2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）5．4．2 正弦函数、余弦函数的性质（八大题型）

5．4．2正弦函数、余弦函数的性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：正余弦函数的周期问题 2题型二：正余弦函数的奇偶问题 3题型三：正余弦函数的对称问题 5题型四：正余弦函数的单调问题 7题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 8题型六：比较大小 12题型七：正余弦函数的最值与值域问题 13题型八：正余弦函数的综合应用 14【重难点集训】 19【高考真题】 30【题型归纳】题型一：正余弦函数的周期问题1．（2024·高一·全国·课后作业）若函数满足：①，②，则可以是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，函数周期为的偶函数，函数周期为的奇函数，不适合题意；函数周期为的偶函数，不适合题意；函数不具有周期性，不适合题意；函数周期为的偶函数，适合题意.故选：D2．（2024·高一·广东东莞·期中）函数的最小正周期是（

）A． B． C．6 D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为.故选:D3．（2024·高一·上海·课后作业）函数的最小正周期（

）A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关【答案】D【解析】由题意，函数，当时，函数，此时函数的最小正周期为；当时，函数，此时函数的最小正周期为，所以的最小正周期与无关，且与有关.故选：D.4．（2024·高一·全国·随堂练习）函数是（

）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【答案】C【解析】因为，，所以函数是最小正周期为.又因为，所以函数是奇函数.故函数是最小正周期为的奇函数.故选：C题型二：正余弦函数的奇偶问题5．（2024·高一·上海·课后作业）函数的奇偶性是．【答案】奇函数【解析】令所以函数的定义域为令所以所以函数为奇函数故答案为：奇函数6．（2024·高一·北京·期末）已知函数为奇函数，则符合条件的一个的取值可以为.【答案】（答案不唯一，）【解析】函数为奇函数，则，所以符合条件的一个的取值可以为.故答案为：7．（2024·高一·上海·期中）已知函数是奇函数，则．【答案】【解析】由题意可知：关于原点对称，可知，且，所以.故答案为：.8．（2024·高一·内蒙古赤峰·阶段练习）若为偶函数，则．【答案】1【解析】，定义域为R，由题意得，即，故，解得.故答案为：19．（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则.【答案】/【解析】因为函数为奇函数，所以，所以，所以，又，所以时，.故答案为：10．（2024·高一·上海·阶段练习）函数，若，则．【答案】0【解析】因为，可得，所以.故答案为：0.题型三：正余弦函数的对称问题11．（2024·高一·上海·随堂练习）函数的图象关于（

）．A．y轴对称； B．直线对称；C．原点对称； D．直线对称．【答案】C【解析】是奇函数，图象关于原点对称，A错误，C正确；而，则直线都不是的图象的对称轴，CD错误.故选：C．12．（2024·高一·北京海淀·期末）已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，解得，，对于A，，，则函数的图象关于不对称，A不正确；对于B，，，则函数的图象关于不对称，B不正确；对于C，，即，，，则函数的图象关于对称，C正确；对于D，，，则函数的图象关于不对称，D不正确.故选：C13．（2024·高一·四川达州·阶段练习）若函数满足，则的值为（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因为函数满足，可得函数关于点对称，所以，且，所以，则，又，当时，，所以.故选：B.14．（2024·高一·江苏常州·期中）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为．【答案】/【解析】由的图象关于点对称，得，由及得，或，当时，，由得的最小值为；当时，，由得的最小值为；综上所述，的最小值为；故答案为：．15．（2024·新疆·三模）已知函数的图像关于直线对称，则．【答案】【解析】的图像关于直线对称，，解得：当时，.故答案为：.题型四：正余弦函数的单调问题16．（2024·高一·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】因为，且的单调递增区间为，，所以函数的单调递减区间为，.故选：C．17．（2024·高一·全国·课后作业）的单调递增区间为．【答案】【解析】由，解得，所以的单调递增区间为.故答案为：18．（2024·高一·内蒙古·阶段练习）函数单调减区间为【答案】【解析】正弦函数的单调递减区间为，由，得，记，则，故答案为：.题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题19．（2024·高一·广东佛山·期中）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得到，又因为在上单调递减，所以，得到，又，，即，令，得到，故选：D.20．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，因为，则，因为函数在上存在最值，可得，解得，当时，可得，因为函数在上单调，则，所以，其中，解得，所以，解得，又因为，则，所以，所以，因此的取值范围是．故选：D．21．（2024·高三·天津·开学考试）已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在内单调递减，所以，得，因为是函数的一条对称轴，所以，①因为函数是奇函数，所以，②，由①②可得，，而，所以当时，，得，，因为，所以，即，当时，，显然此时函数单调递减，符合题意，所以当时，，得，，因为，所以，即，当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，所以.故选：B22．（2024·四川巴中·一模）已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】A【解析】因为，故时，函数取到最大值，又，可知为的对称中心，故，故；又在上单调，故，即，结合选项，当时，，时，函数取到最大值，故，则，结合，没有符合题意的值，不合题意；当时，，时，函数取到最大值，故，则，结合，没有符合题意的值，不合题意；当时，，时，取到最大值，故，则，结合，可得，则，由，得，由于在上不单调，故在上不单调，不合题意；当时，，时，取到最大值，故，则，结合，可得，则，满足为的对称中心，由，得，由于在上单调递减，故在上单调递减，符合题意；故故选：A23．（2024·高一·山东聊城·期末）若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，由于是三角形的一个内角，所以，则，由于函数在区间上单调，所以，解得，即的取值范围为.故选：B题型六：比较大小24．（2024·山东临沂·二模）若实数，，满足，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，又，则，且，即，因为，所以，所以.故选：A25．（2024·高一·海南·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，，而，即，所以.故选：A26．（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，，，因此，故选：A27．（2024·高一·江苏苏州·开学考试）设，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，则，，，即，．故．故选：C．题型七：正余弦函数的最值与值域问题28．（2024·高一·上海·课后作业）函数，值域是.【答案】【解析】因为，所以，，所以函数，值域是.故答案为：29．（2024·高一·山东潍坊·阶段练习）已知函数，.则的最大值为.【答案】1【解析】因为，所以，又函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的最大值为1．故答案为：1.30．（2024·高一·全国·课后作业）使有解的的取值范围为．【答案】【解析】由于，若有解，则，解得，故答案为：.31．（2024·高一·河北衡水·期中）函数的最大值为.【答案】【解析】由于，所以.又函数，所以当时，.故答案为：.题型八：正余弦函数的综合应用32．（多选题）（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知函数，则（

）A．y=fx的图象关于对称B．的一个周期为C．y=fx的图象关于直线对称D．的值域为【答案】AC【解析】对于选项A：令，解得，可知的定义域为，且，，可得，所以关于对称，故A正确；对于选项B：因为，所以不是的周期，故B错误；对于选项C：因为，所以是的一条对称轴，故C正确；对于选项D：令，则，且在单调递增，则，可知在上的范围为，且，可知为奇函数，则在上的范围为，所以的值域为，故D错误.故选：AC.33．（多选题）（2024·高一·江苏盐城·开学考试）函数在上单调递增，下列命题正确的是（

）A．在区间上单调递减B．的图象有一个对称中心为C．是图象的一条对称轴D．在上的值域为【答案】ABD【解析】由，得，而在，则，解得，由，解得，则，，又，因此，，对于A，当时，，而在上单调递减，因此在区间上单调递减，A正确；对于B，，则的图象的一个对称中心为，B正确；对于C，，则不是图象的对称轴，C错误；对于D，当时，，，因此，D正确.故选：ABD34．（2024·高一·浙江衢州·期末）已知函数，.(1)当时，求函数的最小值；(2)若的最大值为1，求实数的值；(3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围.【解析】（1）当时，，因为，所以当时，函数有最小值，最小值为，（2）因为，当，即时，则当时，函数的最大值为，解得（舍去），或；当即时，则当时，函数有最大值，即，解得；当时，即时，则当时，函数有最大值，即，解得（舍去）.综上，或5.（3）因为，令，由，得，则，因为都成立，所以都成立，所以在上恒成立，姐在恒成立，设，由对勾函数的性质易知函数在上为减函数，所以，所以.35．（2024·高一·广东深圳·期末）已知函数，函数的最小正周期为，且(1)求函数的解析式:(2)求使成立的的取值范围.【解析】（1）由，，则，又，即，即，又，则，即；（2）若，即，即有，即，故的取值范围为.36．（2024·高一·河南濮阳·期末）已知函数.(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)若在区间上的取值范围是，求实数的最大值.【解析】（1）的最小正周期，令，解得，所以的单调递减区间为.（2）由，可得，当时，，由正弦函数的性质可知，解得.所以实数m的最大值为.37．（2024·高一·安徽马鞍山·期末）已知函数.(1)若，求函数的单调递增区间；(2)当时，函数的最大值为1，最小值为，求实数的值.【解析】（1）依题意，由，得，所以函数的单调递增区间为.（2）当时，，则，即，令，则，显然，当时，函数在上单调递减，于是，解得，当时，函数在上单调递增，于是，解得，所以实数的值为或.【重难点集训】1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设知：，即，则，，所以.故选：A.2．音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘’的各项之和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数表示，则下列结论中正确的个数是（

）①是周期为的周期函数②是函数的一个单调递增区间③若，，则的最小值为④的对称中心为，A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】因为,所以周期不是，①错误；，，所以不是fx的单调递增区间，②错误；,因为设，所以,所以,所以的最小值为，③正确；,④正确.故选：C.3．已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，.因为在上有且仅有2个零点，所以，解得.故选：C4．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，则.故选：C.5．已知函数在区间上单调递减，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在区间上单调递减，，由，得①.又，∴fx图象关于点对称，即②.由②-①得，由于，则，代入①，即，由于，则．故选：C.6．函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由x∈0,1，设，则，由图可知直线在线段之间，不含点，所以，得．故选：C.7．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由对任意的实数x都成立，得在处取得最大值，则，解得，所以的最小值是.故选：B8．已知函数，则图象有如下性质（

）A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称C．关于点中心对称 D．关于点中心对称【答案】C【解析】ACD选项，，故，故关于点中心对称，C正确，AD错误；B选项，，故不关于直线轴对称，B错误.故选：C9．（多选题）已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因为函数的最小正周期为，所以，解得，故A错误；所以，又，所以，则，又，所以，故B正确；所以，又，则，因为在上单调递增，所以，解得，故C正确；因为，，所以，故D错误.故选：BC10．（多选题）关于函数有下述四个结论，其中正确的是（

）A．是偶函数B．在区间上单调递增C．的最大值为2D．在有4047个零点【答案】AC【解析】由题意得，所以是偶函数，故A正确，当时，，此时在区间上单调递减，故B错误，因为，，所以，且，所以的最大值为2，故C正确，当时，，所以此区间上有无数个零点，故在不可能只有4047个零点，故D错误.故选：AC11．（多选题）设，函数，，则（

）A．函数为奇函数B．函数为偶函数C．时，在区间上无对称轴D．时，在区间上单调递减【答案】BCD【解析】对于A，，则，故函数为偶函数，故A错误；对于B，，则，故函数为偶函数，故B正确；对于C，当，时，，∴，，∴，∵在区间上无对称轴，故在区间上无对称轴，故C正确；对于D，若，当时，．∴，∴．∴根据复合函数的单调性，可知时，单调递增，又在区间0,π上单调递减，∴在区间上单调递减，故D正确．故选：BCD.12．（多选题）对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴【答案】BC【解析】A选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误；B选项，显然，B选项正确；C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC13．已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为．【答案】【解析】当时，，由，得；由，得，因此函数，在上单调递增，函数值从增大到，在上单调递减，函数值从减小到，且，由函数在上有两个零点，得，解得，所以m的取值范围为.故答案为：14．函数的值域为.【答案】【解析】因为，所以，故，令，得到，由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，而，，故，故原函数值域为.故答案为：15．已知函数在上单调递减，则实数ω的取值范围为．【答案】.【解析】因为函数，令，可得，即函数的单调递减区间为，又因为函数在区间上单调递减，可得，解得，又由，可得，即且，所以，令，可得，即实数的取值范围为.故答案为：.16．已知函数．(1)求函数的最小正周期和最大值；(2)求函数在上的单调区间．【解析】（1）因为；所以函数的最小正周期为，函数的最大值为；（2）设，解得．所以函数的单调递减区间是，又因为，所以分别取和1，取交集可得在上的单调递减区间为和．设，解得．所以函数的单调递增区间是，又因为，所以取，取交集可得在上的单调递增区间为．17．已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调增区间；(3)当时，求函数的最小值及相应的x的值．【解析】（1）由，则函数最小正周期为．（2）令，∴，，故函数的单调递增区间为，．（3）时，，当，即时取得最小值．18．已知函数(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；列表：作图：(2)