2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价十基本不等式含解析北师大版必修1

PAGE8-课时素养评价十基本不等式(15分钟35分)1.已知a+2b=2(a>0,b>0),则ab的最大值为 ()A.12 B.2 C.3 D.【解析】选A.因为a>0,b>0,所以a+2b≥22ab所以22ab≤2,所以ab≤12,当且仅当a=1,b=2.若y=x+1x-2(x>2)在x=a处取得最小值,则A.3 B.1+3 C.1+2 D.4【解析】选A.当x>2时,x-2>0,y=x+1x-2=x-2+1x-2+2【补偿训练】不等式9x-2+(x-2)≥6(其中A.x=3B.x=6C.x=5 D.x=10【解析】选C.由基本不等式知等号成立的条件为9x3.设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab”是“ab+ba≥2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为a,b∈R时,都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,即a2+b2≥2ab,而ab+ba≥2所以“a2+b2≥2ab”是“ab+ba≥4.函数y=1-2x-3x(x<0)的最小值为【解析】因为x<0,所以y=1-2x-3=1+(-2x)+-3x≥1+2(-2x)·3-答案:1+265.若0<a<1,0<b<1,a≠b,则a+b,2ab,2ab,a2+b2中最大的一个是.

【解析】因为0<a<1,0<b<1,a≠b,所以a+b>2ab,a2+b2>2ab.所以四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).又因为0<a<1,0<b<1,所以a(a-1)<0,b(b-1)<0,所以a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b,所以a+b最大.答案:a+b6.已知方程ax2-3x+2=0的解为1,b.(1)求a,b的值.(2)求(2a+b)x-9(a-【解题指南】(1)利用一元二次方程根与系数的关系求a,b.(2)利用基本不等式求最小值.【解析】(1)由题意知:1+解得a=1,b=2.(2)由(1)知a=1,b=2,所以(2a+b)x-9(a-而x>0时,4x+9x≥24x·当且仅当4x=9x,即x=3所以(2a+b)x-9((30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.小王从甲地到乙地来回的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则 ()A.a<v<ab B.v=abC.ab<v<a+b2【解题指南】先写出全程的平均时速为v的表达式,再利用基本不等式与作差法比较即可.【解析】选A.设甲、乙两地相距s,则小王用时为sa+s因为a<b,所以v=2ssa+sb=又v-a=2aba+b-a=2.已知当x=a时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,A.-3 B.2 C.3 D.8【解析】选C.令y=x-4+9x+1=x+1+9x所以由基本不等式得y=x+1+9x+12(x+1)×93.已知不等式(x+y)1x+ay≥9对随意正实数x,y恒成立,A.2 B.4 C.9 D.16【解析】选B.(x+y)1x+ay=1+a+axy+yx≥1+a+2当且仅当axy=y所以(1+a)2≥9,所以a≥4.4.如图所示,4个长为a,宽为b的长方形,拼成一个正方形ABCD,中间围成一个小正方形A1B1C1D1,则以下说法中错误的是A.(a+b)2≥4abB.当a=b时,A1,B1,C1,D1四点重合C.(a-b)2≤4abD.(a+b)2>(a-b)2【解析】选C.由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和,即有(a+b)2≥4ab;正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2,结合图形可知(a+b)2>(a-b)2,且当a=b时A1,B1,C1,D1四点重合,但是正方形A1B1C1D二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有 ()A.ab>1 B.ab<1C.a2+b22【解析】选BD.因为ab≤a+b2又1=(a+b)2所以a2+b6.下列推导过程,正确的为 ()A.因为a,b为正实数,所以ba+ab≥2QUOTEba·abB.因为x∈R,所以1xC.a<0,所以4a+a≥2QUOTE4a·a=4D.因为x,y∈R,xy<0,所以xy+yx=--xy+-yx【解析】选AD.因为a,b为正实数,所以ba,a当x=0时,有1x2+1=1,故B不正确;当a<0时,4a+a≥2QUOTE4a·a=4是错误的,C不正确;由xy<0,得xy,yx均为负数,但在推导过程中将整体xy+三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知t>0,则函数y=t2-4【解析】因为t>0,所以y=t2-4t+1答案:-28.规定记号“☉”表示一种运算,即a☉b=ab+a+b(a,b为正实数).若1☉k=3,则k的值为,此时k☉xx【解析】1☉k=k+1+k=3,即k+k-2=0,所以k=1或k=-2(舍),所以k=1.k☉xx=x+x+1x=1+x+答案:13四、解答题(每小题10分,共20分)9.求t=x+1x的取值范围【解析】当x>0时,x+1x≥2x当且仅当x=1x,即x=1时,“=”所以x+1x≥当x<0时,x+1x=--x+1-x即x=-1时,“=