2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定课时作业含解析新人教A版必修第二册

PAGEPAGE7课时作业34直线与平面垂直的判定时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．假如一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是(A)A．①③ B．②C．②④ D．①②④解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两条直线有可能是平行的．2.如图，三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是(B)A．∠BPAB．∠PBAC．∠PBCD．对上都不对解析：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，得PA⊥平面ABC，所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.3.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上随意一点，则AD1与B1E的关系为(A)A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1与B1E共面D．以上都不对解析：连接A1D，则由正方形的性质，知AD1⊥A1D，又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，所以AD1⊥平面A1B1ED，又B1E⊂平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故选A.4．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有(BD)A．①B．②C．③D．④解析：在①中，AB与CE的夹角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直，故①不符合；在②中，AB⊥EC，AB⊥CD，所以AB⊥平面CDE，故②符合；在③中，AB与EC的夹角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直，故③不符合；在④中，连接AC，由ED⊥平面ABC，得AB⊥DE，同理可得AB⊥CE，所以AB⊥平面CDE，故④符合．5．在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(C)A．30° B．45°C．60° D．90°解析：如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则AE＝eq\f(\r(3),2)a，DE＝eq\f(1,2)a.∴tan∠ADE＝eq\r(3).∴∠ADE＝60°.6．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(D)A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)解析：如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝eq\f(\r(2),2)，D1O＝eq\f(\r(6),2)，∴cos∠DD1O＝eq\f(DD1,D1O)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为eq\f(\r(6),3).二、填空题7．▱ABCD的对角线交点为O，点P在▱ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是垂直．解析：∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则BD与平面PAC的位置关系是垂直，平行四边形ABCD肯定是菱形．解析：由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又PC⊥BD，且PC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．9.如图，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4cm，点P到角的两边AC，BC的距离都等于2eq\r(3)cm，则PC与平面ABC所成角的大小为45°.解析：如图，过P作PO⊥平面ABC于点O，连接CO，则CO为∠ACB的平分线，且∠PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为θ，连接OF，易知△CFO为直角三角形．又PC＝4，PF＝2eq\r(3)，∴CF＝2，∴CO＝2eq\r(2)，在Rt△PCO中，cosθ＝eq\f(CO,PC)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°.三、解答题10.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.11．如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，BC＝BA＝eq\f(1,2)AD＝m，VA⊥平面ABCD.(1)求证：CD⊥平面VAC.(2)若VA＝eq\r(2)m，求CV与平面VAD所成角的大小．解：(1)证明：因为AB＝BC，∠ABC＝90°，所以∠CAB＝∠ACB＝45°，取AD中点G，连接CG，如图，因为BC∥AD，所以四边形ABCG为正方形．所以CG＝GD，∠CGD＝90°，所以∠DCG＝45°，所以∠DCA＝90°，所以CD⊥CA，又VA⊥平面ABCD，所以CD⊥VA，因为CA∩VA＝A，所以CD⊥平面VAC.(2)如图，连接VG，由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(CG⊥AD,VA⊥CG))⇒CG⊥平面VAD，所以∠CVG是CV与平面VAD所成的角，VC＝eq\r(VA2＋AB2＋BC2)＝2m，CG＝m，所以∠CVG＝30°，所以CV与平面VAD所成角为30°.——实力提升类——12．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(A)A.eq\f(\r(6),4) B.eq\f(\r(10),4)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：如图所示，取A1C1的中点D，连接AD，B1D，则易证得B1D⊥平面ACC1A1，∴∠DAB1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角．不妨设正三棱柱的棱长为2，则在Rt△AB1D中，sin∠DAB1＝eq\f(B1D,AB1)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，故选A.13．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，正方形ABCD的面积为16，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(B)A．64 B．64eq\r(2)C．48eq\r(2) D．64eq\r(3)解析：因为正方形ABCD的面积为16，所以AB＝CD＝4，因为AB⊥平面BB1C1C，故∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，即∠AC1B＝30°，所以BC1＝4eq\r(3)，所以CC1＝eq\r(BC\o\al(2,1)－BC2)＝4eq\r(2)，所以长方体的体积V＝16×4eq\r(2)＝64eq\r(2).14.如图，四棱锥S­ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有4个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．解析：因为SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD.因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．15.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解：如图，当F为CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.连