

A.-5B.—3C.—2D.3

【答案】C

【分析】先求出-2-(-5)=3>1,再根据所给新定义即可得到答案.

【详解】解：0—2—(-5)=—2+5=3>1,

0(-2)0(-5)=-2,

故选C.

【点睛】本题主要考查了有理数的减法，有理数比较大小，正确理解题意是解题

的关键.

3.(2023・天津东丽•统考一模)计算(-8)-8的值是()

A.-16B.0C.16D.64

【答案】A

【分析】根据有理数的减法法则计算即可.

【详解】解：(一8)-8=-16,

故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

4.(2023秋・河南南阳•七年级统考期末)有理数a、h在数轴上的对应点如图所

示，则下面式子中正确的是()

--------1---------------1——।--------------->

b0〃

A.h>a>0R.>?>/)>0C.a+h>0D.a-h>0

【答案】D

【分析［根据数轴上的位置确定小匕的正负和绝对值的大小，再根据有理数运

算法则逐项判断即可.

【详解】解：有理数小〃在数轴上的对应点如图所示，

所以，a>0>b9I勿NS；

故a+b<0,a-b>0；

观察四个选项，只有选项D正确，

故选：D.

【点睛】本题考查了数轴和有理数运算法则，解题关键是根据数轴确定小人的

正负和绝对值的大小，并熟练运用有理数运算法则进行判断.

5.(2023秋•重庆秀山•七年级统考期末)把(T)-(+2)-(T)+(-3)统一为加法运算，

正确的是()

A.(-1)+(+2)+(-4)+(-3)B.(-1)+(-2)+(叫+(-3)

C.(-1)+(+2)+(+4)+(+3)D.(-1)+(-2)+(-4)+(+3)

【答案】B

【分析】把减法转化为加法即可.

【详解】解：(一1)一(+2)-(-4)+(-3)

=(-1)+(-2)+(+4)+(-3),

故选：B.

【点睛】本题考查了减法转化为加法，解题的关键是掌握减去一个数等于加上这

个数的相反数.

6.(2022秋•广西南宁•七年级南宁三中校考期中)将5-(-3)-(+7)+(-2)中的减法

改成加法，并写成省略加号和括号的形式是()

A.-5-3+7+2B.5-3-7-2C.5+3-7+2D.5+3-7-2

【答案】D

【分析】把减法统一到加法上后，省略加号即可.

【详解】解：05-(-3)-(+7)+(-2)=5+3-(+7)-2,

团省略加号和括号后的形式为5+3-7-2,

故选D.

【点睛】本题考查了有理数减法的运算，正确理解减法运算法则是解题的关键.

7.(2023春•上海•六年级专题练习)-10+81+^-13^.

【答案】-15

【分析】根据加法结合律，可简便运算，根据有理数的加法运算，可得答案.

【详解】解：原式=70+8(+(-可)

=-10+(-5)

=-(10+5)

=-15.

【点睛】本题考查了有理数的加法，先由加法运算律简便运算，再进行有理数的

加法运算.

8.(2021秋•广东河源•七年级校考期中)计算：(+7)+(7)-(-3)-14.

【答案】-8

【分析】根据有理数加减法法则进行计算即可.

【详解】解：(+7)+H)-(-3)-14

=7-4+3-14

=10-18

=-8.

【点睛】本题主要考查了有理数加减运算，熟练掌握有理数加减法法则是解答本

题的关键.

9.(2022秋・广东广州•七年级校考阶段练习)小时在电脑中设置了一个有理数的

运算程序：a*b=a-b+5.

⑴求(-3)*2的值；

⑵求(3*4)*(-5)的值.

【答案】(1)0

⑵14

【分析】(1)根据运算程序即可求解；

(2)先计算3*4=4,再计算4*(-5)即可求解.

【详解】(1)解：因为

所以(-3)*2=(-3)-2+5=0；

(2)解：(3*4)*(-5)=(3-4+5)*(-5)=4*(-5)=4-(-5)+5=4+5+5=14.

【点睛】本题考查了有理数的运算，理解规定的运算程序是解题关键.

10.(2023秋・河南新乡•七年级统考期末)西峡掰猴桃，河南省西峡县特产，西

峡因其独特的气候条件，所产舜猴桃内在品质优良，舜猴桃口感好，维生素。含

量高.小芸买了10箱西峡骄猴桃，每箱的标准重量是5千克，将超出标准重量

的千克数记为正数，不足标准重量的千克数记为负数，记录结果如下：

-0.25,40.15,-0.05,-K).2,-0.1,-0.2,-0.1,-K).O5,0,M.l.

⑴最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？

⑵求这10箱西峡跺猴桃的总重量.

【答案】(1)重的一箱比最轻的一箱重045千克

(2)这10箱西峡舜猴桃的总重量为49.8千克

【分析】(1)将数据中的最大的数减去最小的数即可求解;

（2）将所有数据相加再加上10x5,即可求解.

【详解】（1）解：国0.2-（-0.25）=0.45（千克）,

回重的一箱比最轻的一箱重0.45千克，

（2）解：-0.25+0.15-0.05+0.2-0.1-0.2-0.14-0.05+0+0.1=-0.2,

10x5-0.2=49.8（千克），

答：这10箱西峡掰猴桃的总重量为49.8千克.

【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的加减的应用，理解正负数的意义是

解题的关键.

11.（2023春.黑龙江哈尔滨.七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）

计算

（1）（-0.9）+1.5

4）39口）+5日一用

【答案】⑴0.6

⑵7

(4)-2

【分析】（1）利用有理数的加法运算法则直接计算即可得到答案;

（2）利用有理数的加法运算法则直接计算即可得到答案；

（3）利用有理数的加法运算律进行简便计算，即可得到答案；

（4）利用有理数的加法运算律进行简便计算，即可得到答案.

【详解】（1）解：（-0.9）+1.5=0.6；

341

（2）解：；+6-6--6；

(3)解：1+

2

=­•

3，

(4)解：3*12|)+5:+卜|

=9+(-11)

【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键.

12.(2022秋•河北邢台•七年级校考阶段练习)已知以|=3,|)，|=2.

(1)若x>0,yVO,求x+y的值；

(2)若xVy,求x-y的值.

【答案】⑴1

⑵-5或-1

【分析】(1)根据绝对值的意义和x、y的大小关系，确定了、y的值，代入计算

即可；

(2)根据次|=3,3=2.x<yt确定x、y的值，代入计算即可.

【详解】(1)解：由|x|=3,\y\=2.x>0,y<0,得，x=3,y=-2,

取+y=3+(-2)=1；

所以x+y的值为1；

(2)解：由|x|=3,|y|=2.xVy,可得x=-3,y=2或x=-3,y=・2,

当x=-3,y=2时，x-y=-3-2=-5t

或x=-3,y=-2时，x-y=-3-(-2)=-1,

所以x-y的值为-5或-1.

【点睛】本题考查有理数的加减法以及绝对值的意义，确定八)，的值是解题的

关键.

13.(2022秋•山西太原•七年级太原师范学院附属中学校考阶段练习)对于数轴

上的4B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满

足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的〃联盟点〃.

例如数轴上点A,B,。所表示的数分别为1,3,4,此时点5是点A,C的〃联

盟点

ABC

------1i1411~~►

0------1------2-3----4-----5

⑴若点A表示数T,点B表示数5,点M是点A,8的〃联盟点〃，点M在A、B

之间，且表示一个负数，则点M表示的数为；

2

(2)若点A表示数-2,点8表示数2,下列各数-；，0,4,6所对应的点分别为G,

c2,G,G,其中是点45的〃联盟点〃的是；

⑶点A表示数-15,点8表示数25,尸为数轴上一点：

①若点尸在点8的左侧，且点P是点A,3的"联盟点”，此时点尸表示的数是

②若点尸在点8的右侧，点P,4,8中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟

点〃，直接写出此时点尸表示的数.

【答案】⑴-1;

⑵G或。4；

(3)①一55,一生§；②65；45；105.

【分析】(1)先求出AB=9,再根据联盟点的定义求出M表示的数是2与-1,最

后根据点M表示一个负数，即可求解；

(2)根据题意求得C4与的关系，得到答案；

(3)①分点尸位于点A左侧、点P表示的数位于AB之间，且靠近点A、点P

表示的数位于A8之间，且靠近点5三种情况讨论，即可求解；

②分当尸为A、8的联盟点、点5为4尸联盟点且AB=2BP、点8为AP联盟点

且PB=2A8三种情况讨论，即可求解.

【详解】(1)解：由题意得他=5-(Y)=9,因为点”是点A,8的〃联盟点〃，点

M在A、8之间，

^AM=2BM,或BM=2AM,

22I1

所以AM=-x>4B=-x9=6^AM=-xAB=-x9=3,

所以点M表示的数是-4+6=2或-4+3=-l,

因为点W表示一个负数，

所以点M表示的数为-L

故答案为：-1;

4Q

(2)解：由题意得C/A=§,C]B=2CA,故C/符合题意；

C2A=C2B=2,故C2不符合题意；

QA=6,GB=2,故C3不符合题意；

以4=8,QB=4,C4A=2C4B,故C4符合题意.

故答案为：G或。4；

(3)解；由题意得AB=40.

①当点尸位于点4左侧时，PB=2B4,所以办=A5=40,所以点尸表示的数为

-15-40-55；

当点P表示的数位于A8之间，且靠近点A时，PB=2PAf所以外斗40哼，所

以点P表示的数为75+与话；

9QA

当点P表示的数位于AB之间，且靠近点8时，以=2PB,所以以二二40二7，所

以点P表示的数为-15+等后；

故答案为：一-日；

②当P为A、8的联盟点时，则以=2P8,所以A8=P3=40,所以点P表示的数

为25+40=65；

当点B为AP联盟点且AB=2BP时,3尸=gx40=20,所以点P表示的数为25+20=45；

当点B为AP联盟点且尸AZ4B时，8P=2x40=80,所以点P表示的数为25+80=105；

故答案为：65；45；105.

【点睛】本题为新定义问题，难度较大.考查了在数轴上表示有理数，有理数的

加减运算等知识，理解“联盟点〃的意义，根据题意结合数轴分类讨论是解题关键.

【一览众山小】

1.（2021•浙江•九年级自主招生）若〃，b满足1。+加<1。-加，则下列选项中正确

的是（）

A.a>hB.a<bC.cib>0D.cib<0

【答案】D

【分析】根据有理数的加减法法则和绝对值的性质回答即可得解.

【详解】解：当。，b同号时，|々+力|>|。-4，

当a,人异号时，\a+b\<]a-b\t

故选：D

【点睛】本题考查了有理数的加减法法则和绝对值的性质，有理数的大小比较,

掌握相关法则和性质是解本题的关键.

2.（2023秋•陕西渭南•七年级统考期末）2022年中国与奥运再次牵手，2022年

注定是不平凡的一年.若一个数与2022的和为0,则这个数是（）

【答案】B

【分析】由相反数的含义，结合有理数的加法运算可得答案.

【详解】解：团一个数与2022的和为0,

团这个数是-2022,

故选B

【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，相反数的含义，熟记和为。的两个数

互为相反数是解本题的关键.

3.（2023・天津河东•一模）计算-3-2的结果等于（）

A.1B.-1C.-5D.5

【答案】C

【分析】根据“减去一个数等于加上这个数的相反数〃进行求解即可.

【详解】解：原式=-3+（-2）=-5.

故选：C.

【点睛】本题考查了有理数的减法法则，掌握法则是解题的关键.

4.(2022秋,山东•七年级校考阶段练习)1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+L+(-2022)+2023

的结果是()

A.0B.1012C.-1011D.-2018

【答案】B

【分析】根据有理数的加减计算法则两两结合进行计算即可得到答案.

【详解】原式=。-2)+(3-4)+(5-6)+-.+(2015-2016)+(2021-2022)+2°23

=(-1)+(-1)+(-1)+...+(-1)+(-1)+2023

=(-1)x1011+2023

=1012.

故选：B.

【点晴】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握加减混合运算法则.

5.（2022秋•河北秦皇岛•七年级校联考阶段练习）观察下列各式：-白=-1+）

_白=一;_白=_工=一;+2,按照上面的规律，计算式子

2x3233x4344x545

---------------的值为（）

1x22x33x4----2020x2021

【答案】B

【分析】根据式子的规律得出-荔篇=-5+击，进而化简式子，根据有理数

〃入I"十1I〃IlI1

的加减进行计算，最后求绝在值即可求解.

111111

【详解】解：回号=2=+—,-----一+一■-----—+-

2x3233x4344x545

I11

国----7---77=-+---7,

+n〃+1

__1____1_____1_1

0-172~2^3-3^4-2020x2021

,11111

=-1+----+-+.........+----

22320202021

1+----

2021

_2020

2021

故选：B.

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键.

6.（2022秋•浙江绍兴•七年级校联考期中）己知•为非零有理数，则回+4+回

abc

的值不可能为（）

A.0C.-1D.3

【答案】A

【分析】要对《瓦。所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取

值，代入求值.

【详解】解：对。，瓦c的取值情况分类讨论如下：

①当〃力，。都是正数时，9=[=?=1，所以和为3；

②当〃，瓦c都是负数时，回=#=@=-1,所以和为-3；

abc

③当。，瓦。中有两个正数，一个负数时，言，卷，言中有两个1，一个T，所以

I叽网+k1_1

—十—十——X,

abc

④当a,瓦c中有一个正数、两个负数时，言，卷，者中有两个口，一个+1，所以

----1------1------X,

abc

总之，@+#+忖=±1或±3.

abc

故选：A.

【点睛】此题主要考查了绝对值，分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏.规

律总结：一个正数的绝对值是它本身：一个负数的绝对值是它的相反数：0的绝

对值是0.

7.（2022秋・湖南岳阳•七年级统考期末）计算:

112123125859

—+一+一4-—+—+—+-4-—+—++—+—

23344460606060

【答案】885

【分析】原式整理结合后，计算即可得到结果.

【详解】解：设s=g+125859

-+—+—+--+---

44升+（小/6060

则5=]2132595821

—+---+---++--+---

334460606060

上下两式相加得2s=1+2+3++59="\":1770,

所以S=885,

史+竺)

4-60+60j=885

【点睛】本题主要考查了有理数的加法，正确运用倒序相加法是解答本题常用方

法.

8.（2021秋•四川遂宁•七年级校考阶段练习）已知|«-2|=5,求。_卜4_9的值.

【答案】-8或-16

【分析】先解绝对值方程求出。=7或。=-3,然后分〃=7和〃=-3两种情况代入

所求式子中进行求解即可.

【详解】解：0|«-2|=5,

团a-2=5或2=—5,

团。=7或a=-3；

当a=7时，^-|1-«|-9=7-|1-7|-9=7-|-6|-9=7-6-9=-8；

当a=-3时，tz-|l-«|-9=-3-|l-(-3)|-9=-3-|l+3|-9=-3-|4|-9=-3-4-9=-16；

综上所述，。叩-4-9的值为-8或-16.

【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，有理数的加减计算，正确求出。=7或

。=-3是解题的关键.

9.（2023春•陕西西安•九年级校考阶段练习）计算：57"[-2|K-3iM+41）

【答案】0

【分析】首先去括号，把带分数化为整数与真分数和的形式，再进行有理数加减

运算，即可求得结果.

【详解】解:5;区卜卜3%（闻

4343

=0

【点睛】本题考查了有理数的加减运算，把带分数化为整数与真分数和的形式是

解决本题的关键.

10.(2022秋•浙江台州•七年级校考期中)定义：对于任意的有理数

。㊉。=」(|。-b|+a+力)

2

⑴探究性质：

①例：3㊉2=；2©3=；(-3)㊉2=；(-3)㊉(-2)=

9

②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含mb的式子表示出。㊉6的

一般规律；

⑵性质应用：

①运用发现的规律求【(-弦5馋16.33】㊉【(-33.8)㊉(T)】的值；

②将-11,-10,-9,-8......,7,8这20个连续的整数，任意分为10组，每组

两个数，现将每组的两个数中任一数值记作d另一个记作儿求出。㊉力，10组

数代入后可求得10个。㊉力的值，则这10个值的和的最小值是—.

【答案】⑴①3,3,2,-2；②见解析，一般规律为〃㊉

⑵①16.33；②-10

【分析】(1)①根据定义。〶6=；(|。一〃|+。+勿,。工人即可求解；②举例

30(-2),(-2)0(-3),通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的

两个有理数的最大值；

(2)①直接利用规律进行求解；②不妨设则代数式中绝对值符号可直接

去掉，代数式等于%由此即可解决问题.

【详解】(1)解：(1)■a®b=^(]a-h\+a+h\a^bf

.•.3㊉2=卯一2|+3+2)=3,

2©3=^(|2-3|+2+3)=3,

(-3)©2=-^(|-3-2|-3+2)=2,

(-3)©(-2)=1(|-34-2|-3-2)=-2,

故答案为：3,3,2,-2;

②例如：3㊉(-2)=g(|3+2|+3-2)=3,

(-2)㊉(-3)1(卜2+3卜2-3)=-2,

通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，

用小b的式子表示出一般规律为。=

[b,b>a

(2)解：①【(一92.5)㊉16.33】㊉【(一33.8)㊉(-4)】

=16.33©(-4)

=16.33；

②不妨设则代数式中绝对值符号可直接去掉，

•••代数式等于明

〃为偶数，b=a-\

最小值=(-10)+(-8)+(-6)+(T)+(-2)+0+2+4+6+8=-10,

故答案为：-10.

【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算,解题的关键是掌握新定义，

把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解.

17

11.(2022秋•江苏苏州•七年级校考期中)的倒数是;《的相反数是

;的倒数的绝对值是.

比-3小9的数是；比-3大-9的数是.

【答案】-32j3-12-12

【分析】根据倒数的概念，相反数的概念，绝对值的意义以及有理数的加减运算

求解即可.

I72s3

【详解】解：-：的倒数是-3：中的相反数是-弓；的倒数的绝对值是

0-3-9=-12,-3+(-9)=-12

回比-3小9的数是-12；比-3大-9的数是-12.

23

故答案为：-3；-1—；-；-12；-12.

【点睛】此题考查了倒数的概念，相反数的概念，绝对值的意义以及有理数的加

减运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

12.（2022秋•湖北咸宁•七年级统考期末）有理数〃、b在数轴上对应点的位置如

图所示，则化简|/+卜1-43。+4的结果为.

ab

[II.

o1

【答案】1

【分析】根据图形可判断，b<ofa+l>0,a+bX）f继而得出-/?>0,-4-1<0,

再根据绝对值的应用把绝对值符号去掉，最后合并同类项即可求解.

【详解】解：由图像可知：X0,a+l>0,a+bX）9

0-Z?>O,-tz-l<0,

回一目+|一1-4一|"+司=6+1+4—（"+人）=1，

故答案为：1.

【点睛】此题考查了数轴、绝对值和整式的加减，解题关键是根据图形判断绝对

值里面的符号.

13.（2023秋•湖北武汉•七年级统考期末）爱动脑筋的