专题跟踪检测(四)-“解三角形”大题的考法研究

专题跟踪检测（四）“解三角形”大题的考法研究1．在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2＝2abcosC.(1)若△ABC的面积为S，且满足4S＝c2，求角C的大小；(2)证明：eq\f(2,tanC)＝eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanB).解：(1)由S＝eq\f(1,2)absinC,4S＝c2，得c2＝2absinC，又c2＝2abcosC，∴2absinC＝2abcosC，∴tanC＝1.∵0＜C＜π，∴C＝eq\f(π,4).(2)证明：由c2＝2abcosC及正弦定理得：sin2C＝2sinAsinBcosC，∴eq\f(sinC,sinAsinB)＝eq\f(2cosC,sinC).∵A＋B＝π－C，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴eq\f(2cosC,sinC)＝eq\f(sinAcosB＋cosAsinB,sinAsinB)，∴eq\f(2,tanC)＝eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanB).2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2acosA＝eq\r(3)(bcosC＋ccosB)．(1)求角A；(2)若b＝2eq\r(3)，BC边上的高为3，求c.解：(1)因为2acosA＝eq\r(3)(bcosC＋ccosB)，由正弦定理得2sinAcosA＝eq\r(3)(sinBcosC＋sinCcosB)，即2sinAcosA＝eq\r(3)sin(B＋C)，又B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，所以2sinAcosA＝eq\r(3)sinA.而0＜A＜π，sinA≠0，所以cosA＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝eq\f(π,6).(2)设BC边上的高为h，因为S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)ah，将b＝2eq\r(3)，h＝3，sinA＝eq\f(1,2)代入，得a＝eq\f(\r(3)c,3).由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，于是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)c,3)))2＝(2eq\r(3))2＋c2－2×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)c，即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.3．(2021·葫芦岛一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2B＋cos2C－cos2A＝1－sinBsinC.(1)求A；(2)若a＝eq\r(3)，求△ABC的面积的最大值．解：(1)由已知得，sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，∴由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，即3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤3，当且仅当b＝c时，等号成立．∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)bc≤eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(3\r(3),4).故△ABC的面积的最大值为eq\f(3\r(3),4).4．(2022届·湖南五市十校联考)在①2a－eq\r(2)c＝2bcosC；②a2＋c2－b2＝4S，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题目．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知________．(1)求tanB的值；(2)若S＝10，a＝5，求b的值．解：(1)选择条件①：∵2a－eq\r(2)c＝2bcosC，∴由正弦定理得2sinA－eq\r(2)sinC＝2sinBcosC，∴2sinBcosC＋2cosBsinC－eq\r(2)sinC＝2sinBcosC，即2cosBsinC＝eq\r(2)sinC.又C∈(0，π)，∴sinC≠0，∴cosB＝eq\f(\r(2),2).又B∈(0，π)，∴tanB＝1.选择条件②：∵a2＋c2－b2＝2accosB＝4S，S＝eq\f(1,2)acsinB，∴2accosB＝2acsinB，∴tanB＝eq\f(sinB,cosB)＝1.(2)由tanB＝1得sinB＝eq\f(\r(2),2)，cosB＝eq\f(\r(2),2).∵S＝10，a＝5，∴S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×5c×eq\f(\r(2),2)＝10，解得c＝4eq\r(2).∴b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝eq\r(25＋32－2×5×4\r(2)×\f(\r(2),2))＝eq\r(17).5．(2021·武汉质检)在△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝eq\f(2π,3)，b＝eq\r(6).(1)若cosAcosC＝eq\f(2,3)，求△ABC的面积；(2)试问eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝1能否成立？若能成立，求此时△ABC的周长；若不能成立，请说明理由．解：(1)由B＝eq\f(2π,3)，得A＋C＝eq\f(π,3)，cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC，即eq\f(1,2)＝cosAcosC－sinAsinC.又∵cosAcosC＝eq\f(2,3)，∴sinAsinC＝eq\f(1,6).∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(\r(6),\f(\r(3),2))＝2eq\r(2)，∴a＝2eq\r(2)sinA，c＝2eq\r(2)sinC.∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)sinA×2eq\r(2)sinC×sinB＝4sinAsinBsinC＝4×eq\f(1,6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3).(2)假设eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝1能成立，∴a＋c＝ac.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得6＝a2＋c2＋ac，∴(a＋c)2－ac＝6，∴(ac)2－ac－6＝0，∴ac＝3或－2(舍去)，此时a＋c＝ac＝3.不满足a＋c≥2eq\r(ac)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝1不成立．6．(2021·沈阳一模)在①sinB－sinC＝sin(A－C)；②eq\f(\r(3)c,acosB)＝tanA＋tanB；③2acosA＝bcosC＋ccosB，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求出b＋c的最大值；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，________.(1)求角A的大小；(2)求b＋c的取值范围．解：(1)若选择条件①sinB－sinC＝sin(A－C)，则sin(A＋C)－sinC＝sin(A－C)，∴2cosAsinC＝sinC，∵C∈(0，π)，∴sinC＞0，∴cosA＝eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).若选择条件②eq\f(\r(3)c,acosB)＝tanA＋tanB，则由正弦定理得eq\f(\r(3)sinC,sinAcosB)＝eq\f(sinA,cosA)＋eq\f(sinB,cosB)，∴eq\f(\r(3)sinC,sinAcosB)＝eq\f(sinA＋B,cosAcosB)＝eq\f(sinC,cosAcosB)，∵△ABC为锐角三角形，∴sinC＞0，cosB≠0，∴eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(1,cosA)，∴tanA＝eq\r(3)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).若选择条件③2acosA＝bcosC＋ccosB，则由正弦定理得2sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB，∴2sinAcosA＝s