常州期中考高三数学试卷

常州期中考高三数学试卷一、选择题

1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，则下列选项中，关于函数的极值点说法正确的是（）

A.函数有一个极大值点和一个极小值点

B.函数没有极值点

C.函数的极大值点和极小值点重合

D.函数的极大值点在函数图像的左侧，极小值点在函数图像的右侧

2.已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=3$，$a_4=11$，则公差$d$等于（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.在直角坐标系中，点$A(2,1)$关于直线$y=x$的对称点为$B$，则点$B$的坐标是（）

A.$(1,2)$

B.$(2,1)$

C.$(1,1)$

D.$(2,2)$

4.已知函数$f(x)=x^2+2x+3$，则下列选项中，关于函数的性质说法正确的是（）

A.函数的图像是开口向上的抛物线

B.函数的图像是开口向下的抛物线

C.函数的图像与$x$轴没有交点

D.函数的图像与$x$轴有两个交点

5.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1=2$，$a_4=32$，则公比$q$等于（）

A.2

B.4

C.8

D.16

6.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，则下列选项中，关于函数的定义域说法正确的是（）

A.$x\in[0,+\infty)$

B.$x\in[-\infty,0)\cup[2,+\infty)$

C.$x\in[-\infty,2)\cup[2,+\infty)$

D.$x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

7.已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则下列选项中，关于函数的性质说法正确的是（）

A.函数的图像是开口向上的抛物线

B.函数的图像是开口向下的抛物线

C.函数的图像与$x$轴没有交点

D.函数的图像与$x$轴有两个交点

8.已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=1$，$a_5=21$，则公差$d$等于（）

A.4

B.5

C.6

D.7

9.在直角坐标系中，点$A(1,2)$关于直线$y=-x$的对称点为$B$，则点$B$的坐标是（）

A.$(-1,2)$

B.$(1,-2)$

C.$(-1,-2)$

D.$(1,2)$

10.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，则下列选项中，关于函数的单调性说法正确的是（）

A.函数在$(-\infty,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减

B.函数在$(-\infty,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增

C.函数在$(-\infty,+\infty)$上单调递增

D.函数在$(-\infty,+\infty)$上单调递减

二、判断题

1.在直角坐标系中，若点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$关于原点对称，则$A$和$B$的坐标满足$x_1=-x_2$，$y_1=-y_2$。（）

2.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像是一个开口向上的抛物线，则系数$a$必须大于0。（）

3.在等差数列中，任意两项之和等于它们之间项数的两倍。（）

4.对于任意实数$x$，函数$f(x)=|x|$的图像关于$y$轴对称。（）

5.在等比数列中，任意两项之积等于它们之间项数的次幂。（）

三、填空题

1.函数$f(x)=2x^3-9x^2+12x-3$的导数为_________。

2.若等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=5$，公差$d=3$，则第10项$a_{10}$的值为_________。

3.在直角坐标系中，点$A(3,4)$到直线$3x-4y+5=0$的距离为_________。

4.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$(0,+\infty)$上的单调性为_________。

5.若等比数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=8$，公比$q=2$，则前5项的和$S_5$为_________。

四、简答题

1.简述二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像特征，并说明如何通过系数$a$、$b$和$c$来判断图像的开口方向、顶点坐标和对称轴。

2.解释等差数列和等比数列的定义，并举例说明如何求出等差数列和等比数列的通项公式。

3.如何求一个二次函数的极值点？请举例说明。

4.在直角坐标系中，如何判断一个点是否在直线$Ax+By+C=0$上？请给出判断方法。

5.请简述函数$f(x)=\sqrt{x}$在定义域内的单调性，并解释为什么这个函数在定义域内是单调的。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$在$x=2$处的导数值。

2.已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=2$，$a_4=14$，求公差$d$和第10项$a_{10}$的值。

3.在直角坐标系中，求点$A(1,3)$到直线$2x+y-7=0$的距离。

4.求函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在区间$[1,2]$上的定积分。

5.已知等比数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=3$，公比$q=\frac{1}{3}$，求前$n$项和$S_n$的表达式。

六、案例分析题

1.案例背景：某企业计划投资一项新项目，预计该项目在接下来的五年内每年产生的现金流如下：第1年200万元，第2年220万元，第3年240万元，第4年260万元，第5年280万元。假设企业要求的最低投资回报率为8%，请使用现值法计算该项目的总现值，并判断该项目是否值得投资。

案例分析：

（1）根据现金流和最低投资回报率，计算每年现金流的现值。

（2）将所有年份的现金流现值相加，得到项目的总现值。

（3）判断总现值是否大于0，如果大于0，则项目值得投资。

2.案例背景：某城市计划修建一条新的高速公路，预计该高速公路的造价为1.5亿元，预计运营期为30年。根据预测，高速公路每年可产生收入5000万元，年运营成本为2000万元，年折旧为500万元。假设折现率为5%，请计算该高速公路的净现值，并判断该项目在经济上是否可行。

案例分析：

（1）计算每年净现金流，即收入减去运营成本和折旧。

（2）使用折现率计算每年净现金流的现值。

（3）将所有年份的净现金流现值相加，得到项目的净现值。

（4）判断净现值是否大于0，如果大于0，则项目在经济上可行。

七、应用题

1.应用题：某公司生产一种产品，每单位产品的成本为30元，固定成本为2000元。市场调研表明，产品售价每提高1元，需求量增加10个单位。当前售价为50元，市场需求量为100个单位。请计算以下内容：

（1）在当前售价下，公司的总利润是多少？

（2）若公司希望总利润增加20%，应将售价调整至多少？

（3）若市场需求量减少到50个单位，其他条件不变，公司的总利润将是多少？

2.应用题：某城市打算通过建设一条新的公交线路来改善交通状况。已知公交线路的建设成本为3000万元，预计运营期为15年。每年运营收入预计为1200万元，运营成本为800万元，每年折旧为100万元。假设折现率为5%，请计算以下内容：

（1）该公交线路的净现值是多少？

（2）若预计运营收入提高10%，其他条件不变，该公交线路的净现值将如何变化？

（3）若运营成本增加15%，其他条件不变，该公交线路的净现值将如何变化？

3.应用题：某班级有30名学生，其中男女生比例约为2:3。为了提高学生的体育活动水平，学校计划购买一些新的体育器材。已知每个篮球的价格为200元，每个足球的价格为150元。学校预算为6000元。请计算以下内容：

（1）若购买篮球和足球的总数量不超过20个，且篮球数量至少为8个，学校最多可以购买多少个篮球？

（2）若学校希望购买篮球和足球的总价值达到5000元，且篮球数量至少为10个，学校应该购买多少个篮球和足球？

（3）若学校决定购买篮球和足球的总数量等于30个，且篮球数量至少为12个，学校应该如何分配购买篮球和足球的数量？

4.应用题：某工厂生产一种产品，每生产一个产品需要3小时的人工和2小时的机器时间。工厂每天有8小时的人工和12小时的机器时间可供使用。假设人工成本为每小时20元，机器成本为每小时30元。请计算以下内容：

（1）若该产品的售价为50元，工厂每天的最大利润是多少？

（2）若工厂希望每天至少获得1000元的利润，应如何调整生产数量？

（3）若工厂希望减少机器的使用时间，同时保持利润不变，应该如何调整生产数量？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.A

2.B

3.A

4.C

5.B

6.B

7.C

8.B

9.C

10.A

二、判断题答案：

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空题答案：

1.$f'(x)=6x^2-12x+12$

2.$d=3$，$a_{10}=31$

3.$\frac{5}{\sqrt{5}}$

4.单调递减

5.$S_n=\frac{3(1-\frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}}$

四、简答题答案：

1.二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由系数$a$决定，当$a>0$时开口向上，当$a<0$时开口向下。顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。

2.等差数列的定义是：一个数列中，从第二项起，每一项与它前一项的差是常数。等比数列的定义是：一个数列中，从第二项起，每一项与它前一项的比是常数。通项公式分别为$a_n=a_1+(n-1)d$（等差数列）和$a_n=a_1q^{n-1}$（等比数列）。

3.求二次函数的极值点，首先求导数$f'(x)$，令$f'(x)=0$求出极值点$x$，然后判断$f''(x)$的正负，若$f''(x)>0$，则$x$是极小值点；若$f''(x)<0$，则$x$是极大值点。

4.判断点$A(x_1,y_1)$是否在直线$Ax+By+C=0$上，将$A(x_1,y_1)$的坐标代入直线方程，若等式成立，则点在直线上。

5.函数$f(x)=\sqrt{x}$在定义域内是单调递增的，因为对于任意$x_1<x_2$，都有$f(x_1)<f(x_2)$，这是因为根号函数在其定义域内是递增的。

五、计算题答案：

1.$f'(2)=-6$

2.$d=3$，$a_{10}=31$

3.$\frac{5}{\sqrt{5}}$

4.$\int_1^2{\frac{1}{x^2+1}}dx=\arctan(x)\bigg|_1^2=\arctan(2)-\arctan(1)$

5.$S_n=\frac{3(1-\frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}}$

六、案例分析题答案：

1.（1）总利润=总收入-总成本=（50×100）-（30×100+2000）=2000元

（2）设售价调整为$x$元，则总利润为$(x-30)(100+10(x-50))$，令总利润增加20%，即$2000×1.2=2400$元，解得$x=60$元。

（3）总利润=（50×50）-（30×50+2000）=1000元

2.（1）净现值=（1200-800-100）/（1+0.05）^1+（1200-800-100）/（1+0.05）^2+...+（1200-800-100）/（1+0.05）^15

（2）若运营收入提高10%，则净现值增加10%。

（3）若运营成本增加15%，则净现值减少15%。

3.（1）最多可以购买8个篮球。

（2）购买篮球8个，足球12个。

（3）购买篮球6个，足球24个。

4.（1）每天的最大利润=（50×6）-（20×8+30×12）=1200元

（2）生产数量调整为15个，以保持1000元的利润。

（3）生产数量调整为12个，以减少机器的使用时