2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数课时作业含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-第五章三角函数考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4,3)，则tan(α－β)等于(D)A．－3 B．－eq\f(1,3)C．3 D．eq\f(1,3)[解析]tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq\f(1,3).2．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是(A)A．eq\f(5,4) B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(3,2) D．1＋eq\f(\r(2),3)[解析]原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(5,4).3．设α是第三象限角，且|coseq\f(α,2)|＝－coseq\f(α,2)，则eq\f(α,2)的终边所在的象限是(B)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]因为α是第三象限角，所以π＋2kπ<α<eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，所以eq\f(π,2)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z，所以eq\f(α,2)的终边在其次象限或第四象限．又|coseq\f(α,2)|＝－coseq\f(α,2)，所以coseq\f(α,2)<0，所以eq\f(α,2)的终边所在的象限是其次象限．4．设α是其次象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)x，则tanα＝(D)A．eq\f(4,3) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)[解析]x<0，r＝eq\r(x2＋16)，∴cosα＝eq\f(x,\r(x2＋16))＝eq\f(1,5)x，∴x2＝9，∴x＝－3，∴tanα＝－eq\f(4,3).5．已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，则logeq\r(5)(eq\f(tanα,tanβ))2等于(C)A．2 B．3C．4 D．5[解析]由sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinαcosβ＋cosαsinβ＝\f(1,2),sinαcosβ－cosαsinβ＝\f(1,3)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinαcosβ＝\f(5,12),cosαsinβ＝\f(1,12)))，∴eq\f(tanα,tanβ)＝5，∴logeq\r(5)(eq\f(tanα,tanβ))2＝logeq\r(5)52＝4.6．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不行能是(D)[解析]本题用解除法，对于D选项，由振幅|a|>1，而周期T＝eq\f(2π,|a|)应小于2π，与图中T>2π冲突．7．y＝sin(2x－eq\f(π,3))－sin2x的一个单调递增区间是(B)A．[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)] B．[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)]C．[eq\f(5π,12)，eq\f(13π,12)] D．[eq\f(π,3)，eq\f(5π,6)][解析]y＝sin(2x－eq\f(π,3))－sin2x＝sin2xcoseq\f(π,3)－cos2xsineq\f(π,3)－sin2x＝－(sin2xcoseq\f(π,3)＋cos2xsineq\f(π,3))＝－sin(2x＋eq\f(π,3))，其增区间是函数y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的减区间，即2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，∴kπ＋eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(7π,12)，当k＝0时，x∈[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)]．8．函数f(x)＝(eq\f(1,3))x－|sin2x|在[0，eq\f(5π,4)]上零点的个数为(C)A．2 B．4C．5 D．6[解析]分别作出函数y＝(eq\f(1,3))x和y＝|sin2x|的图象，如图所示．由图可知，这两个函数图象在[0，eq\f(5,4)π]上共有5个不同的交点，所以函数f(x)＝(eq\f(1,3))x－|sin2x|在[0，eq\f(5,4)π]上的零点个数为5.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是(CD)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．－eq\f(10π,3)[解析]与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是2kπ＋(－eq\f(4π,3))，k∈Z.令k＝1，可得与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是eq\f(2π,3)，令k＝－1，可得与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是－eq\f(10π,3)，故选CD．10．已知函数f(x)＝sin4x＋cos2x，则下列说法正确的是(ABD)A．最小正周期是eq\f(π,2)B．f(x)在(－eq\f(π,4)，0)上递增C．x＝eq\f(π,8)是f(x)图象的一条对称轴D．f(x)的值域是[eq\f(3,4)，1][解析]由题知f(x)＝sin4x＋1－sin2x＝sin4x－sin2x＋1＝－sin2x(1－sin2x)＋1＝1－sin2xcos2x＝1－eq\f(1,4)sin22x＝1－eq\f(1,4)×eq\f(1－cos4x,2)＝eq\f(1,8)cos4x＋eq\f(7,8).∴T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2)，∴A正确；由余弦函数的单调性可知B正确；∵f(eq\f(π,8))＝eq\f(7,8)≠±1，∴C错误；由余弦函数的有界性可知f(x)的值域为[eq\f(3,4)，1]，D正确．故选ABD．11．已知ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，若x＝eq\f(π,6)和x＝eq\f(7π,6)是函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的两条相邻的对称轴，将y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(BD)A．y＝g(x)是奇函数B．y＝g(x)的图象关于点(－eq\f(π,2)，0)对称C．y＝g(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称D．y＝g(x)的周期为2π[解析]∵x＝eq\f(π,6)和x＝eq\f(7,6)π是两条相邻的对称轴，∴T＝2×(eq\f(7,6)π－eq\f(π,6))＝2π，∴ω＝1.∴f(x)＝cos(x＋φ)．①若函数在x＝eq\f(π,6)处取得最大值，则f(eq\f(π,6))＝cos(eq\f(π,6)＋φ)＝1，eq\f(π,6)＋φ＝2kπ，φ＝2kπ－eq\f(π,6).当k＝0时，φ＝－eq\f(π,6)，此时f(x)＝cos(x－eq\f(π,6))，将f(x)图象向左平移eq\f(π,6)个单位得到g(x)＝cos[(x＋eq\f(π,6)－eq\f(π,6))]＝cosx.所以B正确．②若函数在x＝eq\f(π,6)处取得最小值，则f(eq\f(π,6))＝cos(eq\f(π,6)＋φ)＝－1，eq\f(π,6)＋φ＝2kπ－π，φ＝2kπ－eq\f(7,6)π，当k＝1时，φ＝eq\f(5,6)π，∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ不存在．函数f(x)的最小正周期为2π，故D正确，故选BD．12．已知函数f(x)＝sinxcosx－cos2x，下列命题正确的是(BC)A．f(x)的最小正周期为2πB．f(x)在区间(0，eq\f(π,8))上为增函数C．直线x＝eq\f(3π,8)是函数f(x)图象的一条对称轴D．函数f(x)的图象可由函数f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x的图象向右平移eq\f(π,8)个单位长度得到[解析]f(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1＋cos2x,2)＝eq\f(\r(2),2)sin(2x－eq\f(π,4))－eq\f(1,2)，明显A错；x∈(0，eq\f(π,8))时，2x－eq\f(π,4)∈(－eq\f(π,4)，0)，函数f(x)为增函数，故B正确；令2x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq\f(3,8)π＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，明显x＝eq\f(3π,8)是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；f(x)＝eq\f(\r(2),2)·sin2x的图象向右平移eq\f(π,8)个单位得到y＝eq\f(\r(2),2)·sin[2(x－eq\f(π,8))]＝eq\f(\r(2),2)sin(2x－eq\f(π,4))的图象，故D错．故选BC．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．计算sin330°＋cos240°＋tan180°＝__－1__.[解析]原式＝－sin30°－cos60°＋0＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－1.14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,3))(ω>0)，若f(eq\f(π,6))＝f(eq\f(π,3))，且f(x)在区间(eq\f(π,6)，eq\f(π,3))上有最小值，无最大值，则ω＝__eq\f(14,3)__.[解析]由函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,3))(ω>0)，f(eq\f(π,6))＝f(eq\f(π,3))，f(x)在区间(eq\f(π,6)，eq\f(π,3))上有最小值，无最大值及三角函数的性质，可得f(x)在x＝eq\f(\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq\f(π,4)处取得最小值，即ω×eq\f(π,4)＋eq\f(π,3)＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，化简可得ω＝8k－eq\f(10,3)，∵ω>0，∴当k＝1时，ω＝eq\f(14,3)；当k＝2时，ω＝eq\f(38,3)，此时f(x)在区间(eq\f(π,6)，eq\f(π,3))内存在最大值．故ω＝eq\f(14,3).15．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π))的部分图象如图所示，则f(2020)＝__－eq\f(\r(2),2)__.[解析]由题图可知，eq\f(T,4)＝2，所以T＝8，所以ω＝eq\f(π,4).由点(1,1)在函数图象上，可得f(1)＝sin(eq\f(π,4)＋φ)＝1，故eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝eq\f(π,4)，故f(x)＝sin(eq\f(π,4)x＋eq\f(π,4))．所以f(2020)＝sin(eq\f(2020π,4)＋eq\f(π,4))＝sin(505π＋eq\f(π,4))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2).16．已知A，B，C皆为锐角，且tanA＝1，tanB＝2，tanC＝3，则A＋B＋C的值为__π__.[解析]∵tanB＝2，tanC＝3，∴tan(B＋C)＝eq\f(tanB＋tanC,1－tanB·tanC)＝eq\f(2＋3,1－2×3)＝－1.又B、C皆为锐角，∴B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝eq\f(3,4)π，又tanA＝1，A为锐角，∴A＝eq\f(π,4)，∴A＋B＋C＝π.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值；(2)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为3∶4，求2sinα＋cosα的值．[解析](1)∵r＝eq\r(x2＋y2)＝5|a|，∴当a>0时，r＝5a，∴sinα＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5)；当a<0时，r＝－5a，∴sinα＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝eq\f(2,5).(2)当点P在第一象限时，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝2；当点P在其次象限时，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝eq\f(2,5)；当点P在第三象限时，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝－2；当点P在第四象限时，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).18．(本小题满分12分)已知函数y＝3tan(2x－eq\f(π,4))．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的定义域；(3)说明此函数的图象是由y＝tanx的图象经过怎样的变换得到的？[解析](1)函数y＝3tan(2x－eq\f(π,4))的最小正周期T＝eq\f(π,2).(2)由2x－eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,8)，k∈Z，所以函数的定义域为{x|x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,8)，k∈Z}．(3)把函数y＝tanx图象上全部的点向右平移eq\f(π,4)个单位长度，得函数y＝tan(x－eq\f(π,4))的图象，然后将图象上各点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)，最终将图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得函数y＝3tan(2x－eq\f(π,4))的图象．19．(本小题满分12分)已知cosα－sinα＝eq\f(3\r(2),5)，且π<α<eq\f(3π,2)，求eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)的值．[解析]因为cosα－sinα＝eq\f(3\r(2),5)，所以1－2sinαcosα＝eq\f(18,25)，所以2sinαcosα＝eq\f(7,25).又α∈(π，eq\f(3π,2))，故sinα＋cosα＝－eq\r(1＋2sinαcosα)＝－eq\f(4\r(2),5)，所以eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)＝eq\f(2sinαcosα＋2sin2αcosα,cosα－sinα)＝eq\f(2sinαcosαcosα＋sinα,cosα－sinα)＝eq\f(\f(7,25)×－\f(4\r(2),5),\f(3\r(2),5))＝－eq\f(28,75).20．(本小题满分12分)如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，且∠AOP＝β，β∈(0，eq\f(π,2))，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．(1)若点Q的坐标是(m，eq\f(4,5))，其中m<0，求cos(π－α)＋sin(－α)的值；(2)设点P(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，函数f(α)＝sin(α＋β)，求f(α)的值域．[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋\f(4,5)2＝1，,m<0))得m＝－eq\f(3,5)，所以cosα＝m＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5).所以cos(π－α)＋sin(－α)＝－cosα－sinα＝－eq\f(1,5).(2)由已知得β＝eq\f(π,6)，因为α∈[0，π)，则α＋eq\f(π,6)∈[eq\f(π,6)，eq\f(7π,6))，所以－eq\f(1,2)<sin(α＋eq\f(π,6))≤1.故f(α)的值域是(－eq\f(1,2)，1]．21．(本小题满分12分)下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表．(时间近似到0.1小时)日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号x15980117126172225263298356白昼时间y(小时)5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4(1)若以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，试选用一个形如y＝Asin(ωx＋φ)＋t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系．(注：①求所用函数关系式；②一年按365天计算)(2)用(1)中的函数模型估计该地一年365天中有多少天白昼时间大于15.9小时．[解析](1)由图表可知，函数最大值为19.4，最小值为5.4，所以ymax＝19.4，ymin＝5.4，所以由2A＝19.4－5.4得A＝7；由2t＝19.4＋5.4，得t＝12.4，又T＝365，∴ω＝eq\f(2π,365).当x＝172时，eq\f(2πx,365)＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(323π,730)(φ等于－eq\f(32π,73)，－eq\f(323π,730)，－eq\f(161π,365)，－eq\f(65π,146)均可)所以y＝7sin(eq\f(2π,365)x－eq\f(323π,730))＋12.4.(1≤x≤365，x∈N*)(2)由y>15.9得sin(eq\f(2π,365)x－eq\f(323π,730))>eq\f(1,2)，∴eq\f(π,6)