抢分通关05 几何作图问题（含无刻度作图2易错12题型）-2024年中考数学抢分秘籍（解析版）

抢分通关05几何作图问题（含无刻度作图）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

中考预测

几何作图题分尺规作图和无刻度作图，是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有

一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，尺规作图是几何作图的基础，也是高频考点、必考点，所以必须熟练尺规作图，而

无刻度作图是近几年的新考法，有几个省市着重考查此类题型。

2.从题型角度看，以解答题的第三题或第四题为主，分值8分左右，着实不少！

误区点拨

易错点一由作角平分线过程求解

【例1】（2024•湖南怀化•一模）如图，以直角.A8C的一个锐角的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别

交直角边AB于点。,交斜边4C于点E,再分别以点。，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于

s

点凡作射线"'交边BC于点G,若A8=3,8C=4,用S.C表示幺8c的面积（其它同理），则产•=

【答案】B

【分析】本题考查了角平分线的性质定理和尺规作图，勾股定理等知识，解答时过点6作6"_14。于点H,

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SAB

得到8G=G"，再由勾股定理求出AC,再推出三匹ARr二工不，则问题可解

»ACGAC

【详解】解：如图，过点G作GH_LAC于点〃，

由尺规作图可知，AG为N6AC平分线,

团？B90?,

团BG=GH,

(3?B90?,AB=3,BC=4,

^AC=ylAB2+BC2=732+42=5-

c—AB•BG.o?

向sABG_2_A8_3

SKG-ACGHac4

2

故选:B.

易错点拨

本题考查了角平分线的性质定理和尺规作图，勾股定理等知识.

【例2】（2024・湖南常德•一模）如图，已知408=40。，以点。为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交。4,

。8于点M,N,再分别以点用，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP,

过点产作PQ〃OK交04于点Q,则NOPQ的度数是度.

【分析】本题考查了角平分线的作法，平行线的性质；角平分线的作法得0P平分/AO3,再由平行线的

性质，即可求解；理解角平分线的作法是解题的关键.

【详解】解：由作法得：

0P平分NA08,

ZBOP=-ZAOB=20°,

2

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.PQ//OB,

NOPQ=NBOP=20。,

故答案：20.

【例3】（2024•江苏淮安•一模）如图，YA8CQ中，AB=10,BC=7,进行如下操作：①以点A为圆心,

任意长为半径作弧，分别交A。、A8于M、N两点；②分别以点M、N为圆心，以适当的长度为半径作弧，

两弧交于点P;③作射线A尸交。。于点石，则CE的长为.

【答案】3

【分析】本题主要考查了尺规作图一一作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边等，根据角平分线的定

义以及平行四边形的性质，即可得到OE,的长，进而得到CE的长.理解并掌握相关图形的性质是解

次问题的关键.

【详解】解：由题意可知，AE1平分NB4O，

同四边形ABC。是平行四边形，

团人BCD,AB=CD=10,AD=8C=7,

团ND"=N£44，

0ZDE4=ZZME,

回AD=DE=7»

⑦CE=CD-DE=3,

故答案为：3.

易错点二由作垂直平分线过程求解

【例I】（2024•浙江嘉兴•一模）如图所示的&A8C,进行以下操作：①以4,8为圆心，大于g48为半径

作圆弧，相交点。，E；②以4,C为圆心，大于（AC为半径作圆弧，相交于点F,G.两直线OE,也相

交干心ABC外一点P,且分别交8C点M,N.若NM4N=5O。，则NMPN等于（）

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D

C.70°D.75°

【答案】B

【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌根据垂直平分

线的性质得=NA=NC.进而可得=NC=/C4N,求出/B4C=115。，再由四边

形内角和求出NMPN=65°即可.

【详解】解：由作图步骤可得OE为线段A4的垂直平分线，GF为线段AC的垂直平分线，

=NA=NC,

=NC=NCAN,

团/胡C=/MW+（/RAM+NOW）=/MW+（N5+NC）,

又BNBAC=180。一（N8+NC）

*加。=；（180。+/加人%）=3（180。+50。）=115。，

0NMPN+^BAC+90。+90。=360°

团NMPN=65。,

故选：B.

本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌根据垂宜平分线的

性质.

【例2】（2024•广东珠海•一模）如图，在54C中，AB>AC,按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心,

大于NC一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点M和点N,作直线MV交AK于点£）,连接若入区=8.

AC=4,则AAC。的周长为（）

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【答案】。

【分析】此题主要考杳了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段

两端点的距离相等.根据作图可得MN是5c的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得8=04,然

后可得4）+8=8,进而可得▲AC。的周长.

【详解】解：根据作图可得MN是8c的垂直平分线，

团MN是BC的垂直平分线，

⑦CD=DB,

团AB=8,

团CD+AD=8,

国」48的周长为：4+832,

故选：

【例3】（2024•吉林四平•模拟预测）如图，在一A8C中，ZB=40°,ZC=50°,通过观察尺规作图的痕迹,

可以求得Z.DAE=.

【答案】25。/25度

【分析】本题主要考杳线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握

线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键.

由题可得，直线。尸是线段A8的垂直.平分线，AE•为ND4C的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角

平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：由题可得，直线OF是线段A3的垂直平分线，AE为N7MC的平分线，

^AD=BDtZDAE=ZCAE,

0Zfi=ZBAD=4O°,

0ZADC=N8+/BAD=80°,

0ZC=5O°,

0ZDAC=180°-80°-50°=50°,

0ZDAE=ZCAE=-ZDAC=25°,

2

故答案为：25°.

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•（抢分通关

题型一尺规作角平分线

典例精讲二

【例1】（2024•陕西渭南•一模）如图，己知/8C,请用直尺和圆规在图中作菱形8。砂，要求点。、E、

厂分别在边8。、4c和A4上（不写作法，保留作图痕迹）.

【分析】先作NA8C的平分线BE,再作座的垂直平分线得到OF,则四边形8。四为菱形；大题考查了作

图-复杂作图：解决此类题目的关健是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解

成基本作图，逐步操作.也考查了菱形的判定与性质.

【详解】解：如图：

菱形比）EE为如图所示：

通关指导

本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基

本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了菱形的判定与性质.

【例2】（2024•广东茂名•一模）如图，已知一CA-CB,是的一个外角.

⑴请用尺规作图法，求作射线”，使CP平分/4CO.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）证明：CP〃AB.

【答案】（1）见解析

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（2）见解析

【分析】木题考查了角平分线的尺规作图以及平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关犍.

（I）以C为圆心，任意长为半径画弧交AC和C。于点M和M再以点M和N为圆心，大于MN的一半为

半径画弧，两弧交于一点P，连接CP,即可作答.

（2）因为C4=C3,得=根据外角性质，得NA+N43C=NACD=2N4CP,根据内错角相等

两直线平行，即可作答.

【详解】（1）解：如图所示：

(2)解：0C4=CB,

回N4=NA4C.

0Z4+Z4BC=2ZA=ZACO,CP平分/4C£).

0ZACP=ZDPC,ZACP+ZDPC=2ZACP=ZACD.

(DZ4=ZACP.

^CP//AB.

名校模拟

--...d

1.（2024•四川达州•模拟预测）如图，在心ABC中，ZACB=90°.

⑴利用尺规作图，在边上求作一点P,使得点〃到人4的距离等于PC的长;

（2）若NC43=60。，AC=3,求点P到AB的距离？

【答案】⑴见解析

⑵万

【分析】本题主要考瓷了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角

形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键；

（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点〃在/8AC的角平分线上，据此作出/84C的角

平分线与5c交广点。即可；

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（2）根据角平分线的性质只需要求出。尸的长，利用含30度角的直角三角形的性质分析求解.

【详解】（1）解：如图，点，即为所求，

（2）解：过点P作尸于O,

由题意得，平分/84C,

团NC45=60。，AC=3,

团NC4~=NB4Q=30。，

在RiAAPC中，ZC=90°,ZC4P=30°,

0CP=—AC=V3,

3

0CP=DP=>/3，

回点P至I]AB的距离为

2.（2024•湖南长沙•三模）已知：如图，点用在/AOB的边。4上.小樱根据要求进行尺规作图，请你依据

小樱的作图痕迹回答下列问题.

⑴填空：由作图可知，射线OP是/AO8的:

⑵以点M为圆心、长为半径画弧，交射线OP于点N,连接试判断MN与08的位置关系并说明

理由.

【答案】（1）角平分线

{2]MN〃OB,理由见解析

【分析】

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本题考查尺规作图-作角平分线，等腰三角形的性质，平行线的判定.

（1）根据作图可知：射线0P是ZAO3的角平分线；

（2）根据作图可知OM=MN,得到/MON=/MNO,进而推出NMN0=NN04,即可得出结论.

【详解】（1）解：由作图可知，射线OP是NAO3的角平分线；

故答案为：角平分线；

（2）MN〃0B,理由如下：

由作图可知：OM=MN,

团NMON=NMNO,

团OP是N4O5的角平分线，

^ZMON=£NOB,

EZMNO=ZNOB，

//OB.

题型二尺规作垂直平分线

典例精讲二

【例1】（2024•江苏宿迁•一模）如图,已知YABCO.

⑴尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交A。于点E,交BC于点、F；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）连接心、CE.求证：四边形AEC产是菱形.

【答案】（1）作图见详解

⑵证明见详解

【分析】本题主要考杳平行四边形的判定和性度，垂宜平分线的画法，掌握平行四边形的判定和性质，葬

形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键.

（1）根据垂直平分线的画法即可求解；

（2）根据平行四边形的性质可证比,CO产，可得A£=CF,可证四边形4EC户是平行四边形，再结

合垂直平分线的性质可得AE=CE,由"一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求证.

【详解】（1）解：分别以点AC为圆心，以大于;AC为半径画瓠，交于点M,N,连接交ADF点E,

交BC于点F,如图所示，

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0EF是对角浅AC的垂直平分线：

（2）解.：如图所示，连接ARCE,设E尸与AC交于点。,

团四边形A8CZ）是平行四边形，

团4。BC,OA=OC,

团4ECF,

团ZE4O=NfCO,且ZAOE=NCQb,

在“OE,一COE中，

NEAO=NCOF

<OA=OC,

ZAOE=NCOF

^^AOE^COF（ASA）,

0AE—CF,

回四边形AEB是平行四边形，

团即是AC的垂直平分线，

团AE=CE,

□平行四边形4比户是菱形.

通关指导

本题主要考查平行四边形的判定和性质，垂直平分线的画法，掌握平行四边形的判定和性质，菱

形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键.

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名校模拟

1.（2024・山西吕梁•一模）如图，在Rt448C中，ZBAC=90°.

⑴实践与操作：过点A作三角形BC边上的高AO（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）.

（2）计算：在（I）的条件下，若4B=2,ZC=30°,求人。的长

【答案】（1）见解析

⑵行

【分析】本题考查了尺规作图，含30。的直角三角形的性质，勾股定理，掌握30。对的直角边是斜边的一半

是解题的关键；

（1）根据尺规作图作垂线的方法作图即可；

（2）由含30。的岂角三角形的性质，可求出4c=24?=4,再由勾股定理求出AC=2>/L再由含30。的直角

三角形的性质求解即可；

8c=2A3=4,

在中，AC=yjBC2-AB2=>/42-22=273-

A。是边上的高，

ZADC=90°,

AD=-AC=>/3,

2

题型三网格中有一线的无刻度作图

典例精讲

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【例1］（新考法，拓视野）（2024•吉林松原•一模）图①、图②均是5x5的正方形网格，小正方形的边长

均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段48的端点均在格点上.在图①、图②中，只用无刻度的直

尺，在给定的网格中，按下列要求作图.

⑴线段4B的长为；

⑵在图①中，以线段AB为腰画一个等腰钝角三角形48C；

⑶在图②中，以线段A3为边画一个轴对称四边形A8EP,使其面积为8.

【答案】（1）加

⑵如图所示

⑶如图所示

【分析】

本题考查作图-对称变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结

合的思想解决问题.

（1）利用勾股定理即可求解；

（2）取格点C,使得A〃=3C,且NABC>90。，连接AC即可；

（3）取格点£/，使得A8=3E=E/=A产，且=尸=2立，构成菱形4?砂，菱形面积为8,且

为一个轴对称图形，即可得解.

【详解】（I）解：AB=>/l24-32=x/l0»

故答案为：\/l（）；

（2）解:如图，等腰”3C如图所示;

（3）解：如图，四边形如图所示，

JAB=BE=EF=AF,

••・四边形A9犷为菱形，即为轴对称图形,

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AE=A/42+42=4X/2,BF=V22+22=2应,

通关指导

本题考查作图-对称变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利

用数形结合的思想解决问题.

【例2】（2023•吉林长春•一模）如图，在10x10的正方形网格中（每个正方形的边长为1）,点A和点夕都

⑵图②中，以A、8为顶点作一个平行四边形，要求顶点都在格点.匕且其面积为10：

（3）图③中，以4、8为顶点作一个平行四边形（正方形除外），要求顶点都在格点上，且其面积为13.

【答案】⑴见解析；

（2）见解析；

⑶见解析；

【分析】

本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法.

（1）利用数形结合的射线画出平行四边形A8c。；

（2）利用数形结合的思想画出平行四边形A6CQ；

（3）利用数形结合的思想画出平行四边形AC8O.

【详解】（1）如图1中，平行四边形A3C。即为所求；

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(2)如图2中，平行四边形A8S即为所求;

(3)如图3中，平行四边形ACE。即为所求.

1.(2024•河南•一模)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1.

图I图2

⑴在图I中作等腰.工8C,满足条件的格点C有个，请在图中画出其中一个SBC.

⑵在图2中，只用一把无刻度直尺，在线段A8上求作一点。，使得4)=23。，并保留作图痕迹.

【答案】⑴4,见解析

(2)见解析

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【分析】

本题考杳无刻度直尺作图，等腰三角形的判定与性质；

（1）分别以A、B为圆心，A3长为直径画圆以及画A〃的垂直平分线，找到与格点的交点即为所求;

（2）构造相似比为2的两个相似三角形即可.

【详解】（1）当以48为底边时，点。应在线段A8的中垂线.匕拈•然易找出点C,如图1、图2；

图4

故答案为：4；

（2）如图5,。即为所求作的点.

提示：©AN〃BM,

^△人。2与_以加相似.

又RAN=28M,

©AD=2BD.

题型四网格中有一三角形的无刻度作图

典例精讲二

［例1］（新考法，拓视野）（2024•吉林长春•模拟预测）如图，在6x5的正方形网格中，每个小正方形的顶

点称为格点，48、C、。、P均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，保留作

图痕迹.

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图②

⑴如图①，。是.ABC内一点，在AC上找一点E,使PEAB；

(2)如图②，在线段上找到点?，连结使AABE的面积为3；

(3)如图③，在线段。。上找到点G,连结4G、BG,使二ABG的面积为3.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题考查格点作图，平行四边形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，熟练掌握

相关图形的性质是解决问题的关键.

(1)取格点Q,连接PQ,交AC于E,点E即为所求；

(2)取格点N,连接MN交8C于尸，点尸即为所求：

(3)取格点N,连接MN交CO『G,连接AG,BG,点G即为所求.

【详解】(1)解：如图，取格点。，连接PQ,交AC于E,

由勾股定理可得4Q=8P=夜，AB=PQ=M,

回四边形AB尸Q是平行四边形，

^PQ//AB,则尸EAB,

即：点E为所求；

(2).工8c的面积=3x3—1xlx3-；x1x3—gx2x2=4,

如图，取格点M，N,连接MN交BC于尸，

由图可知，MC//BN,则NFBN=NFCM,4FNB=4FMC、

⑦ABFNsACFM,

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BF3

0一=

BC4

即：点尸即为所求;

（3）如图，取格点”，N,连接MN交CD于G,连接AG,BG,

由图可知，&皿=；乂3乂2=3,AR=MN=&BN=AM=2五,

则四边形ABNM是平行四边形,

^MN//AB,

即：点G即为所求.

通关指导

本题考查格点作图，平行四边形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，熟练掌握

相关图形的性质是解决问题的关键.

【例2】（2024•湖北武汉•一模）如图是由小正方形组成的（8x8网格，每个小正方形的顶点叫做格点.A,日

。三点是格点，点。在8c上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.

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⑴在图1中，画YA3CQ,再在人。上圆点E,使得。石=8。；

（2）在图2中，画出线段AP的中点M,然后在AC上画一点忆使P/_LAC.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】

本题考查格点作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质.

（1）根据平行四边形的性质，取格点。，连接AO,使得AO=BCAO〃8C,再连接CD,然后连接B。，

交AC与一点，连接点P于这一点，并延长交4。于点£则YABC。，点E即为所求；

（2）取格点S,7,连接订交AC于点G,利用格点再取45的中点。，连接GQ交AP于点M；再取格点R,

连接CR,使得CR=8C,连接/次，交AC与点于点。，连接8。并延长交CR于点Z,最后连接所交AC于

点F,点M,点尸即为所求.

【详解】（1）解：如图所示，Y八BCQ,点E即为所求；

（2）

解：点M,点尸即为所求.

名校模拟

........二.........

1.（2024•江西南昌••模）如图是7x6的正方形网格，已知格点ABC（顶点在小正方形顶点处的三角形称

为格点三角形），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法）.

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(1)图1中，在A8边上找一点。，作线段CQ，使得5八8=：5,腔；

3

(2)图2中，在A8边上找一点E,作线段CE,使得5二8二，5-

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】

本题考查作图一应用与设计作图、三角形的面积、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活

运用所学知识解决问题.

(1)取线段的中点。，连接C。，则点。即为所求.

(2)取格点M,N,使4W:m=3:2,H.AM//BN,连接MV,交于点E,连接CE,则点E即为所

求.

【详解】(1)

解：如图1,取线段AB的中点。，连接CO,

图1

则得^MCD=5S,sBC，

则点。即为所求：

(2)

解：如图2,取格点M,N,使A8V=3:2,且AM〃及V,

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连接MN,交A8卜点E,连接CE，

PlljAAA/£^A^E.

AEAM3

则nil一=——二一，

BEBN2

S^CE•S.WE=3:2

则点E即为所求.

2.（2024•浙江温州•一模）如图的网格中，/SC的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1.仅用无

刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图.（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果

图1

⑴请在图1中画出ABC的高BD.

⑵请在图2中在线段上找一点E,使AE=3.

符合条件的图形.

（1）取格点”、N,连接MN交AC于点。，连接B。，线段即为所求;

（2）取格点P、Q,连接夕。交点E就是所求的点.

【详解】（1）解：取格点〃、N,连接MN交AC于点。，连接8。，如图:

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04C=BC,

团四边形AMCN是矩形,

团。为AC中点,

回8D为.A8C的高.

（2）解：取格点P、Q,连接PQ交4B于E,如图:

由图可得，四边形ACQP是平行四边形,

团人C〃PQ,

CQAE

0-~=，

CBAB

团CQ=3,CB=5,48=5,

3AE

0-=一，

55

团AE=3,

回点E就是所求的点.

题型五网格中有四边形的无刻度作图

典例精讲J

【例I】（新考法，拓视野）（2024•湖北武汉•一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形A5CQ的顶点都

在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用

实线表示.

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(1)在图1中，先以点A为位似中心，将四边形A8CD缩小为原来的画出缩小后的四边形再在

A8上网点使得。七平分四边形A8CO的周长；

(2)在图2中，先在A8上画点尸，使得C〃=4C,再分别在A。，48上画点M,N,使得四边形4cMz是

平行四边形.

【答案】(1)见详解

⑵见详解

【分析】(I)取AH、AC,人。的口点与、CP。「然后顺次连接即可；根据勾股定理可得A8=5,

AD=CD=2母,结合图形可知BC=3,故A3+8C=8,取格点尸，使得依=A3=5,则有可尸=ZB融，

连接AP，再取点Q，连接CQ,此时可有AC=P4=4,AC//PB,即四边形APQC为平行四边形，则有

CQ//AP,易得NBQE=NBPA,NBEQ=NBAP,所以/8EQ=/8QE,易得BE=BQ=T,连接OE,则

平分四边形A8CD的周长；

(2)取格点G,H,J,使得CG=3,G〃=4,印=3,连接G/交A8于"，易证明A8C0G/”，所

以NHG/=NC4B,结合N8+NC$=90。,可得NG+NB=90°,即a5G/为宜角三角形，因为CG=BC=3,

根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半〃，可得b=BC：在网格中取点K,连接CK交4。于点M,

则CK〃A4,过点、M作MN〃BC,交AR为点N,即可获得答案.

【详解】(1)解：如下图，四边形线段OE即为所求；

：…FTZ)FT

(2)如下图，C",四边形6cMV即为所求.

第22页共57页

通关指导

本题主要考查了尺规作图一复杂作图、位似图形、勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练学

握尺规作图的常见作法是解题关键.

名校模拟

1.（2023•吉林长春・三模）如图①，图②均是6x6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.Y48c力的

顶点均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图.

⑴在图①中的线段上找一点E,连接AE,使一人做为等腰三角形.

（2）在图②中的线段上找一点尸，连接月凡使AAB/为直角三角形.

【答案】（1）答案见解析

⑵答案见解析

【分析】（1）因为石为等腰三角形，所以有筋=8石，因为直尺没有刻度无法直接截取，只能考虑相似

三角形对应成比例的办法找到4七=人〃=3；在格点上取点Q,连接A。并延长交〃。于石，则E点为所找的

ABBP3Rp3S

点，连接AE即可；根据：如图中弘〃有年="；,即：：=丁，求得82=：；，则POMBD-PBU、

AFQF4222

乂AD〃BC而空=塔,根据勾股定理求得4）=5,可得出三=:《，从而得到BE=3

BEBlBE22

（2）①当48为直角边时，尸点应该和。点重合，直接连接8。即可.

②当AB为斜边时，如图尸为AD与网格线的交点，连接A尸，则此时AAB/为直角三角形.

FGAFAG154

根据：由阳〃如可得：音=而=等=葭可分别求出A尸=*FG=］；根据勾股定理求得：

B尸=FG2+BG2若，有A产+犷=AB?,可得到ZXAM为直角三角形.

【洋解】（1）解：如图所示，即为所求；

第23页共57页

（2）解：如图所示，/有两种可能，①《与。点重合；②K为A。与网格线的交点.

【点睛】本题考查了作图一应用与设计作图、平行线分线段成比例、勾股定理等知识，找到对应线段成比例

是求解本题的关键.

题型七特殊图形中的无刻度作图

典例精讲」

【例I】（新考法,拓视野）（2023•湖北省直辖县级单位•模拟预测）如图，在A8C和△A8O中，ZC=ZD=90°,

AD=BC,AO与8。相交于点O,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.（保留作图痕迹）

图I图2

⑴如图I,作线段八8的垂直平分线；

（2）如图2,在。4,08上分别取点M,N,使得

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）先证明A次*,BAD得到N43£>=N3AC,ZABC=ZBADt所以04=05,延长AC、BD,

它们相交于P点，则PA=PA，所以P。垂直平分A8；

（2）的垂直平分线交AB于Q,连接CQ交。4于M,连接。。交08于汽点，先证明NOCM=NODM,

则可判断,OCW0IODV,所以。W=ON,由于04=03,则可证明NOMN=NQ44,所以

【详解】（1）解：如图,延长AC、AO.它们相交干。点,则宜线PO即为所作.

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（2）解：如图，A8的垂直平分线交A8于。，连接CQ交0A于M,连接。。交。8于N点，则MN为所

通关指导

本题考查了作图一复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的

基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线

的性质.

【例2】（2023•江西•一模）如图，四边形中，BC//AD,BC=2AD,AB=CD,请用无刻度的直尺

按要求画图（不写做法，保留作图痕迹）.

⑴在图I中，画出8c的中点E.

（2）在图2中,画出AB的中点尸.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

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【分析】（1）延长胡、C。，它们相交于点G,连接4C、8D,它们相交于点O,连接GO并延长交8。于

E点、

（2）连接AE交8DFP点，连接OE交AC于N点，然后延长PN交C。干尸点，则尸点为8的中点.

【详解】（1）如图，E点为所求.

（2）如图，尸点为所求.

【点睛】本题考查了作图一一复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的

基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了中位线的性质和线段垂直平分线的性质.

名校模拟

1.（2023•江西南昌•二模）如图，在两个等腰直角ABC和△C&'中，Z/V?C=NCE/=90。，点“是CE的中

点.请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）.

⑵如图②，在线段律上找出一点，，使四边形A&汨为平行四边形.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）延长A8交CEFG,连接A£，可得一A8E为等腰直角三角形，进而可得AE〃。尸，由题易

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得AB〃EF,故四边形AEAG为平行四边形：

（2）可利平行四边形的对角线互相平分，得到EG的中点，而6是AG的中点故得中位线，平行于AE,交

"于〃即可解答.

【详解】（1）解：延长A3交CE于G,连接AE,四边形AE/P为平行四边形，即所求作四边形：

（2）解：如图2所示，四边形38即为所求.

解法一：在（1）的基础上连接W、EG交于一点得平行四边形中心，连接B和平行四边形中心并延长交防

于"点，四边形码8即为所求.

解法二：在（1）的基础卜连接公、、EC交千二点：得△£门"二角形的重心,连接C和人"'尸二角形的重心

并延长交点，四边形Aa出即为所求.

图2

【点睛】本题考查了用无刻度的直尺作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结台几何图

形的基本性质把构造中点或平行线段，逐步操作.同时也考查了平行四边形的判定和性质.

题型七平行四边形中的无刻度作图

典例精讲』

【例1】（新考法，拓视野）（2023•湖北省直辖县级单位•模拟预测）如图，四边形A8C。为平行四边形，E

为A。的中点，仅用无刻度的直尺作图：

⑴在8C上取点M,使四边形AI3ME为平行四边形;

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⑵在C。的延长线上取一点F，使四边形3。勿为平行四边形.

【答案】（1）见详解

（2）见详解

【分析】（1）连接AC,交8。于点。，连接E0并延长交8C于点M,则点M即为所求，因为四边形A8C。

为平行四边形，则AE〃8W,又因为£为4。的中点，。为B0的中点，所以。石BA,即EM〃然，所

以四边形石为平行四边形；

（2）连接的并延长交。。的延长线于点八连接存，则点/；即为所求，因为四边形ABCO为平行四边形，

则EC〃AB,所以N4跳;二ND在，又因为E为A。的中点，所以A£=O£,且NAE8=NOEF,所以

△ABE^ADFE（AAS）,即A8=DF,所以四边形皮织4为平行四边形.

【详解】（1）解：点M即为所求：

通关指导

本题考查作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本

题的关.

【例12】在平行四边形ABC。中，£为/V）的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画

图痕迹.

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(2)如图2,在BQ上找出一点G,使点BD=3GD.

【答案】⑴见解析；

(2)见解析.

【分析】(1)连接AC和8力，它们的交点为0,延长EO并延长交4。于M,则用点为所作:

(2)连接CE交3。于点N,则N点为所作.

【详解】(I)解团如图1,尸点就是所求作的点团

图1

(2)解：如图2,点G就是所求年的点团

图2

【点睛】本题考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的

性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结台几何图形的基本性质把复杂

作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行四边形的性质.

名校模拟

1.已知平行四边形A8CQ是中心对称图形，点E是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点E关于平行四边

形A8CD对称中心的对称点F.

图2

⑴如图1,点E是平行四边形A8CQ的4。上一点;

(2)如图2,点E是平行四边形ABC。外一点.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

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【分析】（1）连接AC,BD，交于点。，再连接E0并延长，与交于点尸即可；

（2）同（1）的方法找出点O,连接跖，交40于G,连接GO并延长，交BC于H,连接。〃并延长，与

E0的延长线交于点E

【详解】（1）解：如图，点尸即为所求；

（2）如图，点尸即为所求.

【点睛】本题考查了平行四边形的对称性，中心对称图形的性质，解题的关键是通过对称构造图形，得到

需要的点和线.

2.如图，四边形A8C。是平行四边形，E为AB上一点.

⑴如图①，只用无刻度直尺在6上作出点尸，使得四边形AEC户为平行四边形；

⑵如图②，用直尺和圆规作出菱形EFG”，使得点尸、G、〃分别在BC、CD.0A上;

（保留作图痕迹，写出必要的义字说明）

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）连接AC，BD交于点、O,连接。石，延长E0交8于点尸，点尸即为所求作的点.

（2）连接4C,8。交于点0,连接OE,延长E。交C。于点G,作线段EG的垂直平分线交A。于“，交

BCfF,连接EH,GH,EF,FG,证EG和“/互相垂直平分，四边形EFGH即为所求作的菱形EFGH.

第30页共57页

【详解】(1)画法：如下图，连接AC,8。交于点0,连接0E,延长E。交C。于点尸，点?即为所求作

理由；旧四边形是平行四边形，

团4B〃CO,OA=OC,

团NOA£=NOC/，

又ZAOE=NCOF,

[?]△AOE^ACOF(ASA),

田OE=OF,

二•四边形AEC户是平行四边形

(2)画法：如下图，连接4C,BO交于点0,连接0E,延长EO交CD于点G,作线段EG的垂直平分线

交ADTH,交BCTF,连接EH,GH,EF,FG,四边形EPG”即为所求作的菱形EFGH.

理由：回四边形48C。是平行四边形，

回AB〃C。，OA=OC,

^ZOAE=ZOCG,ZOAH=ZOCF

又ZAOE=/COG,ZAOH=/COF

04.ASA),_AOH^COF(AAS),

ME=OG,OH=OF

(3EG和”/互相垂直平分，

团四边形E尸G”是菱形

【点睛】本题考查了仅用无刻度直尺、尺规作图，结合全等三角形、平行四边形的判定与性质、菱形的判

定、尺规作垂直平分线，灵活运用知识点作图是解题的关键.

第31页共57页

题型八矩形中的无刻度作图

典例精讲

［例I］（新考法，拓视野）（2023•江西鹰潭•一模）如图，是两个全等的矩形ABC。和矩形瓦GC拼成的图

案，请仅用无刻度的直尺按要求作图.

（图1）（图2）

⑴在图（1）中作出一个等腰直角三角形.

⑵在图（2）中的矩形48CO内作出一条直线和平行.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】。）根据全等矩形的性质作图；

（2）根据矩形的对角线互相平分及三角形中位线的性质作图.

【详解】（1）如图1：等腰直角三角形8CG即为所求；

（2）如图2,直线尸。即为所求.

第32页共57页

（图2）

通关指导

本题考查了复杂作图，掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键.

【例2】在矩形ABC。中，图1中，点E在边上，A£=C£；图2中，点P在AB边上，AP=AD,

点。是8C的中点.请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）.

⑴在图I的C。边上作出点F,使四边形4瓦而为菱形.

（2）在图2的C。边上作出点G,使四边形APGD为正方形.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）连接AC,BO相交千点O,则点。为AC的中点，也是菱形AEb的对角线交点，连接EO并

延长交CO于点尸，则点尸即为所求；

（2）连接AC,BD交于点、0,连接。。并延长交AO于点则点加为A0的中点，连接。P交"Q于点

N,则DP为正方形APGO的对角线，N为的中点，也是正方形4PGD的对角线交点，连接42并延

长交C。于点G,则点G即为所求.

【详解】（1）解：如图I所示，连接AC,8。相交于点。，连接EO并延长交CD于点尸，连接A/L则点尸

即为所求，

.在矩形ABCD中，CD〃AB,AO=CO

:.NOCF=NOAE,

ZCOF=ZAOE,AO=CO,

第33页共57页

:,CF=AE,

又C尸〃AE,

••・西边形AEC户是平行四边形,

AE=CE,

二四边形AEb是菱形.

图1

(2)解：如图2所示，连接AC.BD交于点0,连接Q。并延长交AD于点M,连接。。交MQ于点N,

连接4V并延长交C£＞于点G,连接GP,则点G即为所求，

•・四边形A8CO是矩形，

;.DO=BO,AO=CO,CD//AB,AD//BC,ZDA尸=90。，

•・•点Q为8c中点,

OQ//AB//CD,OQ=,A8=；CO,

:.MQ=AB=CDOM=-AB=-CD

f22t

・••点/为A£)的中点，

-MN//AP//DG,

..在△AOG中，MN=；DG,在二^^中，MN=；AP,

：.DG=AP,DG//AP,

.•・四边形APGO是平行四边形，

又.AD=AP，ZZMP=90°,

••・四边形4PGO是正方形.

【点睛】本题考查了直尺作图，矩