河南财经学院-信息学院-廖扬-第一章-行列式学习资料

第一章行列式§1·1排列与逆序§1·2n阶行列式的定义§1·3行列式的性质§1·4行列式按行（列）展开§1·5Cramer法则河南财经学院信息学院廖扬2、二阶、三阶行列式的计算方法（对角线法）n阶行列式的计算方法（定义法）特殊的n阶行列式：三角形行列式3、n阶行列式的性质利用性质计算行列式（化三角形法）4、行列式的按行（列）展开利用行列式性质及展开规则计算行列式（降阶法）5、利用行列式求解方程组的方法——cramer法则本章内容1、排列、逆序、奇偶性、对换范德蒙行列式河南财经学院信息学院廖扬第一节排列与逆序一排列1排列（P4，定义1.1）2自然排列：n级排列123…n称为自然排列。1逆序、逆序数（P5，定义1.2）注：（1）数字不重复、不遗漏。二逆序2计算方法:（2）n级排列共有n！个按照一定顺序（从前到后、从后到前、从小到大、从大到小），记录单侧逆序，求和即可.【例1】【例2】河南财经学院信息学院廖扬3奇排列、偶排列（P6，定义1.3）4对换（P6，定义1.4）注：（1）一次相邻对换必改变排列奇偶性。（2）一次对换必可分解为奇数次相邻对换。（3）一次对换必改变排列的奇偶性。(P6，定理1.1)（4）n级排列中（n>1）奇排列与偶排列的个数相等，各为个河南财经学院信息学院廖扬解【例2】求排列的逆序数河南财经学院信息学院廖扬引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解132213231312321123总数=6（个）＝3！（个）三级排列河南财经学院信息学院廖扬由自然数1、2、…、n组成的一个无重复的n元有序数组称为一个n级排列，简称为排列。排列：21413243

1314不是排列不是排列不是排列n级排列的两要素不能重复不能漏数543215级排列31424级排列河南财经学院信息学院廖扬n级排列的总数＝n!个例如由1、2、3这三个数可构成三级排列123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有？三级排列？？？？？河南财经学院信息学院廖扬逆序：在一个排列中，如果两个数的前后位置与它们大小顺序相反（即排在前面的数大于排在后面的数），则称这两个数构成排列的一个逆序。

例如：在三级排列312中:

逆序：31、32在四级排列4231中:逆序：42、21、31…

一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆序数

记为逆序数:例如：三级排列312的逆序数为2

河南财经学院信息学院廖扬奇排列偶排列逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为偶数的排列称为偶排列例

计算排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.河南财经学院信息学院廖扬在一个n级排列i1i2…

is…

it…in

中，若仅将其中两个数is、it对调,其余不动，可得一个新的排列i1i2…

it…

is…in,对排列所施行的这样一次对调称为一个对换。对换：（3，5）

相邻两个数码的对换称为相邻对换

例如23154

25134记为（is，it

）（3，1）2315421354相邻对换河南财经学院信息学院廖扬一次相邻对换必改变排列奇偶性。（3，1）52314

52134一次相邻对换必定使原排列的逆序数增加或减少一，从而改变原排列的奇偶性。（2，3）5231453214河南财经学院信息学院廖扬23154（3，5）2315425134一次对换必可分解为奇数次相邻对换。231542+1=3次（2，4）431524+3=7次可见，一次对换总可以分解为m+(m-1)=2m-1次相邻对换，即奇数次相邻对换。对换必改变排列的奇偶性。河南财经学院信息学院廖扬证明:设在n!个n级排列中（n>1）,奇排列共有p个,偶排列共有q个，

现对每一个奇排列施行一次对换，即偶排列n级排列中（n>1）奇排列与偶排列的个数相等，各为个则p+q=n!奇排列由此可得p个偶排列，河南财经学院信息学院廖扬由于偶排列的个数共有q个，所以