2024-2025学年高中数学第2章概率2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性学案新人教B版选修2-3

PAGEPAGE12．2.1条件概率2．2.2事务的独立性1.了解条件概率和两个事务相互独立的概念．2.理解条件概率公式和相互独立事务同时发生的概率公式．3．能利用概率公式解决实际问题．1．条件概率(1)定义：对于任何两个事务A和B，在已知事务A发生的条件下，事务B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”来表示，读作“A发生的条件下B发生的概率”．类似地，事务B发生的条件下事务A发生的条件概率记为“P(A|B)”，读作“B发生的条件下A发生的概率”．(2)事务的交(或积)由事务A和B同时发生所构成的事务D，称为事务A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB)．(3)条件概率计算公式一般地，条件概率公式为P(B|A)＝eq\f(P（A∩B）,P（A）)(P(A)＞0)，类似地，P(A|B)＝eq\f(P（A∩B）,P（B）)(P(B)＞0)．2．相互独立事务(1)定义：一般地，事务A是否发生对事务B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)，则称两个事务A，B相互独立，并把这两个事务叫做相互独立事务．若n个事务A1，A2，…，An，假如其中任何一个事务发生的概率不受其他事务是否发生的影响，则称这n个事务相互独立．(2)相互独立事务的性质一般地，若事务A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立．(3)相互独立事务同时发生的概率①两个相互独立事务同时发生的概率，等于每个事务发生的概率的积，即P(A∩B)＝P(A)×P(B)．②假如事务A1，A2，…，An相互独立，则这n个事务都发生的概率，等于每个事务发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)并且上式中随意多个事务Ai换成其对立事务后，等式仍成立．1．推断(对的打“√”，错的打“×”)(1)若事务A、B互斥，则P(B|A)＝1.()(2)必定事务与任何一个事务相互独立．()(3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事务A，B相互独立”的充要条件．()答案：(1)×(2)√(3)√2．已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，则P(B|A)为()A.eq\f(9,50) B.eq\f(1,2)C.eq\f(9,10) D.eq\f(1,4)答案：B3．甲、乙两人各射击一次，他们各自击中目标的概率都是0.6，则他们都击中目标的概率是()A．0.6 B．0.36C．0.16 D．0.84答案：B4．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星精确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报精确的概率为________．答案：0.95求条件概率[学生用书P26]在5道题中有3道理科题和2道文科题．假如不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【解】设第1次抽到理科题为事务A，第2次抽到理科题为事务B，则第1次和第2次都抽到理科题为事务A∩B.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事务数为Aeq\o\al(2,5)＝20.依据分步乘法计数原理，事务A的总数为Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(1,4)＝12.故P(A)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)因为事务A∩B的总数为Aeq\o\al(2,3)＝6.所以P(A∩B)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(3)法一：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P(B|A)＝eq\f(P（A∩B）,P（A）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).法二：因为事务A∩B的总数为6，事务A发生的总数为12，所以P(B|A)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).eq\a\vs4\al()利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．设10件产品中有4件不合格，从中随意取出2件，那么在所取得的产品中发觉有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设事务A为“在所取得的产品中发觉有一件不合格品”，事务B为“另一件产品也是不合格品”，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4×6×2,10×9)＝eq\f(8,15)，P(A∩B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,15).因此P(B|A)＝eq\f(P（A∩B）,P（A）)＝eq\f(1,4).相互独立事务的推断推断下列各对事务是不是相相互互独立事务：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参与演讲竞赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中随意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中随意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【解】(1)“从甲组中选出1名男生”这一事务是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事务发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事务．(2)“从8个球中随意取出1个，取出的是白球”的概率为eq\f(5,8)，若这一事务发生了，则“从剩下的7个球中随意取出1个，取出的仍是白球”的概率为eq\f(4,7)，若前一事务没有发生，则后一事务发生的概率为eq\f(5,7).可见，前一事务是否发生，对后一事务发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事务．(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，所以P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B)，所以事务A与B相互独立．eq\a\vs4\al()推断两事务的独立性的方法(1)定义法：假如事务A，B同时发生的概率等于事务A发生的概率与事务B发生的概率的积，则事务A，B为相互独立事务．(2)由事务本身的性质干脆判定两个事务发生是否相互影响．(3)当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)推断．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，探讨A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本领件，由等可能性知概率各为eq\f(1,4).这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A∩B＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(A∩B)＝eq\f(1,2).由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)，所以事务A，B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的全部可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本领件的概率均为eq\f(1,8)，这时A中含有6个基本领件，B中含有4个基本领件，A∩B中含有3个基本领件．于是P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(A∩B)＝eq\f(3,8)，明显有P(A∩B)＝eq\f(3,8)＝P(A)P(B)成立．从而事务A与B是相互独立的．求相互独立事务的概率甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为eq\f(1,3)和eq\f(1,4)，求：(1)2个人都译出密码的概率；(2)2个人都译不出密码的概率；(3)至多1个人译出密码的概率；【解】记“甲独立地译出密码”为事务A，“乙独立地译出密码”为事务B，A与B为相互独立事务，且P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4).(1)“2个人都译出密码”的概率为：P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12).(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－eq\f(1,3))×(1－eq\f(1,4))＝eq\f(1,2).(3)“至多1个人译出密码”的对立事务为“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,12).在本例条件下，求：(1)恰有1个人译出密码的概率；(2)至少1个人译出密码的概率．解：(1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事务为互斥事务，所以恰有1个人译出密码的概率为：P(Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,4))＋(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).(2)“至少1个人译出密码”的对立事务为“2个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为：1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).eq\a\vs4\al()与相互独立事务有关的概率问题求解策略一般地，已知两个事务A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：A，B互斥A，B相互独立P(A＋B)P(A)＋P(B)1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(AB)0P(A)P(B)P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))1－[P(A)＋P(B)]P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))某田径队有三名短跑运动员，依据平常训练状况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成果在13s内(称为合格)的概率分别为eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，若对这三名短跑运动员的100m跑的成果进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．解：记“甲、乙、丙三人100米跑成果合格”分别为事务A，B，C，明显事务A，B，C相互独立，则P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)，(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)三人都不合格的概率：P0＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))·P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,10).(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60).恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq\f(1,10)－eq\f(23,60)－eq\f(1,10)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12).综合第一问、其次问、第三问可知P1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大．相互独立事务的综合应用在一场消遣晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率．(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列．【解】(1)设A表示事务“观众甲选中3号歌手”，B表示事务“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,3))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).因为事务A与B相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)·[1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15).(或P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(4,15))．(2)设C表示事务“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，因为X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,75)，P(X＝1)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(20,75)，P(X＝2)＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(33,75)，P(X＝3)＝P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,75)，所以X的分布列为X0123Peq\f(4,75)eq\f(20,75)eq\f(33,75)eq\f(18,75)eq\a\vs4\al()概率问题中的数学思想(1)正难则反．敏捷应用对立事务的概率关系(P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将困难事务的概率转化为简洁事务的概率，即找寻所求事务与已知事务之间的关系．“所求事务”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事务)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为互独事务)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事务A1，A2，A3，则P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(3,4)，P(A3)＝eq\f(3,4)，不发生故障的事务为(A2∪A3)A1，P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1－P(A2)·P(A3)]·P(A1)＝(1－eq\f(1,4)×eq\f(1,4))×eq\f(1,2)＝eq\f(15,32).————————————————————————————————————————————————1．求条件概率的方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(A∩B)，得P(B|A)＝eq\f(P（A∩B）,P（A）).(2)借助古典概型概率公式，先求事务A包含的基本领件数n(A)，再在事务A发生的条件下求事务B包含的基本领件数，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n（A∩B）,n（A）).2．判定两个事务相互独立的方法(1)定义法：假如A、B同时发生的概率等于事务A发生的概率与事务B发生的概率的积，则事务A、B为相互独立事务．(2)由事务本身的性质干脆判定两个事务发生是否相互影响．3．事务A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．留意与事务互斥区分．1．求困难事务的概率时，先推断事务间的关系，是互斥还是独立，特殊对“至多”“至少”等问题，可分成互斥事务求概率，也可用对立事务求概率．2．在解题过程中，要明确事务中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义，已知两个事务A、B，它们的概率分别为P(A)、P(B)，那么：A、B中至少有一个发生的事务为A∪B；A、B都发生的事务为AB；A、B都不发生的事务为eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))；A、B恰有一个发生的事务为Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B；A、B中至多有一个发生的事务为Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B∪eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)).1．已知P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)，则P(A)等于()A.eq\f(3,16) B.eq\f(13,16)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)解析：选C.由P(AB)＝P(A)P(B|A)可得P(A)＝eq\f(3,4).2．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是eq\f(1,3)，eq\f(2,5)，eq\f(1,2)，现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为()A.eq\f(1,15)B.eq\f(2,15)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,10)解析：选C.甲、乙、丙3人投篮相互独立，都不进的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,5).3．某人一周晚上值班2次，在已知他周日肯定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________．解析：设事务A为“周日值班”，事务B为“周六值班”，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,7))，P(AB)＝eq\f(1,Ceq\o\al(2,7))，故P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)[A基础达标]1．设A与B是相互独立事务，则下列事务中不相互独立的是()A．A与eq\o(B,\s\up6(－)) B.eq\o(A,\s\up6(－))与BC.eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－)) D．A与eq\o(A,\s\up6(－))解析：选D.A、B、C选项的两事务相互独立，而A与eq\o(A,\s\up6(－))是对立事务，不是相互独立事务．2．某班学生考试成果中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是()A．0.2 B．0.33C．0.5 D．0.6解析：选A.A＝“数学不及格”，B＝“语文不及格”，P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.03,0.15)＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.3．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,7)解析：选C.记“甲站在中间”为事务A，“乙站在末尾”为事务B，则n(A)＝Aeq\o\al(6,6)，n(AB)＝Aeq\o\al(5,5)，P(B|A)＝eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,6).4．从甲袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,2)，从两袋各摸出一个球，则eq\f(2,3)等于()A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事务A、B，则P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，由于A、B相互独立，所以1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).依据互斥事务可知C正确．5．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则全部数对(x，y)中满意xy＝4的概率为()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,4)解析：选C.满意xy＝4的全部可能如下：x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.所以所求事务的概率P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,16).6．已知有两台独立在两地工作的雷达，它们发觉飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则两台雷达都未发觉飞行目标的概率为________．解析：所求概率为(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015.答案：0.0157．某篮球队员在竞赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为eq\f(16,25)，则该队员每次罚球的命中率为________．解析：设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝eq\f(16,25)，所以p＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)8．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事务A为“其中一瓶是蓝色”，事务B为“另一瓶是红色”，事务C为“另一瓶是黑色”，事务D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥，又P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(4,5)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,5)，P(AC)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＋eq\f(P（AC）,P（A）)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)9．在社会主义新农村建设中，某市确定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预料，三个项目胜利的概率分别为eq\f(4,5)、eq\f(5,6)、eq\f(2,3)，且三个项目是否胜利相互独立．(1)求恰有两个项目胜利的概率；(2)求至少有一个项目胜利的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目胜利的概率为eq\f(4,5)×eq\f(5,6)×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(2,9)，只有农产品加工和水果种植两个项目胜利的概率为eq\f(4,5)×(1－eq\f(5,6))×eq\f(2,3)＝eq\f(4,45)，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目胜利的概率为(1－eq\f(4,5))×eq\f(5,6)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，所以恰有两个项目胜利的概率为eq\f(2,9)＋eq\f(4,45)＋eq\f(1,9)＝eq\f(19,45).(2)三个项目全部失败的概率为(1－eq\f(4,5))×(1－eq\f(5,6))×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(1,90)，所以至少有一个项目胜利的概率为1－eq\f(1,90)＝eq\f(89,90).10．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率．(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解：(1)从甲箱中任取2个产品的事务数为Ceq\o\al(2,8)＝28，这2个产品都是次品的事务数为Ceq\o\al(2,3)＝3.所以这2个产品都是次品的概率为eq\f(3,28).(2)设事务A为“从乙箱中取一个正品”，事务B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事务B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事务B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事务B1、事务B2、事务B3彼此互斥．P(B1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，P(B2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，P(B3)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(3,28)，P(A|B1)＝eq\f(6,9)，P(A|B2)＝eq\f(5,9)，P(A|B3)＝eq\f(4,9)，所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝eq\f(5,14)×eq\f(6,9)＋eq\f(15,28)×eq\f(5,9)＋eq\f(3,28)×eq\f(4,9)＝eq\f(7,12).[B实力提升]11．抛掷一枚匀称的骰子所得的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事务A＝{2，3，5}，B＝{1，2，4，5，6}，则P(A|B)等于()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：选A.因为A∩B＝{2，5}，所以n(AB)＝2.又因为n(B)＝5，故P(A|B)＝eq\f(n（AB）,n（B）)＝eq\f(2,5).12．设两个独立事务A和B都不发生的概率为eq\f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事务A发生的概率P(A)＝________．解析：由题意，P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,9)，P(eq