常州四校联考数学试卷

常州四校联考数学试卷一、选择题

1.若一个函数f(x)在其定义域内连续，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在定义域内一定有最大值

B.f(x)在定义域内一定有最小值

C.f(x)在定义域内一定有极值

D.f(x)在定义域内一定有零点

2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=Sn-Sn-1，则数列{an}的通项公式是（）

A.an=Sn

B.an=Sn-1

C.an=Sn-Sn-1

D.an=Sn-Sn-2

3.若一个平面α与三个不同平面β、γ、δ都相交，则α与β、γ、δ的交线一定（）

A.共线

B.共点

C.共面

D.相交

4.已知一个正方体的边长为a，则该正方体的体积是（）

A.a^2

B.a^3

C.2a^2

D.2a^3

5.若一个等差数列的前n项和为Sn，首项为a1，公差为d，则Sn的表达式是（）

A.Sn=n(a1+an)/2

B.Sn=n(a1+an)/4

C.Sn=(a1+an)n/2

D.Sn=(a1+an)n/4

6.已知一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），则下列结论正确的是（）

A.当a>0时，f(x)的图像开口向上

B.当a<0时，f(x)的图像开口向上

C.当b>0时，f(x)的图像开口向上

D.当b<0时，f(x)的图像开口向上

7.若一个函数f(x)在x=a处有极值，则f'(a)的值一定是（）

A.0

B.不存在

C.不等于0

D.不等于1

8.已知一个等比数列的前n项和为Sn，首项为a1，公比为q，则Sn的表达式是（）

A.Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

B.Sn=a1(1-q^n)/(q-1)

C.Sn=a1(1+q^n)/(1+q)

D.Sn=a1(1+q^n)/(q+1)

9.若一个平面α与三个不同平面β、γ、δ都垂直，则α与β、γ、δ的交线一定（）

A.共线

B.共点

C.共面

D.相交

10.已知一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），则下列结论正确的是（）

A.当a>0时，f(x)的图像开口向上

B.当a<0时，f(x)的图像开口向上

C.当b>0时，f(x)的图像开口向上

D.当b<0时，f(x)的图像开口向上

二、判断题

1.在解析几何中，任意一点到直线的距离都可以通过点到直线的距离公式直接计算得出。（）

2.在平面直角坐标系中，斜率为正的直线一定位于第一象限。（）

3.两个不等的实数a和b，如果它们的平方相等，则a和b也相等。（）

4.在数列中，如果相邻两项的比值是常数，那么这个数列一定是等比数列。（）

5.在三角形中，如果两边长度相等，那么这两边对应的角也相等。（）

三、填空题

1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)<f(b)，则函数在区间[a,b]上的最大值一定在端点处取得。（）

2.在数列{an}中，如果an=3n-2，那么数列的第10项an=_______。

3.在直角坐标系中，点P(2,-3)关于x轴的对称点坐标为_______。

4.若一个三角形的两边长分别为3和4，且这两边夹角为60度，则该三角形的面积是_______。

5.在复数域中，若复数z满足z^2+z+1=0，则z的值是_______。

四、简答题

1.简述二次函数图像的开口方向与系数a的关系，并给出一个例子说明。

2.解释数列的收敛与发散的概念，并说明如何判断一个数列是收敛还是发散的。

3.说明如何利用三角函数的和差公式计算一个角的正弦、余弦或正切值。

4.简要描述一次函数图像在平面直角坐标系中的特点，并说明如何根据一次函数的表达式判断图像的斜率和截距。

5.解释在解一元二次方程时，为什么判别式（b^2-4ac）的值可以帮助我们判断方程的根的性质。

五、计算题

1.计算下列极限：(x^2-1)/(x-1)当x趋向于1时的值。

2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=3n-2，求Sn的表达式。

3.在直角坐标系中，已知点A(1,2)和B(4,6)，求直线AB的方程。

4.解一元二次方程：x^2-5x+6=0，并说明方程的根的性质。

5.已知一个等差数列的前n项和为Sn，且S10=100，首项a1=2，求该数列的公差d。

六、案例分析题

1.案例分析题：

某中学开展了一场关于“数学与生活”的主题活动，要求学生通过实际生活中的问题，运用数学知识进行解决。以下是一位学生的活动报告：

报告题目：超市购物优惠策略分析

报告内容摘要：

学生通过调查发现，超市常见的优惠方式有满减、打折、买一送一等。他选择了三种不同的购物情境，分别计算了在不同优惠策略下的实际支付金额，并比较了哪种优惠方式最经济。

问题：

（1）请根据该学生的报告，分析他所采用的数学方法。

（2）如果你是该活动的指导教师，你会如何指导学生更好地运用数学知识解决实际问题？

2.案例分析题：

在一次数学竞赛中，某中学的学生小王在解决一道几何题时遇到了困难。题目如下：

题目：已知等腰三角形ABC，底边BC=6，腰AB=AC=8，点D是底边BC的中点，求三角形ABD的面积。

小王在尝试解题时，首先尝试使用勾股定理计算BD的长度，但由于等腰三角形的对称性，他发现无法直接得到BD的长度。随后，他尝试了其他方法，但都没有成功。

问题：

（1）请你分析小王在解题过程中可能遇到的困难，并给出可能的解决方案。

（2）如果你是小王的老师，你会如何帮助他克服困难，并引导他正确解题？

七、应用题

1.应用题：

一家工厂生产一批产品，原计划每天生产50件，需要10天完成。但由于市场需求增加，工厂决定每天增加生产10件，问实际需要多少天完成生产？

2.应用题：

一个长方形的长是宽的两倍，如果长方形的周长是36厘米，求长方形的长和宽。

3.应用题：

小明骑自行车从家出发去图书馆，已知家到图书馆的距离是12公里。小明骑自行车的速度是每小时15公里，他用了1小时到达图书馆。如果小明骑自行车的速度提高20%，问他需要多少时间才能到达图书馆？

4.应用题：

一个等差数列的前三项分别是3，7，11，求该数列的第10项。如果将这个数列的前10项和作为一个新的等差数列，其首项为第10项，公差与原数列相同，求这个新数列的第5项。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.A

2.B

3.C

4.B

5.A

6.A

7.A

8.A

9.C

10.A

二、判断题答案：

1.×

2.×

3.×

4.×

5.√

三、填空题答案：

1.无最大值或最小值

2.28

3.(2,3)

4.6

5.±(1/2)+(i√3)/2或±(1/2)-(i√3)/2

四、简答题答案：

1.当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。例如，f(x)=x^2+2x+1的图像开口向上，而f(x)=-x^2-2x-1的图像开口向下。

2.数列的收敛是指随着n的增大，数列的项an趋向于一个确定的值；发散是指随着n的增大，数列的项an不趋向于任何确定的值，而是趋于无穷大或震荡。判断数列收敛的方法包括比值法、根值法、柯西准则等。

3.使用和差公式计算三角函数值时，可以将一个角的正弦、余弦或正切值表示为两个已知角的正弦、余弦或正切值的和或差。例如，sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB。

4.一次函数图像在平面直角坐标系中是一条直线，斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与y轴的交点。斜率为正的直线向上倾斜，斜率为负的直线向下倾斜。

5.判别式（b^2-4ac）的值可以帮助我们判断一元二次方程的根的性质。当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根（重根）；当判别式小于0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。

五、计算题答案：

1.极限值为2。

2.Sn=n(3+3n-2)/2=n(3n+1)/2。

3.直线AB的方程为y=2x-2。

4.方程的根为x=2和x=3，是两个不相等的实数根。

5.公差d=(a10-a1)/(10-1)=(3*10-2-2)/9=1，第10项为a10=a1+(10-1)d=2+9=11，新数列的第5项为a15=a10+4d=11+4=15。

六、案例分析题答案：

1.（1）学生采用的数学方法是实际计算和比较。他通过计算不同优惠策略下的实际支付金额，比较了哪种优惠方式最经济。

（2）指导教师可以引导学生关注生活中的数学问题，鼓励他们提出问题，并引导他们运用数学知识解决问题。

2.（1）小王可能遇到的困难是等腰三角形的对称性导致无法直接计算BD的长度。可能的解决方案是使用等腰三角形的性质，如角平分线、高线、中线等，来构造辅助线，从而找到BD的长度。

（2）老师可以帮助小王理解等腰三角形的性质，并引导他构造辅助线，例如，通过作高线或角平分线，将等腰三角形分割成两个相似的直角三角形，从而找到BD的长度。

知识点总结：

本试卷涵盖了数学基础知识，包括函数、数列、几何、代数、极限等。具体知识点如下：

1.函数：函数的定义、性质、图像、极限等。

2.数列：数列的定义、性质、通项公式、前n项和等。

3.几何：平面几何的基本概念、性质、计算等。

4.代数：一元二次方程、不等式、方程组等。

5.极限：极限的定义、性质、计算等。

各题型考察知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基本概念、性质的理解和运用能力。例如，选择题1考察了函数连续性的概念。

2.判断题：考察学生对基本概念、性质的判断能力。例如，判断题1考察了点到直线的距离计算方法。

3.填空题：考察学生对基本概念、性质的记忆和应