云南昆明市重点中学2024年中考数学模拟试题含解析

云南昆明市重点中学2024年中考数学模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为（）

2.已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象

A.a>0B.a>0C.a<0D.a<0

4.如图，将矩形ABC。沿对角线SO折叠，点C落在点£处，BE交于点R已知NBOC=62。，则NO尸E的度

A.31°B.28°C.62°D.56°

x+22

5.计算-------的结果为（)

xx

1JV+2

A.1B.xC.一D.------

xx

6.下列计算正确的是（）

A.2x-K=1

C.（m-n）2=m2-n2D.(-xy3)

7.如图，在平面直角坐标系中，A(1,2),B（1,-1）,C（2,2）,抛物线产。/（〃和）经过A/48C区域（包括边

C.-lWa<0或LoWl

2

D.-<a<2

2

8.下列计算，结果等于V的是

A.a+3aB.a5-aC.（D.

9.把直线1：y=kx+b绕着原点旋转180。，再向左平移1个单位长度后，经过点A（-2,0）和点B（0,4）,则直线1的

表达式是（）

A.y=2x+2B.y=2x-2C.y=-2x+2D.y=-2x-2

10.若关于x的方程（111-1）f+相丫-1=（）是一元二次方程，则m的取值范围是（）

A.m#l.B.m=l.C.m>lD.m#0.

11.如瓯在圆O中，直径AB平分弦CD于点E,且CD=4VJ,连接AC,OD,若NA与NDOB互余，则EB的长

是（）

A.273B.4C.V3D.2

12.如图，。。的半径为1,△ABC是。。的内接三角形，连接OB、OC,若NBAC与NBOC互补，则弦BC的长

为（）

A.73B.2GC.373D.1.573

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.比较大小：4V17（填入或“V”号）

14.半径是6cm的圆内接正三角形的边长是cm.

15.分解因式2x?+4x+2=.

16.抛物线y=（x-2）2-3的顶点坐标是__.

17.如图，点A,B,C在。。上，四边形。48C是平行四边形，OOL1〃于点E,交。。于点O,则N1MO=1

18.如图所示，点Ai、A2、A3在x轴上，且OAi=AiAz=A2A3,分别过点Ai、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数

y=-（x>0）的图象分别交于点Bi、B2、B3,分别过点BI、B>B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点Ci、C>C3,

x22

49

连接OB】、OBz、OB3,若图中三个阴影部分的面积之和为豆，贝ijk=—.

，八

iS（Lx>0）

ohk—%

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广

场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示.请

在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置.（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必

~*---------------------1。

须用铅笔作图）

--------------------5~

20.（6分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1

个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为!.

2

（1）求口袋中黄球的个数；

（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红

球的概率；

21.（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=・^x2+bx+c（a#）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点

C,点A的坐标为（・1,0）,抛物线的对称轴直线x=1交x轴于点D.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,交x轴于点G,当点E运动到什么

位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；

（3）在（2）的条件下，将线段FG绕点G顺时针旋转一个角a（0°<a<90°）,在旋转过程中，设线段FG与抛物线

交于点N,在线段GB上是否存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请直接写出点P

的坐标；如果不存在，请说明理由.

V

DBX

x-y=3

22.（8分）解方程组｛

3x-8y=14

23.（8分）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根.

（1）求m的取值范围；

（2）若xi,X2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，KXI2+X22-xiX2=8,求m的值.

24.（10分）（H分）阅读资料：

如图1,在平面之间坐标系xOy中，A,B两点的坐标分别为A（xi,yD,B（xi,yi）,由勾股定理得AlV=|xi・x#+|yi

-yil1,所以A,B两点间的距离为AB=

我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图L在平面直角坐标系xoy中，A（x,y）为圆上任意一

点，则A到原点的距离的平方为OAJ|x-Op+|y-Op,当。O的半径为r时，。。的方程可写为：x'+y^r1.

问题拓展：如果圆心坐标为P（a,b）,半径为r,那么。P的方程可以写为.

综合应用：

如图3,OP与x轴相切于原点O,P点坐标为（0,6）,A是。P上一点，连接OA,使tanNPOA=,作PD_LOA,

垂足为D,延长PD交x轴于点B,连凌AB.

①证明AB是。P的切点；

②是否存在到四点O,P,A,B距离都相等的点Q?若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的。O

的方程；若不存在，说明理由.

25.（10分）计算：卜一6卜（兀-3）°+3tan30—（g），

26.（12分）某市旅游部门统计了今年“五・一”放假期间该市A、B、C、D四个旅游景区的旅游人数，并绘制出如图所

示的条形统计图和扇形统计图，根据图中的信息解答下列问题;

某市今年•五•一”放假期间某市今铲五•一”放假期间

四个景点旅游人数扇形统计图

（1）求今年“五•一”放假期间该市这四个景点共接待游客的总人数；

（2）扇形统计图中景点A所对应的圆心角的度数是多少，请直接补全条形统计图；

（3）根据预」测，明年“五•一”放假期间将有90万游客选择到该市的这四个景点旅游，请你估计有多少人会选择去景

点D旅游？

27.（12分）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40。得到正方形ODEF,连接AF,求NOFA的度数

O

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

试题分析：根据轴对称图形及中心对称图形的定义，结合所给图形进行判断即可.A、既不是轴对称图形，也不是中

心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对

称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选C.

考点；中心对称图形；轴对称图形.

2、D

【解析】

先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第

三边求出x的取值范围，然后选择即可.

【详解】

由题意得，2x+y=10,

所以，y=-2x+10,

由三角形的三边关系得，（遨，

解不等式①得，x>2.5,

解不等式②的，x<5,

所以，不等式组的解集是2.5VXV5,

正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象.

故选：D.

3、C

【解析】

根据绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，1的绝对值是1.若卜a|=・a,则可

求得a的取值范围.注意1的相反数是1.

【详解】

因为卜a|多,

所以

那么a的取值范围是吆1.

故选C.

【点睛】

绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，1的绝对值是L

4、D

【解析】

先利用互余计算出NFDB=28。，再根据平行线的性质得NCBD=NFDB=28。，接着根据折叠的性质得

ZFBD=ZCBD=28°,然后利用三角形外角性质计算NDFE的度数.

【详解】

解；・・・匹边形ABCD为矩形，

AAD/ZBC,ZADC=90°,

VZFDB=90o-ZBDC=90°-62o=28°,

VAD/7BC,

.\ZCBD=ZFDB=28°,

•・,矩形ABCD沿对角线BD折叠，

/.ZFBD=ZCBD=28",

:.ZDFE=ZFBD+ZFDB=28°+28°=56°.

故选D.

【点睛】

本题考杳了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.

5、A

【解析】

根据同分母分式的加减运算法则计算可得.

【详解】

x+2-2x

原式=-------=—=1»

xx

故选：A.

【点睛】

本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则.

6、D

【解析】

根据合并同类项的法则，积的乘方，完全平方公式，同底数塞的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

解：A、2x-x=x,错误；

B、x2*xW,错误；

C、(m-n)2=m2-2mn+n2,错误；

D、(-xy3P=x2y6,正确；

故选I).

【点睛】

考杳了整式的运算能力，对于相关的整式运算法则要求学生很熟练，才能正确求出结果.

7、B

【解析】

试题解析：如图所示:

分两种情况进行讨论：

当〃>()时，抛物线)，=加经过点A(],2)时，〃=2,抛物线的开口最小，。取得最大值2.抛物线尸♦经过ZMBC

区域(包括边界)，。的取值范围是：0<。42.

当”0时，抛物线)，=依2经过点时，。=-1，抛物线的开口最小，〃取得最小值T.抛物线y=ad经过

△A8c区域(包括边界)，。的取值范围是：一1工4<0.

故选B.

点睛：二次函数)，=加+〃尢+《。工0),二次项系数。决定了抛物线开口的方向和开口的大小，

。>0,开口向上，开口向下.

时的绝对值越大，开口越小.

8、C

【解析】

根据同底数嘉的除法法则：底数不变，指数相减；同底数第的乘法法则：同底数基相乘，底数不变，指数相加；鼎的

乘方法见：底数不变，指数相乘进行计算即可.

【详解】

A.a+3a=4a,错误；

B.分和。不是同类项，不能合并，故此选项错误；

C.(a2)2=«4,正确；

26

D.a^a=at错误.

故选c.

【点睛】

本题主要考查了同底数幕的乘除法，以及嘉的乘方，关键是正确掌握计算法则.

9、B

【解析】

先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式，然后将所得解

析式绕着原点旋转180。即可得到直线1.

【详解】

解:设直线AB的解析式为y=mx+n.

VA(-2,0),B(0,1),

解得，二=2'

・,・直线AB的解析式为y=2x+l.

将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y=2(x-1)+1,即y=2x+2,

再将y=2x+2绕着原点旋转180。后得到的解析式为-y=-2x+2,即y=2x-2,

所以直线1的表达式是y=2x-2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键.

10、A

【解析】

根据一兀二次方程的定义可得m-1/0,再解即可.

【详解】

由题意得：m-1#0,

解得：m#l,

故选A.

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元

二次方程.

11、D

【解析】

连接CO,由直径AB平分弦CD及垂径定理知NCOB=NDOB,则NA与NCOB互余，由圆周角定理知NA=30。,

ZC()F2=6O°,则NOCE=30",设OE=x，则CO=2x,利用勾股定理即可求出x,再求出BE即可.

【详解】

连接CO,平分CD,

AZCOB=ZDOB,AB±CD,CE=DE=273

VNA与NDOB互余，

AZA+ZCOB=90°,

又NCOB=2NA,

/.ZA=3D°,ZCOE=60°,

/.ZOCE=300,

设0七=、厕CO=2x,

/.CO2=OE2+CE2

即(2x户=X2+(2J5)2

解得x=2,

/.BO=CO=4,

ABE=CO-OE=2.

故选D.

【点睛】

此题主要考查圆内的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.

12、A

【解析】

分析：作OHd_BC于H,首先证明NBOC=120,在RSBOH中，BH=OB*sin600=lx,即可推出BC=2BH=8，

2

详解：作OHJLBC于H.

VZBOC=2ZBAC,ZBOC+ZBAC=180°,

AZBOC=120°,

VOH1BC,OB=OC,

ABH=HC,ZBOH=ZHOC=60°,

在RSBOH中，BH=OB-sin60°=lx

22

/.BC=2BH=V3.

故选A.

点睛：本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、>

【解析】

试题解析：:JidvJ万

A4<Vi7.

考点：实数的大小比较.

【详解】

请在此输入详解！

14、66

【解析】

根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理及等边三角形的性质解答即可.

【详解】

如图所示，OB=OA=6,

VAABC是正三角形，

由于正三角形的中心就是圆的圆心，

且正三角形三线合一，

所以BO是NABC的平分线；

ZOBD=60yx-=30°,

2

BD=cos30°x6=6x=3J3；

2

根据垂径定理，BC=2xBD=66，

故答案为66.

【点睛】

本题主要考查了正多边形和圆，正三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键，根据圆的内接正三角形

的特点，求出内心到每个顶点的距离，可求出内接正三角形的边长.

15、2(x+1)2<>

【解析】

试题解析：原式=2(x2+2x+l)=2(x+1)2.

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

16、(2,-3)

【解析】

根据：对于抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k).

【详解】

抛物线y=(X-2)2-3的顶点坐标是(2,-3).

故答案为(2,-3)

【点睛】

本题考核知识点：抛物线的顶点,解题关键点：熟记求抛物线顶点坐标的公式.

17、15

【解析】

根据圆的基本性质得出四边形OABC为菱形，NAOB=60。,然后根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系得出答案.

【详解】

解：・；OABC为平行四边形，OA=OC=OB,

二四边形OABC为菱形，ZAOB=60°,

VOD1AB,

/.ZBOD=3()°,

/.ZBAD=30o-r2=15".

故答案为：15.

【点睛】

本题主要考查的是圆的基本性质问题，属于基础题型.根据题意得出四边形OABC为菱形是解题的关键.

18、1.

【解析】

先根据反比例函数比例系数k的几何意义得到SAOB£=SOB0=S°B&=g|k|=gk,再根据相似三角形的面积比等

49

于相似比的平方，得到用含k的代数式表示3个阴影部分的面积之和，然后根据三个阴影部分的面积之和为一，列

出方程，解方程即可求出k的值.

【详解】

解：根据题意可知,SAOB(C1=SOBA=SQBG=：Ik|=;k

乙J

'：OA^=44=AzA,aq//4纥〃4氏//》轴，

设图中阴影部分的面积从左向右依次为5,,S2,S3,

则4=小，

2

OB2C2=I:4S：S053C3=I：9

■,S^=-k.S.=—k

8318

1I,1,49

..—k7T-kTk=—

281818

解得：k=2.

故答案为1.

考点：反比例函数综合题.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可.

易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半.

20、(1)1;(2)-

6

【解析】

（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据从中任意摸出一个球是红球的概率为:和概率公式列出方程，解方程即可求

2

得答案；（2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公

式即可求得答案;

【详解】

解：（1）设口袋中黄球的个数为“个,

?1

根据题意得：一=—=-

2+14-x2

解得：x=l

经检验：X=1是原分式方程的解

・•・口袋中黄球的个数为1个

（2）画树状图得：

开始

红蓝黄红蓝黄红红黄仃红蓝

••,共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况

・••两次摸出都是红球的概率为：4=--

126

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法

适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.

1313

21、(1)y=一一x2+-X+2；(1)—,E(1,1)；(3)存在,P点坐标可以为(1+J7,5)或(3,5).

222

【解析】

(1)设B(XI,5),由已知条件得之上=],进而得到B(2,5).又由对称轴一々求得b.最终得到抛物线解析

222xa

式.

113

(1)先求出直线BC的解析式，再设E(m,=----m+1.),F(m,-----m1+—m+1.)

222

求得FE的值，得到SACBF-m'+Zm.又由S四边形CDBF=SACBF+SACDB»得S四边形CDBF最大值，最终得到E点坐标.

13

(3)设N点为(n,--n^-n+l),l<n<2.过N作NOJ_x轴于点P,得PG=n-l.

22

又由直角三角形的判定，得△ABC为直角三角形，由AABCs/iGNP,得n=l+5或n=l-&(舍去)，求得P

nrPG

点坐标.又由AABCS/\GNP,且——=——时，

OBNP

得n=3或n=-2(舍去).求得P点坐标.

【详解】

解：(1)设B(xi,5).由A(・1,5),对称轴直线x=°.

2

•—1+_3

••—―

22

解得，xi=2.

AB(2,5).

b二3

又丁2x(-1)2

/.b=-.

2

・••抛物线解析式为¥=-：/+白龙+2,

(1)如图1,

图1

VB(2,5),C(5,1).

，直线BC的解析式为y=-yx+1.

113

由E在直线BC上，则设E(m,=--m+1.),F(m,-

222

1311

.*.FE=----m4—m+1-(-----n+1)=-----m'+lm.

2222

1

由SACBF=—EFeOB,

2

**»SACBF=—(~—m,+lm)x2=-m+2m.

22

1135

又•；SACDB=-BD*OC=-x(2--)xl=一

2222

AS四边形CDBF=SACBF+SACDB=-m,+2m+—.

2

13

化为顶点式得，S四边形CDSF=-(m-1)'+—•

2

、13

当m=l时,S四边形CDBF最大,为——・

2

此时，E点坐标为(1,1).

(3)存在.

图2

]3

由线段FG绕点G顺时针旋转一个角a(5。<(/<95。)，设N(n,--n'+-n+l),l<n<2.

22

过N作NO_Lx轴于点P(n,5).

.1.3

.\NP=--n'+-n+l,PG=n-1.

22

又「在RtAAOC中，AC,=OA,+OC1=l+2=5,在R3BOC中，BC,=OB,+OC,=16+2=15.

AB-5.

AAC^BC^AB1.

•••△ABC为直角三角形.

当AABCs/iGNP,且而=/-时，

136

g—〃2—〃+2

即nn，2:22

4n-2

整理得，n*-In-6=5.

解得，n=l+V7或n=l-币（舍去）.

此时P点坐标为(1+近，5).

nr

当AABCs/iGNP,且一=—时,

OBNP

2n-2

即，41，3"

一一n~+-n+2

22

整理得，n'+n-11=5.

解得，n=3或n=・2(舍去).

此时P点坐标为(3,5).

综上所述，满足题意的P点坐标可以为，(1+",5),(3,5).

【点睛】

本题考查求抛物线，三角形的性质和面积的求法，直角三角形的判定，以及三角形相似的性质，属于较难题.

x=2

、

22卜=-1

【解析】

解：由①得=③

把③代入②得瞪+宓-等=胭

把】二T代人③得

・,•原方程组的解为3=2

[y=-1

I/、2

23、(1)"?<一；(2)m=----.

23

【解析】

(1)根据已知和根的判别式得出△=22・4xlx2m=4・8m>0,求出不等式的解集即可：

(2)根据根与系数的关系得出Xi+X2=-2,xi*X2=2m,把XI+XXII2+X22-xiX2=8变形为(xi+xi)2-3XIX2=8,代入求出

即可.

【详解】

(1)•・•关于X的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，

/.△=22-4xlx2m=4-8m>0,

解得：〃!•—

2

即m的取值范围是〃2--

2

(2)Vxi,X2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，

:.x1+X2=-2,xpX2=2m,

VX|2+X22-X1X2=8,

:.(X1+X2)2-3X|X2=8,

:.(-2)2-3x2m=8,

,2

解得：m=

3

【点睛】

本题考杳了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式的内容和根与系数的关系的内容是解此题的关键.

24、问题拓展：(x・a)*+(y-b)1二P综合应用：①见解析②点Q的坐标为(4,3),方程为(x-4)»+(y-3),=15.

【解析】

试题分析：问题拓展：设A(x,y)为OP上任意一点，则有AP=r,根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出。P

的方程；

综合应用：①由PO=PA,PD_LOA可得NOPD=NAPD,从而可证到△POBgZiPAB,则有NPOB=NPAB.由。P

与x轴相切于原点O可得NPOB=90。，即可得到NPAB=90。，由此可得AB是。P的切线；

②当点Q在线段BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ.易证

ZOBP=ZPOA,则有tanZOBP==.由P点坐标可求出OP、OB.过点Q作QHJLOB于H,易证△BHQ^ABOP,

根据相似三角形的性质可求出QH、BH,进而求出OH,就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决

问题.

试题解析：解：问题拓展：设A(x,y)为。P上任意一点，

VP(a,b),半径为r,

/.AP*=(x-a),+(y-b)^r1.

故答案为(x-a)耳(y-b)^r1；

综合应用：

@VPO=PA,PD±OA,

AZOPD=ZAPD.

在^POB和△PAB中,

.,.△POB^APAB,

AZPOB=ZPAB.

•・・OP与x轴相切于原点O,

/.ZPOB=90°,

AZPAB=90°,

・・・AB是。P的切线；

②存在到四点O,P,A