2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.2.1-3.2.2两角差的余弦函数两角和与差的正弦余弦函数课时分层作业含解析北师大版必修4

PAGE1-课时分层作业(二十三)两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数(建议用时：40分钟)一、选择题1．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sinα＝eq\f(3,5)，则eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))等于()A．eq\f(7,5) B．eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5) D．－eq\f(1,5)A[eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosαcos\f(π,4)＋sinαsin\f(π,4)))＝cosα＋sinα＝eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(7,5).]2．化简sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为()A．sin2x B．cos2xC．－cos2x D．－sin2xC[原式＝－cos[(x＋y)＋(x－y)]＝－cos2x，故选C.]3．若锐角α，β满意cosα＝eq\f(4,5)，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，则sinβ的值是()A．eq\f(17,25) B．eq\f(3,5)C．eq\f(7,25) D．eq\f(1,5)C[∵cosα＝eq\f(4,5)，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，α、β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinα＝eq\f(3,5)，sin(α＋β)＝eq\f(4,5).∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(4,5)×eq\f(4,5)－eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(7,25).]4．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，那么这个三角形肯定是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形D[sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，由sinA＝2sinBcosC，得cosBsinC＝sinBcosC，所以cosBsinC－sinBcosC＝0，即sin(C－B)＝0，所以C＝B，故为等腰三角形．]5．已知A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，若eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝－1，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2,3)B[eq\o(AC,\s\up8(→))＝(cosα－3，sinα)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(cosα，sinα－3)，∴eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝1－3(sinα＋cosα)＝－1，∴3(sinα＋cosα)＝2，∴3eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝2，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),3).]二、填空题6．化简sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))的结果是________．cosα[原式＝sineq\f(π,6)cosα＋coseq\f(π,6)sinα＋coseq\f(π,3)cosα－sineq\f(π,3)sinα＝cosα.]7．若cos(α－β)＝eq\f(1,3)，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________．eq\f(8,3)[原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝eq\f(8,3).]8．若cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，则cos(α－β)＝________．eq\f(59,72)[由已知得cosα－cosβ＝eq\f(1,2)， ①sinα－sinβ＝－eq\f(1,3). ②①2＋②2得(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)，即2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝eq\f(13,36)，所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(13,36)))＝eq\f(59,72)，所以cos(α－β)＝eq\f(59,72).]三、解答题9．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且cos(α－β)＝eq\f(3,5)，sinβ＝－eq\f(\r(2),10)，求sinα.[解]因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以α－β∈(0，π).因为cos(α－β)＝eq\f(3,5)，所以sin(α－β)＝eq\f(4,5).因为β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，sinβ＝－eq\f(\r(2),10)，所以cosβ＝eq\f(7\r(2),10).所以sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝eq\f(4,5)×eq\f(7\r(2),10)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),10)))＝eq\f(\r(2),2).10．已知cosα＝eq\f(1,7)，sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)，0＜α＜eq\f(π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，求角β的值．[解]因为0＜α＜eq\f(π,2)，cosα＝eq\f(1,7)，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7)，又因为0＜β＜eq\f(π,2)，所以0＜α＋β＜π，因为sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)＜sinα，所以cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(5\r(3),14)×eq\f(1,7)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,14)×\f(4\r(3),7)))＝eq\f(\r(3),2)，又因为0＜β＜eq\f(π,2)，所以β＝eq\f(π,3).1．若x∈[0，π]，sineq\f(x,3)sineq\f(2x,3)＝coseq\f(x,3)coseq\f(2x,3)，则x的值是()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)D[由已知得，coseq\f(x,3)coseq\f(2x,3)－sineq\f(x,3)sineq\f(2x,3)＝cosx＝0.∴x∈[0，π]，∴x＝eq\f(π,2).]2．已知点A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，则|eq\o(AB,\s\up8(→))|等于()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．1D[|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(（cos80°－cos20°）2＋（sin80°－sin20°）2)＝eq\r(2－2（cos80°cos20°＋sin80°sin20°）)＝eq\r(2－2cos60°)＝eq\r(2－2×\f(1,2))＝1.]3．已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．－eq\f(1,2)[∵sinα＋cosβ＝1， ①cosα＋sinβ＝0， ②∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－eq\f(1,2)，∴sin(α＋β)＝－eq\f(1,2).]4．若cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________．eq\f(3π,4)[sin(α－β)＝－eq\f(2\r(5),5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<α－β<0)).sin2α＝eq\f(3\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(\r(2),2)，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq\f(3π,4).]5．已知函数f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，x∈R，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)))＝eq\f(3\r(2),2).(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝eq\r(3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ)).[解](1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)))＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋\f(π,3)))＝Asineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(2),2)A＝eq\f(3\r(2),2)，所以A＝3.(2)f(θ)－f(－θ)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－θ＋\f(π,3)))＝3eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθcos\f(π,3)＋cosθsin\f(π,3)))))－eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sinθcos\f(π,3)＋cosθsin\f(π,3)))))＝6sinθcoseq\f(π,3)＝3sinθ＝eq\r(3)，所以sinθ＝eq\f(\r(3),3).又因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\