2025年粤教沪科版高二数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤教沪科版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、根据偶函数定义可推得“函数在上是偶函数”的推理过程是()A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.非以上答案2、已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是()A.B.C.D.3、【题文】如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p(x，y)．若初始位置为P0()，当秒针从P0（注：此时t=0）正常开始走时；那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）

A.B.C.D.4、已知动圆C位于抛物线x2=4y的内部（x2≤4y），且过该抛物线的顶点，则动圆C的周长的最大值是（）A.πB.2πC.4πD.16π5、下列与集合A={x|0≤x＜3且x∈N}相同的集合为（）A.{x|0≤x＜3}B.{0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}6、点A在直线l上，l在平面α外，用符号表示正确的是（）A.A∈l，l∉αB.A∈l，l⊄αC.A⊂l，l⊄αD.A⊂l，l∈α7、用秦九韶算法计算多项式f（x）=10+25x-8x2+x4+6x5+2x6在x=-4时的值时，v3的值为（）A.-144B.-36C.-57D.34评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)8、正三棱锥P-ABC中；CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：

①二面角B-PA-C大小的取值范围是（π）；

②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为

③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；

④若二面角B-PA-C大小为则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．

正确的序号是____．

9、直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是____．10、圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是____11、【题文】给定下列命题：

①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形的面积为

②若为锐角，则

③若是△的两个内角，且则

④若分别是△的三个内角所对边的长，则△一定是钝角三角形．

其中真命题的序号是____．12、曲线y2=x与y=x2所围成的图形的面积是____．13、已知函数f(x)=ax3+f鈥�(2)x2+3

若f鈥�(1)=鈭�5

则a=

______．14、已知定义在R

上的函数f(x)=|x3鈭�2x+1|

若方程f(x)鈭�a|x鈭�1|=0

恰有4

个互不相等的实数根，则所有满足条件的实数a

组成的集合为______．15、在3

名男教师和3

名女教师中选取3

人参加义务献血，要求男、女教师都有，则有______种不同的选取方法(

用数字作答)

．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共20分)23、如图四棱锥E-ABCD中；四边形ABCD为平行四边形，△BCE为等边三角形，△ABE是以∠A为直角的等腰直角三角形，且AC=BC．

（Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的余弦值．24、己知在区间（400；800]上，问：

（1）有多少个能被5整除且数字允许重复的整数？

（2）有多少个能被5整除且数字不重复的整数？评卷人得分五、计算题(共1题，共2分)25、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；评卷人得分六、综合题(共3题，共21分)26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．27、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．28、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】试题分析：根据偶函数定义可推得“函数f（x）=x2是偶函数”的推理过程是：大前提：对于函数y=f（x），若对定义域内的任意x，都有f（-x）=f（x），则函数f（x）是偶函数；小前提：函数f（x）=x2满足对定义域R内的任意x，都有f（-x）=f（x）；结论：函数f（x）=x2是偶函数．它是由两个前提和一个结论组成，是三段论式的推理，故根据偶函数定义可推得“函数f（x）=x2是偶函数”的推理过程是演绎推理．故选C．考点：进行简单的演绎推理．【解析】【答案】C2、C【分析】当所以f(x)的周期为1,作出函数f(x)的图像，然后观察直线y=x+a与函数y=f(x)有两个公共点时，知a的取值范围为【解析】【答案】C3、C【分析】【解析】

试题分析：先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而可求函数的解析式.解：由题意，函数的周期为T=60，∴ω=设函数解析式为y=sin（-t+φ）（因为秒针是顺时针走动）∵初始位置为P0()，∴t=0时，y=∴sinφ=∴φ可取∴函数解析式为y=sin（-t+）,故选C．

考点：三角函数解析式。

点评：本题考查三角函数解析式的确定，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定函数的周期，正确运用初始点的位置．【解析】【答案】C4、C【分析】【解答】解：设圆的方程为x2+（y﹣b）2=b2；

与x2=4y联立可得y2+（4﹣2b）y=0，∴4﹣2b=0；

∴b=2；

∴动圆C的周长的最大值是2π×2=4π．

故选：C．

【分析】设圆的方程为x2+（y﹣b）2=b2，与x2=4y联立可得y2+（4﹣2b）y=0，利用4﹣2b=0，求出b，即可求出动圆C的周长的最大值．5、B【分析】解：集合A表示满足条件0≤x＜3的自然数；

这些自然数为：0；1，2；

∴A={0；1，2}．

故选B．

根据描述法的定义便知集合A表示满足0≤x＜3的自然数；这样即可得出集合A的所有元素，从而找出与集合A相同的集合．

考查描述法表示集合，列举法表示集合，理解描述法的定义，清楚N表示自然数集．【解析】【答案】B6、B【分析】解：∵点A在直线上l；直线l在平面α外；

∴A∈l；l⊄α．

故选B．

利用点线面的关系；用符号表示即可．

本题考查直线与平面的位置关系，直线与在的位置关系，正确理解点线面的关系和符号表示是解题的关键．【解析】【答案】B7、B【分析】解：∵多项式f（x）=10+25x-8x2+x4+6x5+2x6

=（（（（（2x+6）x+1）x+0）x-8）x+25）x+10；

当x=-4时；

∴v0=2，v1=2×（-4）+6=-2，v2=-2×（-4）+1=9，v3=9×（-4）+0=-36．

故选：B．

由于多项式f（x）=10+25x-8x2+x4+6x5+2x6=（（（（（2x+6）x+1）x+0）x-8）x+25）x+10，可得v0=2，v1=2×（-4）+6=-2，v2=-2×（-4）+1=9，v3=9×（-4）+0=-36．

本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．【解析】【答案】B二、填空题(共8题，共16分)8、略

【分析】

①设底面正三角形的边长为1，过B作BD⊥PA，连结CD，则∠BDC是二面角B-PA-C大小，因为底面三角形ABC是正三角形，所以∠CAB=所以当点P无限靠近点O时，即高无限小时，∠BDC接近所以二面角B-PA-C大小的取值范围是（π），所以①正确．

②因为CM=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，则PB⊥AM，因为P-ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因为AM∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因为P-ABC是正三棱锥，所以必有PC⊥面PAB，所以PC与平面PAB所成角的大小为所以②正确．

③因为因为P-ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA⊥BC．所以过点M与异面直线PA和BC都成的直线有两条；所以③错误．

④若二面角B-PA-C大小为则∠BDC=此时∠EDC=（其中E是BC的中点），所以此时直线BC与平面PAC和平面PAB都成又因为平面PAC和平面PAB的法向量的夹角为此时适当调整过N的直线，可以得到两条直线使得过点N与平面PAC和平面PAB都成所以满足过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条．所以④正确．

故答案为：①②④．

【解析】【答案】①利用二面角的大小区判断．②利用线面角的定义去判断．③利用异面直线的概念去判断．④利用二面角的大小进行判断．

9、略

【分析】

直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分；直线过圆心，圆的方程可知圆心（1，2），且不通过第四象限；

斜率最大值是2；如图．

那么l的斜率的取值范围是[0；2]

故答案为：[0；2]．

【解析】【答案】圆的方程可知圆心（1，2），直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分；直线过圆心，斜率最大值是2，可知答案．

10、略

【分析】试题分析：由圆方程为圆心坐标为（2,2），半径r=设圆心到直线的距离为d，则圆上的点到直线x+y-14=0的最大距离为d+r，最小距离为d-r，所以最大距离与最小距离的差为2r=考点：本题考查圆的性质点评：解决本题的关键是掌握当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为d-r【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：①因而此项错.

②

故此命题正确.

③因为sinA

④因为由余弦定理可知所以C为钝角，因而△一定是钝角三角形.故正确的命题有②③④.

考点：角度与弧度的关系；扇形的面积公式，正弦定理，余弦定理，两角和的正切公式，以及给值求角等．

点评：掌握基本公式和定理是解决小知识点聚集题目的关键.再解给值求角的题目时，要注意对角的范围根据需要进行压缩分析，从而准确求出对应角的值，不然易产生多解情况.【解析】【答案】②③④12、【分析】【解答】解：作出如图的图象。

联立解得，

即点A（1；1）

所求面积为：S===

故答案为：．

【分析】由题意，可作出两个函数y=与y=x2的图象，由图象知阴影部分即为所求的面积，本题可用积分求阴影部分的面积，先求出两函数图象交点A的坐标，根据图象确定出被积函数﹣x2与积分区间[0，1]，计算出定积分的值，即可出面积曲线y2=x，y=x2所围成图形的面积S．13、略

【分析】解：根据题意；f(x)=ax3+f鈥�(2)x2+3

则f隆盲(x)=3ax2+2f鈥�(2)x

当x=2

时；有f隆盲(2)=12a+4f鈥�(2)

解可得f隆盲(2)=鈭�4a

当x=1

时；有f隆盲(1)=3a+2f鈥�(2)=鈭�5

又由f隆盲(2)=鈭�4a

将其代入f隆盲(1)=3a+2f鈥�(2)=鈭�5

中；

解可得a=1

故答案为：1

．

根据题意；先对f(x)

求导可得：f隆盲(x)=3ax2+2f鈥�(2)x

令x=2

可得f隆盲(2)=12a+4f鈥�(2)

解可得f隆盲(2)=鈭�4a

再令x=1

可得f隆盲(1)=3a+2f鈥�(2)=鈭�5

联立两个式子，计算可得a

的值，即可得答案．

本题考查导数的计算，注意f鈥�(2)

为常数，并求出f鈥�(2)

的表达式．【解析】1

14、略

【分析】解：定义在R

上的函数f(x)=|x3鈭�2x+1|

若方程f(x)鈭�a|x鈭�1|=0

恰有4

个互不相等的实数根，就是f(x)=a|x鈭�1|

有4

个解；

即：|x鈭�1||x2+x鈭�1|=a|x鈭�1|

有4

个解；

因为x=1

是方程的解；所以只需|x2+x鈭�1|=a

有3

个解；

在坐标系中画出函数y=|x2+x鈭�1|

与y=a

的图象；如图：可知a=1

满足题意；

y=鈭�x2鈭�x+1

的最大值为：y=54

即a=54

时；函数y=|x2+x鈭�1|

与y=a

的图象有3

个交点．

满足题意的a

的集合为：{1,54}

．

故答案为：{1,54}

．

方程f(x)鈭�a|x鈭�1|=0

恰有4

个互不相等的实数根；转化为：f(x)=a|x鈭�1|

有4

个解，转化为|x2+x鈭�1|=a

有3

个解，利用函数的图象求解即可．

本题考查函数的图象的应用，函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．【解析】{1,54}

15、略

【分析】解：根据题意；要求选出的3

人男；女教师都有，则有2

种情况：

垄脵2

名男教师、1

名女教师；有C32C31=9

种选法；

垄脷1

名男教师、2

名女教师；有C31C32=9

种选法；

则一共有9+9=18

种不同的选取方法；

故答案为：18

．

根据题意；分析可得：共有2

种情况：垄脵2

名男教师、1

名女教师，垄脷1

名男教师、2

名女教师，求出每一种情况的选法数目，由分类加法原理计算可得答案．

本题考查分类计数原理的应用，注意依据题意确定分类讨论的可能情况．【解析】18

三、作图题(共7题，共14分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共20分)23、略

【分析】

（Ⅰ）设O为BE的中点；连接AO与CO，说明AO⊥BE，CO⊥BE．证明AO⊥CO，然后证明平面ABE⊥平面BCE．

（Ⅱ）以O为坐标原点；建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，求出相关点的坐标，平面ADE的法向量，平面DEC的法向量，利用向量的数量积求解二面角A-DE-C的余弦值．

本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．【解析】（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：设O为BE的中点；连接AO与CO；

则AO⊥BE；CO⊥BE．（1分）

设AC=BC=2，则AO=1，⇒AO2+CO2=AC2；（3分）

∠AOC=90°；所以AO⊥CO；

故平面ABE⊥平面BCE．（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AO；BE，CO两两互相垂直．OE的方向为x轴正方向，OE为单位长；

以O为坐标原点；建立如图所示空间直角坐标系O-xyz；

则A（0，0，1），E（1，0，0），B（-1，0，0），

所以

（8分）

设=（x，y，z）是平面ADE的法向量，则即所以

设是平面DEC的法向量，则同理可取（10分）

则=所以二面角A-DE-C的余弦值为．（12分）24、略

【分析】

（1）先考虑个位；有2种方法，再排百位，有4种方法，最后排十位，有10种方法，即可得出结论；

（2）分类讨论；结合乘法原理可得结论．

本题考查计算原理的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．【解析】解：（1）先考虑个位；有2种方法，再排百位，有4种方法，最后排十位，有10种方法，共有2×4×10=80种，另外800也满足题意，故共有81个能被5整除且数字允许重复的整数；

（2）先考虑个位；有2种方法．

个位是0；百位是4，5，6，7中的一个，十位是其余8个中的一个，共有4×8=32种。

个位是5；百位是4，6，7中的一个，十位是其余8个中的一个，共有3×8=24种。

故有32+24=56个能被5整除且数字不重复的整数．五、计算题(共1题，共2分)25、解：所以当x=1时，k=点斜式得直线方程为y＝x－1【分析】【分析】函数的导数这是导函数的除法运算法则六、综合题(共3题，共21分)26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠