2024-2025学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.2.2.2函数奇偶性的应用课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE9-函数奇偶性的应用(15分钟35分)1.已知函数y=f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-2x+3，则当x<0时，f(x)的解析式是 ()A.f(x)=-x2+2x-3 B.f(x)=-x2-2x-3C.f(x)=x2-2x+3 D.f(x)=-x2-2x+3【解析】选B.若x<0，则-x>0，因为当x>0时，f(x)=x2-2x+3，所以f(-x)=x2+2x+3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(-x)=x2+2x+3=-f(x)，所以f(x)=-x2-2x-3，所以x<0时，f(x)=-x2-2x-3.2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满意f(x)+g(x)=x2+3x+1，则f(x)等于 ()A.x2 B.2x2 C.2x2+2 D.x2+1【解析】选D.因为f(x)+g(x)=x2+3x+1，①所以f(-x)+g(-x)=x2-3x+1.又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，所以f(x)-g(x)=x2-3x+1.②由①②联立，得f(x)=x2+1.3.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，若x1<0且x1+x2>0，则()A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)<f(-x2)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定【解析】选A.因为x2>-x1>0，f(x)在(0，+∞)上单调递减，所以f(x2)<f(-x1).又f(x)是R上的偶函数，所以f(-x2)=f(x2)，所以f(-x2)<f(-x1).4.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，f(3)<f(2a+1)，则a的取值范围是 ()A.a>1 B.a<-2C.a>1或a<-2 D.-1<a<2【解析】选C.因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)<f(2a+1)，所以f(3)<f(|2a+1|)，又函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，所以3<|2a+1|，解得a>1或a<-2.5.函数f(x)在R上为偶函数，且x>0时，f(x)=QUOTE+1，则当x<0时，f(x)=_______.

【解析】因为f(x)为偶函数，x>0时，f(x)=QUOTE+1，所以当x<0时，-x>0，f(x)=f(-x)=QUOTE+1，即x<0时，f(x)=QUOTE+1.答案：QUOTE+16.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=QUOTE，求函数f(x)，g(x)的解析式.【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x).由f(x)+g(x)=QUOTE，①用-x代替x得f(-x)+g(-x)=QUOTE，所以f(x)-g(x)=QUOTE，②(①+②)÷2，得f(x)=QUOTE；(①-②)÷2，得g(x)=QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.若奇函数f(x)在(-∞，0)上的解析式为f(x)=x(1+x)，则f(x)在(0，+∞)上有 ()A.最大值-QUOTE B.最大值QUOTEC.最小值-QUOTE D.最小值QUOTE【解析】选B.方法一(干脆法)：当x>0时，-x<0，所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x)，所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-QUOTE+QUOTE，所以f(x)有最大值QUOTE.方法二(奇函数的图象特征)：当x<0时，f(x)=x2+x=QUOTE-QUOTE，所以f(x)有最小值-QUOTE，因为f(x)是奇函数，所以当x>0时，f(x)有最大值QUOTE.2.(2024·泰安高一检测)设F(x)=f(x)+f(-x)，x∈R，若QUOTE是函数F(x)的单调递增区间，则肯定是F(x)的单调递减区间的是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为F(-x)=F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在QUOTE上F(x)肯定单调递减.3.若f(x)是偶函数，其定义域为(-∞，+∞)，且在[0，+∞)上单调递减，则fQUOTE与fQUOTE的大小关系是 ()A.fQUOTE>fQUOTEB.fQUOTE<fQUOTEC.fQUOTE≥fQUOTED.fQUOTE≤fQUOTE【解析】选C.因为a2+2a+QUOTE=(a+1)2+QUOTE≥QUOTE，又因为f(x)在[0，+∞)上单调递减，所以fQUOTE≤fQUOTE=fQUOTE.4.(2024·襄阳高一检测)已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递减，则满意f(2x-1)>fQUOTE的实数x的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递减，且满意f(2x-1)>fQUOTE，所以不等式等价为f(|2x-1|)>fQUOTE，即|2x-1|<QUOTE，所以-QUOTE<2x-1<QUOTE，计算得出QUOTE<x<QUOTE，故x的取值范围是QUOTE.【误区警示】利用偶函数的单调性解不等式，别忘了转化为肯定值不等式求解.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.若函数y=f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是 ()A.3个交点的横坐标之和为0B.3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关C.f(0)=0D.f(0)的值与函数解析式有关【解析】选A、C.由于偶函数图象关于y轴对称，若(x0，0)是函数与x轴的交点，则(-x0，0)肯定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点肯定是原点，从而AC正确.6.设f(x)为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增，f(-2)=0，则下列区间中使得xf(x)<0的有 ()A.(-1，1) B.(0，2)C.(-2，0) D.(2，4)【解析】选C、D.依据题意，偶函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，又f(-2)=0，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(-2)=f(2)=0，函数f(x)的草图如图，又由xf(x)<0⇒QUOTE或QUOTE，由图可得-2<x<0或x>2，即不等式的解集为(-2，0)∪(2，+∞).三、填空题(每小题5分，共10分)7.假如函数F(x)=QUOTE是奇函数，则f(x)=_______.

【解题指南】依据求谁设谁的原则，设x<0，依据函数的奇偶性求出x<0时的解析式.【解析】当x<0时，-x>0，F(-x)=-2x-3，又F(x)为奇函数，故F(-x)=-F(x)，所以F(x)=2x+3，即f(x)=2x+3.答案：2x+3【补偿训练】设函数y=f(x)是偶函数，它在[0，1]上的图象如图.则它在[-1，0]上的解析式为_______.

【解析】由题意知f(x)在[-1，0]上为一条线段，且过(-1，1)，(0，2)，设f(x)=kx+b，代入解得k=1，b=2.所以f(x)=x+2.答案：f(x)=x+28.(2024·杭州高一检测)已知函数f(x)是定义在[-1，a]上的奇函数，则a=_______，f(0)=_______.

【解析】依据题意，函数f(x)是定义在[-1，a]上的奇函数，则(-1)+a=0，解可得a=1，即f(x)的定义域为[-1，1]，则f(0)=0.答案：10四、解答题(每小题10分，共20分)9.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)=-x2+2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式.(2)画出函数f(x)的图象.(3)依据图象，写出函数f(x)的单调递减区间及值域.【解析】(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)=f(-x).当x<0时，-x>0，所以f(x)=f(-x)=-x2-2x.综上，f(x)=QUOTE(2)函数f(x)的图象如图所示：(3)由(2)中图象可知，f(x)的单调递减区间为[-1，0]，[1，+∞)，函数f(x)的值域为(-∞，1].10.函数f(x)=QUOTE，(1)证明函数的奇偶性.(2)推断函数在(-∞，0)上的单调性，并证明.【解析】(1)因为f(x)=QUOTE的定义域为{x|x≠0}，f(-x)=QUOTE=QUOTE=f(x)，所以函数f(x)为偶函数.(2)函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈(-∞，0)，且x1<x2，所以f(x1)-f(x2)=QUOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE，因为x1，x2∈(-∞，0)，且x1<x2，所以x2-x1>0，x2+x1<0，所以QUOTE<0，即f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在(-∞，0)上单调递增.1.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-4x，那么，不等式f(x+2)<5的解集是_______.

【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(|x+2|)=f(x+2)，则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5，则|x+2|2-4|x+2|<5，即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0，所以|x+2|<5，解得-7<x<3，所以不等式f(x+2)<5的解集是(-7，3).答案：(-7，3)【补偿训练】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增.若f(-3)=0，则QUOTE<0的解集为_______.

【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增，所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递减，所以f(3)=f(-3)=0.当x>0时，f(x)<0，解得x>3；当x<0时，f(x)>0，解得-3<x<0.答案：{x|-3<x<0或x>3}2.已知函数f(x)的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，对定义域内的随意x1，x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是偶函数.(2)求证：f(x)在(0，+∞)上单调递增.(3)试比较fQUOTE与fQUOTE的大小.【解析】(1)函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).令x1=x2=1，得f(1×1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0.令x1=x2=-1，得f(1)=f((-1)×(-1))=f(-1)+f(-1)，所以2f(-1)=0，所以f(-1)=0.所以f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x)，所以f(x)是偶函数.(2)设0<x1<x2，则f(x2)-f(x1)=fQ