《清华大学微积分》课件

清华大学微积分欢迎参加清华大学微积分课程。本课程将带您深入探索数学的奥秘，培养您的逻辑思维和问题解决能力。课程简介课程内容涵盖函数、极限、导数和积分等核心概念。学习方法理论讲解与实践练习相结合。考核方式平时作业、期中考试和期末考试综合评定。学习目标1掌握微积分基础知识2提高数学思维能力3应用微积分解决实际问题4为后续高等数学学习打下基础先修知识代数掌握基本代数运算和方程求解。几何了解平面和空间几何基础知识。三角函数熟悉三角函数的定义和性质。函数的概念定义函数是将一个集合中的元素映射到另一个集合的规则。表示方法可用公式、图形或表格表示函数。分类包括一对一函数、满射函数和双射函数。基本初等函数多项式函数如y=ax²+bx+c指数函数如y=a^x对数函数如y=log_a(x)三角函数如y=sin(x),y=cos(x)基本初等函数性质1单调性函数在某区间内始终增加或减少。2周期性函数图像按固定间隔重复出现。3奇偶性函数关于原点或y轴对称。4有界性函数值在某个范围内有上下界。极限的定义ε-δ定义当x接近a时，f(x)可以任意接近L。左极限x从左侧接近a时的函数极限。右极限x从右侧接近a时的函数极限。无穷极限当x趋于无穷时的函数极限。极限运算法则和差法则两个函数极限之和（差）等于极限之和（差）。乘积法则两个函数极限之积等于极限之积。商法则两个函数极限之商等于极限之商（分母极限不为零）。复合函数法则内外函数极限都存在时，复合函数极限等于极限的复合。连续函数的概念定义函数在某点的极限等于函数值，则函数在该点连续。左连续函数的左极限等于函数值。右连续函数的右极限等于函数值。间断点函数不连续的点，可分为跳跃间断点和可去间断点等。连续函数性质和差性质连续函数的和差仍为连续函数。乘积性质连续函数的乘积仍为连续函数。商性质连续函数的商在分母不为零处仍为连续函数。复合性质连续函数的复合仍为连续函数。导数的定义定义函数在某点的变化率极限。左导数函数在某点左侧的变化率极限。右导数函数在某点右侧的变化率极限。可导性左右导数存在且相等，则函数在该点可导。导数的运算法则1和差法则(u±v)'=u'±v'2乘积法则(uv)'=u'v+uv'3商法则(u/v)'=(u'v-uv')/v²4链式法则(f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x)导数的几何意义切线斜率导数表示函数图像在该点的切线斜率。瞬时变化率导数描述函数在某点的瞬时变化速度。泰勒公式1定义用多项式函数近似表示复杂函数。2麦克劳林公式在x=0处展开的特殊泰勒公式。3余项表示近似误差的项。4应用用于函数近似计算和误差分析。洛必达法则0/0型适用于分子分母同时趋于0的极限。∞/∞型适用于分子分母同时趋于无穷的极限。使用条件分子分母均可导，且分母导数不为0。不定积分的概念定义原函数的全体。性质不定积分的导数等于被积函数。表示∫f(x)dx=F(x)+C基本积分公式换元积分法1选择合适的替换变量2将原积分转化为新变量的积分3计算新变量的积分4将结果转换回原变量分部积分法公式∫udv=uv-∫vdu应用场景适用于积分式中含有不同类型函数的乘积。技巧选择合适的u和dv，使积分简化。定积分的概念定义黎曼和的极限，表示曲线与x轴围成的面积。几何意义曲边梯形的面积。表示∫[a,b]f(x)dx定积分的性质可加性∫[a,b]=∫[a,c]+∫[c,b]线性性质∫[a,b](αf+βg)=α∫[a,b]f+β∫[a,b]g不等式性质若f(x)≤g(x)，则∫[a,b]f≤∫[a,b]g绝对值不等式|∫[a,b]f|≤∫[a,b]|f|洛必达法则在定积分中应用识别不定式找出积分中的0/0或∞/∞型不定式。应用洛必达法则对不定式部分进行求导。简化积分将简化后的表达式代入原积分。计算结果求解简化后的定积分。微分中值定理1罗尔定理闭区间连续、开区间可导、两端点函数值相等，则存在中间点导数为零。2拉格朗日中值定理闭区间连续、开区间可导，则存在中间点导数等于平均变化率。3柯西中值定理两个函数满足条件，则存在中间点导数之比等于函数值之差的比。积分中值定理第一积分中值定理连续函数在闭区间上的定积分等于函数在某点的值乘以区间长度。第二积分中值定理适用于乘积积分，将一个函数的积分转化为另一个函数的值。几何意义曲线下的面积等于矩形面积。微分中值定理在极值问题中应用1寻找临界点通过一阶导数等于零或不存在的点。2确定函数性质利用二阶导数判断极值类型。3应用罗尔定理在特定区间内寻找极值点。4利用拉格朗日定理估计函数值的变化范围。积分中值定理在面积计算中应用平均值计算利用第一积分中值定理计算函数的平均值。面积估算用矩形面积近似曲边