2024-2025学年新教材高中数学第4章概率与统计4.3统计模型4.3.2独立性检验教案新人教B版选择性必修第二册

PAGE8-4.学习目标核心素养1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义．(重点)2．通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．(难点)1．通过2×2列联表统计意义的学习，体会数学抽象的素养．2．借助χ2计算公式进行独立性检验，培育数学运算和数据分析的素养.一则“双黄连口服液可抑制新冠病毒”消息热传后，引起部分市民抢购．人民日报官微称，抑制不等于预防和治疗，勿自行服用．上海专家称是否有效还在探讨中．问题：如何推断其有效？如何收集数据？收集哪些数据？1．2×2列联表(1)定义：假如随机事务A与B的样本数据整理成如下的表格形式．Aeq\o(A,\s\up6(－))总计Baba＋beq\o(B,\s\up8(－))cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d因为这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表．(2)χ2计算公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.2．独立性检验随意给定一个α(称为显著性水平，通常取为0.05,0.01等)，可以找到满意条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关．若χ2＜k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)χ2的大小是推断事务A与B是否相关的统计量． ()(2)事务A与B的独立性检验无关，即两个事务互不影响． ()(3)应用独立性检验对两个变量间的关系作出的推断肯定是正确的． ()[答案](1)√(2)×(3)×2．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”()A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014D[∵5.014>3.841，故D正确．]3．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么在犯错误的概率不超过__________的前提下认为两个变量之间有关系．5%[查阅χ2表知有95%的把握认为两个变量之间有关系，故在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为两个变量之间有关系．]4．(一题两空)下面是2×2列联表．y1y2合计x1a2173x222527合计b46100则表中a＝________，b＝________.5254[a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54.]由χ2进行独立性检验【例1】在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用.未感冒感冒合计运用血清258242500未运用血清216284500合计4745261000[思路点拨]独立性检验可以通过2×2列联表计算χ2的值，然后和临界值比照作出推断．[解]假设感冒与是否运用该种血清没有关系．由列联表中的数据，求得χ2＝eq\f(1000×258×284－242×2162,474×526×500×500)≈7.075.χ2＝7.075＞6.635，P(χ2≥6.635)＝0.01，故我们在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作用．独立性检验的详细做法1．依据实际问题的须要确定允许推断“事务A与B有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值k.2．利用公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)计算随机变量χ2.3．假如χ2≥k推断“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发觉足够的证据支持结论“X与Y有关系”．eq\o([跟进训练])1．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：患胃病未患胃病合计生活不规律60260320生活有规律20200220合计80460540依据以上数据，能否有99%的把握推断40岁以上的人患胃病与生活规律有关？[解]由公式得χ2＝eq\f(54060×200－260×202,320×220×80×460)≈9.638.∵9.638>6.635，∴有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．独立性检验的综合应用[探究问题]1．利用χ2进行独立性检验，估计值的精确度与样本容量有关吗？[提示]利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n越大，这个估计值越精确，假如抽取的样本容量很小，那么利用χ2进行独立性检验的结果就不具有牢靠性．2．在χ2运算后，得到χ2的值为29.78，在推断变量相关时，P(χ2≥6.635)＝0.01和P(χ2≥7.879)＝0.005，哪种说法是正确的？[提示]两种说法均正确．P(χ2≥6.635)＝0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量相关；而P(χ2≥7.879)＝0.005的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个变量相关．【例2】为了解某班学生宠爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：宠爱打篮球不宠爱打篮球合计男生6女生10合计48已知在全班48人中随机抽取1人，抽到宠爱打篮球的学生的概率为eq\f(2,3).(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为宠爱打篮球与性别有关？说明你的理由；(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中宠爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．[思路点拨](1)由古典概型的概率求得2×2列联表．(2)计算χ2，推断P(x2＞3.841)＝0.05是否成立．(3)结合超几何分布求解．[解](1)列联表补充如下：宠爱打篮球不宠爱打篮球合计男生22628女生101020合计321648(2)由χ2＝eq\f(48×220－602,28×20×32×16)≈4.286.因为4.286>3.841，所以，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为宠爱打篮球与性别有关．(3)宠爱打篮球的女生人数X的可能取值为0,1,2.其概率分别为P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(9,38)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(10,19)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(9,38)，故X的分布列为X012Peq\f(9,38)eq\f(10,19)eq\f(9,38)X的均值为E(X)＝0＋eq\f(10,19)＋eq\f(9,19)＝1.1．检验两个变量是否相互独立，主要依据是计算χ2的值，再利用该值与分位数k进行比较作出推断．2．χ2计算公式较困难，一是公式要清晰；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心．3．统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据的性质来推想全部数据的性质．因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上体现的只是统计关系，而不是因果关系．eq\o([跟进训练])2．某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练，对提高‘数学应用题’得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一样，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成果(均取整数)如下表所示：60分以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班(人数)31161218乙班(人数)78101015现规定平均成果在80分以上(不含80分)的为优秀．(1)试分析估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，依据以上数据，能否有95%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助？优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解](1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为eq\f(30,50)＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为eq\f(25,50)＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.(2)优秀人数非优秀人数合计甲班302050乙班252550合计5545100因为χ2＝eq\f(10025×30－25×202,55×45×50×50)≈1.010<3.841，所以由参考数据知，没有95%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助．1．χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，该公式较精确的刻画了两个变量相关性的牢靠程度．2．χ2越大说明“两个变量之间有关系”的可能性越大，反之越小．1．利用独立性检验来考查两个变量A，B是否有关系，当随机变量χ2的值()A．越大，“A与B有关系”成立的可能性越大B．越大，“A与B有关系”成立的可能性越小C．越小，“A与B有关系”成立的可能性越大D．与“A与B有关系”成立的可能性无关A[用独立性检验来考查两个分类是否有关系时，算出的随机变量χ2的值越大，说明“A与B有关系”成立的可能性越大，由此可知A正确．故选A.]2．通过随机询问110名性别不同的高校生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女合计爱好402060不爱好203050合计6050110经计算得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.则正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C[依据独立性检验的思想方法，正确选项为C.]3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得χ2＝13.097，认为“两个变量有关系”犯错误的概率不超过________．0.001[假如χ2>10.828时，认为“两变量有关系”犯错误的概率不超过0.001.]4．某高校在探讨性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应当收集的数据是______________________________．男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数[由探讨的问题可知，需收集的数据应为男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数．]5．中学流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据．总成果好总成果不好总计数学成果好478a490数