基本概念微分方程讲解材料

第七章

微分方程

—积分问题—微分方程问题推广

第七章

§7.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例几何问题物理问题

第七章

引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容:未知函数为一元函数)(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或(常见形式)(未知函数是多元函数)引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解,初始条件其图形称为积分曲线.例1.验证函数是微分方程的解,的特解.解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点

P(x,y)处的法线与x轴交点为Q解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点

P(x,y)处的法线与x轴交点为Q另解:如图所示,-x即点P(x,y)处的法线交x轴于Q且线段PQ被y轴平分,据题意得Q点的横坐标为则P298(习题7-1)1;2(3),(4);3(2);4(2),(3)思考与练习分离变量:

§7.2可分离变量微分方程解分离变量的方程1.可分离变量方程的概念

第七章(只需两边求不定积分)若=则称(1)为可分离变量的方程(1)(2)2.可分离变量方程的解法:两边积分,得由(3)确定的隐函数y＝

(x)或x＝

(y)是(2)即(1)的通解.则有(3)称为方程(1)的隐式通解,(3)(2)称为方程(1)的显式通解.例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例1.求微分方程的通解.另解:分离变量得两边积分得得今后解题可按上述格式,过程不严谨但结果很完美.如：P300例1，但…P302例3例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,故所求特解为注意:若特解在上述通解中找不到则要检查过程的严谨性.ln3.可化为可分离变量的方程b≠0令即可分离变量的方程分离变量:注:这种通过变量代换将未知类型化为已知类型的方法,在解微分方程中经常使用.如下一节的一阶齐次方程,第4节的伯努利方程第5节的可降阶高阶方程．再譬如Ｐ315第7题.例3.求下述微分方程的通解:解:令即故有即积分得(C为任意常数)所求通解:分离变量可显化为练习:解法1分离变量即(C<0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:下面讲几个微分方程的应用题例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t

足够大时(位移与时间的关系)再积分例6.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变解:由水力学知,水从孔口流出的流量为即求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由h降到对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:两端积分,得利用初始条件,得因此容器内水面高度h与时间t有下列关系:内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x及y=C

3.型如的方程,令化为可分离变量