2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数学案含解析北师大版必修4

PAGE第一章三角函数§1周期现象学问点周期现象[填一填]每间隔一段时间会重复出现的现象称为周期现象．众所周知，海水会发生潮汐现象．大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，因此潮汐是周期现象．当潮汐发生时，水的深度会发生周期性改变．[答一答]地球围围着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗？假如是，这个函数y＝f(t)是不是具有周期性？指出周期．提示：y是时间t的函数，而且具有周期性，周期为365天．对周期的理解现实世界中的很多运动、改变都有着循环往复、周而复始的现象，这种改变规律称为周期性，例如：地球自转引起的昼夜交替改变和公转引起的四季交替改变；月亮圆缺改变的周期性，即朔—上弦—望—下弦—朔；潮汐改变的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置改变的周期性；做简谐运动的物体的位移改变的周期性等．类型一周期现象的概念及推断【例1】若今日是星期一，则第7k＋1(k∈N*)天后的那一天是星期几？第100天后的那一天是星期几？【思路探究】每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性改变，其周期为7天．【解】因为今日是星期一，明天是星期二……故第7k(k∈N*)天后的那一天是星期一，所以第7k＋1(k∈N*)天后的那一天是星期二．因为100＝14×7＋2，所以第100天后的那一天是星期三．规律方法(1)若某现象经过一个固定的时间间隔会重复出现，则这个固定的时间间隔就是周期．(2)利用周期现象的周期可以了解现象在某时间或某位置的改变．下列改变中是周期现象的是(A)A．地球的自转B．某同学每天上学的时间C．某交通路口每次绿灯通过的车辆数D．某同学每天打电话的时间解析：地球的自转为每24h转一圈，并且每24h总是重复前一个24h的动作，因此地球的自转是周期现象，故A正确；每天上学的时间和打电话的时间不确定，每隔一天不肯定重复出现，故B，D错误；绿灯通过的车辆数具有随机性，并不能保证车辆数每次相同，故C错误．类型二周期现象在物理中的应用【例2】一根长为l的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，如图．已知小球从M点放下，经过0.5秒第一次到达平衡位置O，求小球第三次经过平衡位置O的时间．【思路探究】解决周期现象的应用问题时，要深刻理解周期的含义，周期的间隔不能用某个点或某些点的重复出现来确定，而是要通过周期内的全部点的重复出现来确定．【解】设小球从点M处放下，经过平衡位置O到达最高点N，由于第一次到达平衡位置的时间为0.5秒，因此由M点第一次到达N点的时间为1秒，由N处摇摆到平衡位置是其次次到达平衡位置，用时0.5秒，到达M点用时0.5秒，从点M再次到达平衡位置O，即第三次到达平衡位置又用时0.5秒，故第三次经过平衡位置的时间为1＋0.5＋0.5＋0.5＝2.5(秒)．规律方法应用周期现象解决实际问题的两个要点如图的弹簧振子在A，B之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过M，N两点，经验的时间为t1＝1s，过N点后，再经过t2＝1s第一次反向通过N点，振子在这2s内共通过了8cm的路程，则振子的振动周期T＝4s.解析：设振子的振动周期为T，则振子由平衡位置O运动到B点的时间为eq\f(T,4)，而振子以相同的速度通过M，N两点的时间为t1＝1s，则从O点到N点的时间为eq\f(1,2)s，又向右经N—B—N的时间为t2＝1s，则从N点到B点的时间为eq\f(1,2)s，∴T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)))＝4s.——规范解答——周期现象的简洁应用【例3】我们的心跳都是有节奏、有规律的，心脏跳动时，血压在增加或削减．下表是某人在1分钟内血压P与时间t的对应关系表，通过表中数据来探讨血压改变的规律.t/s51015202530P/mmHg93.35136.6511593.35136.65115t/s354045505560P/mmHg93.35136.6511593.35136.65115(1)请依据上表供应的数据，在坐标系中作出血压P与时间t的对应关系的散点图；(2)血压的改变是周期性的吗？【审题】画散点图是分析变量关系的有效方法．【解题】(1)作出血压P与时间t的散点图．如下图：(2)由散点图可以看出，每经过15s，血压就重复出现相同的数值，因此血压是周期性改变的．【小结】一般来说，用散点图探究周期现象的步骤如下下面是某港口某一天水深y与时间t的对应关系表：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0(1)依据上表供应的数据在坐标系中作出水深y与时间t关系的散点图．(2)问水深是否是周期性改变的？解：(1)散点图如下：(2)从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔t(12h)，水深就重复出现相同的数值，因此水深是周期性改变的．一、选择题1．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的依次摆放，那么第2015盆应放什么颜色的花(C)A．红B．黄C．紫D．白解析：因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的依次摆放，所以以4为一个周期，而2015÷4＝503……3，为503个周期余3盆，所以第2015盆花为紫颜色的花．2．下列改变中不是周期现象的是(D)A．“春去春又回”B．钟表的分针每小时转一圈C．天干地支表示年、月、日的时间依次D．某同学每天放学回到家的时间解析：某同学每天放学回到家的时间受各种因素的影响，一般会有少许差别，故不是周期现象．3．下列现象是周期现象的有(D)①太阳的东升西落②月亮的圆缺③太阳表面的太阳黑子活动④心脏的收缩与舒张A．1个 B．2个C．3个 D．4个二、填空题4．学期初，班级的课程表是本学期周期性班级课堂学习的一种支配，假如第一周周一的前三节课依次是数学、物理、语文，那么正常状况下，第四周周一的前三节课依次应当是数学、物理、语文．5．在如图所示的y＝f(x)的图像中，若f(0.005)＝3，则f(0.025)＝3.解析：由图像知周期为0.02，∴f(0.025)＝f(0.005＋0.02)＝f(0.005)＝3.三、解答题6．如图，天上有些恒星的亮度是会改变的，其中有一种称为造父(型)