2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2函数的单调性第1课时学案含解析新人教B版必修第一册

3.1.2函数的单调性第1课时学习目标1.理解函数的单调性及其几何意义.2.会用函数单调性的定义推断(或证明)一些函数的单调性.3.理解函数的最大值和最小值的概念,会求一些简洁函数的最值.自主预习阅读课本第95页~第97页“1.单调性的定义与证明”并完成下列问题.(1)完成课本这一部分的填空题目.(2)函数单调性的定义.(3)思索课本第96页想一想,并完成尝试与发觉.(4)最大值、最小值.课堂探究问题探究任务一:阅读课本第95页~第97页并完成下列问题1.“情境与问题”中的问题.2.单调性的定义.3.单调性定义中“随意”二字能不能去掉.4.能否说y=1x在定义域内是减函数?为什么5.最大值、最小值.6.最值点是不是点?任务二:函数单调性的简洁应用一、利用图像求函数的单调区间例1如图是定义在区间[-2,2]的函数y=f(x),则f(x)的单调递减区间是.

【拓展练习】函数f(x)=x|x|-2x的单调递增区间为.

要点归纳图像法求函数单调区间的步骤:二、利用定义证明函数的单调性例2下列函数中,在R上是增函数的是()A.y=|x| B.y=x C.y=x2 D.y=1【拓展练习】证明函数f(x)=x-1x在(0,+∞)上是增函数【小结】利用定义证明函数单调性的步骤:三、单调性与最值例3推断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的单调性,并求这个函数的最值.评价反馈1.(多选题)下列函数中,在(0,2)上是减函数的是()A.y=1x B.y=2x-C.y=1-2x D.y=(2x-1)22.如图是函数y=f(x)的图像,则函数f(x)的单调递减区间是()A.(-1,0)B.(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-1,0),(1,+∞)课后作业课本第102页第1,4,5题核心素养专练1.给定函数①y=x;②y=log12(x+1);③y=|x-1|;④y=2x.其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是(A.①② B.②③ C.③④ D.①④2.(多选题)下图中是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图像,则下列关于函数f(x)的说法正确的是()A.f(x)在区间[-5,-3]上单调递增B.f(x)在区间[1,4]上单调递增C.f(x)在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减D.f(x)在区间[-5,5]上没有单调性参考答案自主预习略课堂探究问题探究任务一:略任务二:一、利用图像求函数的单调区间例1解析:由图像可以看出f(x)的单调递减区间是[-1,1].答案:[-1,1]【拓展练习】解析:当x≥0时,f(x)=x2-2x,对称轴为x=1,开口向上,在(1,+∞)单调递增;当x<0时,f(x)=-x2-2x,对称轴为x=-1,开口向下,在(-∞,-1)单调递增,所以函数的单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).答案:(-∞,-1)和(1,+∞)要点归纳1.作图:作出函数的图像;2.结论:上升图像对应单调递增区间,下降图像对应单调递减区间.二、利用定义证明函数的单调性例2B解析:依据题意,依次分析选项:对于A选项,y=|x|=x,x≥0,-对于B选项,y=x,为正比例函数,在R上是增函数,符合题意;对于C选项,y=x2,为二次函数,在R上不是增函数,不符合题意;对于D选项,y=1x,为反比例函数,在R上不是增函数,不符合题意【拓展练习】证明:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(x1-x2)1+1因为x1,x2∈(0,+∞),所以x1x2>0,所以1+1x1x又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.【小结】三、单调性与最值例3在[-1,6]上为增函数这个函数的最小值为f(-1)=2,最大值为f(6)=23.评价反馈1.AC2.D课后作业略核心素养专练1.B2.ABD学习目标1.结合实例,经验从详细的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.2.在理解函数单调性定义的基础上,会用单调性的定义证明简洁函数的单调性,能利用单调性求简洁函数的最值,提升逻辑推理和数学运算素养.自主预习学问点一增函数与减函数的定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I⊆D.(1)假如对x1,x2∈I,当x1<x2时,都有,则称y=f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增).

(2)假如对x1,x2∈I,当x1<x2时,都有,则称y=f(x)在I上是(也称在I上单调递减).

学问点二函数的单调区间假如函数y=f(x)在I上是增函数(或减函数),则称函数在I上具有单调性,当I为区间时,称I为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间.学问点三函数的最大值与最小值一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0∈D:假如对x∈D,都有f(x)f(x0),则称f(x)的最大值为f(x0),而x0称为f(x)的最大值点;假如对x∈D,都有f(x)f(x0),则称f(x)的最小值为f(x0),而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为,最大值点和最小值点统称为.

课前自测推断.1.函数f(x)的定义域为I,假如定义域内某个区间D上存在两个自变量x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),则f(x)在区间D上是增函数.()2.若f(x)在区间D上为减函数,则在此区间上函数值随自变量的增大而减小.()3.函数f(x)=1x在(1,2]上无最大值,最小值为12,值域为12,4.假如f(x)在区间[a,b]和(b,c]上都是增函数,则f(x)在区间[a,c]上是增函数.()课堂探究阅读课本第95~96页回答以下几个问题(可小组探讨).问题(1)当时间间隔t渐渐增大你能看出对应的函数值y有什么改变趋势?通过这个试验,你准备以后如何对待刚学过的学问?(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是渐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行说明?探究问题1:视察下列函数图像,请你说说这些函数有什么改变趋势?问题2:怎样用不等式符号表示“y随着x的增大而增大”“y随着x的增大而减小”?问题3:如何用数学语言精确刻画函数y=f(x)在区间D上单调递增呢?问题4:请你试着用数学语言定义函数y=f(x)在区间D上是单调递减的.题型一利用图像推断函数的单调性例1如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),依据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?跟踪训练1如图,已知函数y=f(x),y=g(x)的图像(包括端点),依据图像写出函数的单调区间,以及在每一个区间上,函数是增函数还是减函数.题型二利用定义证明函数的单调性例2求证:函数f(x)=-2x在R上是减函数.跟踪训练2求证:函数f(x)=x+4x在区间(2,+∞)内为增函数题型三利用函数的单调性求最值例3推断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的单调性,并求出这个函数的最值.引申推断函数f(x)=3x+5,x∈(-1,6]的单调性,并求出这个函数的最值.课堂练习1.函数y=f(x)的图像如图所示,其增区间是()A.[-4,4] B.[-4,-3],[1,4]C.[-3,1] D.[-3,4]2.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=-1x B.y=x C.y=x2 D.y=13.推断函数f(x)=5x+1,x∈[-2,7]的单调性,并求出这个函数的最值.核心素养专练A组1.函数y=(2k-1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则()A.k<12 B.k>12 C.k>-122.下列函数中,在(-∞,0)上为减函数的是()A.y=-x2+2 B.y=4x-1C.y=x2+4x D.y=13.f(x)对随意两个不相等的实数a,b,总有f(a)-f(b)A.函数f(x)先增后减B.函数f(x)先减后增C.函数f(x)是R上的增函数D.函数f(x)是R上的减函数4.(多项选择)如图所示的是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图像,则下列关于函数f(x)的说法正确的()A.函数在区间[-5,-3]上单调递增B.函数在区间[2,3]上单调递增C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[-3,3]上不单调5.已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是.

6.已知函数f(x)=x-bx+a,且f(2)=14,f(1)求f(x)的函数解析式;(2)求证:f(x)在[3,5]上为增函数;(3)求函数f(x)的值域.B组1.已知函数f(x)=x2-kx-6在[2,8]上是单调函数,则k的取值范围是()A.(4,16) B.[4,16]C.[16,+∞) D.(-∞,4]∪[16,+∞)2.已知函数f(x)=1x,x≥10,kx+1,x<10,若3.已知函数f(x)=x2-4|x|+3,x∈R.(1)将函数写成分段函数的形式;(2)画出函数的图像;(3)依据图像写出它的单调区间.参考答案自主预习略课堂探究问题:略探究:略题型一利用图像推断函数的单调性例1解:y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是减函数,在区间[-2,1],[3,5]上是增函数.跟踪训练1解:y=f(x)的单调区间有[-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2].其中y=f(x)在区间[-2,-1],[0,1]上是减函数,在区间[-1,0],[1,2]上是增函数.y=g(x)的单调区间有[-3,-1.5],[-1.5,1.5],[1.5,3],其中y=g(x)在区间[-3,-1.5],[1.5,3]上是减函数,在区间[-1.5,1.5]上是增函数.题型二利用定义证明函数的单调性例2证明:任取x1,x2∈R且x1<x2,则x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2x2)=2(x2-x1)>0,从而f(x1)>f(x2).因此函数f(x)=-2x在R上是减函数.跟踪训练2证明:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2-4x2=(x1-x2)+由x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2.所以x1x2>4,x1x2-4>0,又由x1<x2,得x1-x2<0.于是(x1-x2)(x1x2-4)x1所以函数f(x)=x+4x在(2,+∞)上是增函数题型三利用函数的单调性求最值例3解:任取x1,x2∈[-1,6]且x1<x2,则x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(3x1+5)-(3x2+5)=3(x1-x2)<0,所以这个函数是增函数.因此,当-1≤x≤6时,有f(-1)≤f(x)≤f(6).从而这个函数的最小值为f(-1)=2,最大值为f(6)=23.引申f(x)无最小值,最大值为f(6)=23.课堂练习1.C2.D3.解:任取x1,x2∈[-2,7],且x1<x2,则x1-x2<0.那么f(x1)-f(x2)=5x1+1-(5x2+1)=5(x1-x2)<0.所以这个函数是增函数.因此当-2≤x≤7时,有f(-2)≤f(x)≤f(7),从而这个函数的最小值为f(-2)=-9,最大值为f(7)=36.核心素养专练1.A2.D3.C4.ABD5.12<m≤6.解:(1)函数f(x)=x-由f(2)=14,得a+4b=6,由f(3)=25,得2a+5b=9,联立①②解得a=2,b=1,则函数解析式为f((2)任取x1,x