2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）4.5.1 函数的零点与方程的解（九大题型）

4.5.1函数的零点与方程的解目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：求函数的零点 2题型二：根据零点求函数解析式的参数 3题型三：零点存在性定理的应用 4题型四：根据零点所在区间求参数范围 6题型五：根据零点的个数求参数范围 8题型六：一次函数零点分布求参数范围 9题型七：二次函数零点分布求参数范围 10题型八：指对幂函数零点分布求参数范围 12题型九：函数与方程的综合应用 16【重难点集训】 20【高考真题】 34【题型归纳】题型一：求函数的零点1．（2024·高一·全国·课后作业）已知a，b，c，d都是常数，，，若的零点为c，d，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，由解析式知，对称轴为，因为为函数的零点，且，，所以可在平面直角坐标系中作出函数的大致图象，由图可知.故选：D.2．（2024·高一·全国·课后作业）函数的零点是（

）A． B．C． D．2【答案】D【解析】令，解得，故零点为，故选：D3．（2024·高一·上海·随堂练习）下列图象表示的函数中没有零点的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】观察图象可知只有A选项中的图象与轴没有交点，其他BCD选项中的图象与轴有交点，这意味着只有A选项中的函数没有零点.故选：A.4．（2024·高一·湖南长沙·期末）函数的零点是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】令，即函数的零点是，故选：C题型二：根据零点求函数解析式的参数5．（2024·高一·江苏·期末）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是.【答案】【解析】已知，，函数的零点为，函数的零点为，则，即，即，因为，又因为，这两函数均单调递增函数，当时，，解得.故答案为：6．（2024·高一·全国·课后作业）若函数的一个零点是1，则它的另一个零点是．【答案】3【解析】由，所以令或，故另一个零点为3故答案为：37．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数，若1是此函数的零点，则实数的值是．【答案】0【解析】因为1是此函数的零点，所以，解得.故答案为：8．（2024·高一·北京昌平·期中）已知函数的两个零点分别为和，则的值为．【答案】18【解析】因为函数的两个零点分别为和，所以和是的两个实根，所以，，所以.故答案为：18.9．（2024·高一·天津红桥·期末）若函数的两个零点是2和3，则不等式的解集为．【答案】【解析】根据题意，，则不等式可化为.故答案为：.题型三：零点存在性定理的应用10．（2024·高一·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数的零点在区间内，则整数（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知函数为增函数，且，观察可知，，则的零点在区间内，故.故选：B11．（2024·高一·安徽蚌埠·期末）若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，则“”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，由零点存在定理，时，函数在开区间内至少有一个零点，充分性成立；而函数在开区间内至少有一个零点时，不一定成立，如函数，在开区间内有零点，但，必要性不成立.则“”是“函数在开区间内至少有一个零点”的充分不必要条件.故选：A12．（2024·高一·安徽马鞍山·期末）函数的零点属于区间（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，函数在上单调递增，而，所以函数的零点属于区间是.故选：D13．（2024·高一·河北沧州·期末）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递增．由，，所以函数的零点所在的区间是.故选：B．题型四：根据零点所在区间求参数范围14．（2024·高一·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】对于函数，，当，即时，没有零点，不符合题意.当，即或时，当时，，零点为，，符合题意.当时，，零点为，，不符合题意.当，即或时，有两个不相等的零点，至少有一个零点在区间内，则需或，解得，，另外若，则，零点为或，不符合题意.若，则，零点为或，，符合题意.综上所述，的取值范围是：.故选：C15．（2024·高三·河南安阳·阶段练习）设函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令得，令，由复合函数单调性可知，当时，单减，，，故，要使在区间内有零点，即.故选：C16．（2024·高三·辽宁辽阳·阶段练习）若函数有零点，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数与均在上单调递增，所以在上单调递增.要使函数有零点，则只需要即可，即，解得.故选：D.题型五：根据零点的个数求参数范围17．（2024·高一·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且，由，得，则，根据对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，且，，，所以的取值范围是．故选：B．18．（2024·高一·广东广州·期末）已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】的图象如图所示，因为方程有3个实数解，所以与的图象有3个不同的交点，由图可知.故选：A19．（2024·高一·全国·课后作业）若二次函数有零点，则实数的取值为（

）A．正数 B．非负数 C．一切实数 D．零【答案】B【解析】函数有零点．则有解，即，解得.故选：B．20．（2024·高一·浙江金华·期末）若函数（是常数）有且只有一个零点，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，函数图象关于轴对称，因为函数有且只有一个零点，所以函数过坐标原点，，解得.故选：.题型六：一次函数零点分布求参数范围21．（2024·高一·全国·单元测试）已知且在内存在零点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故即.而且在内存在零点，故即，解得，故选：C.22．（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数是分段函数，它有个零点，则函数必有一个零点，所以，函数必有个零点，即方程有两个不等的负根（显然不是它的根），因此，解得．综上可得的范围是．故选：B．23．（2024·高三·全国·专题练习）“a>3”是“函数f(x)=ax+3在[-1,2]上存在零点”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由于“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”⇔f(－1)f(2)<0⇔(－a＋3)(2a＋3)<0⇔a<－或a>3，则“a>3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的充分不必要条件．题型七：二次函数零点分布求参数范围24．（2024·高一·上海·期中）已知满足关于x的不等式的每一个x的值至少满足不等式和的一个，则实数a的取值范围为.【答案】【解析】由得，设集合，由得，设集合，所以，设，则的解集非空，设解集为，其中，是方程的两实根，且，要使关于的不等式的解集内的每一个的值，至少能使不等式或中的一个成立，则需，即，即，所以，解得，所以，即.故答案为：.25．（2024·高一·全国·课后作业）已知关于的函数，若此函数有两个零点，则实数的取值范围是；若此函数有一个零点为0，则另一个零点是．【答案】【解析】关于的函数，若有两个零点.等价于方程由两个不同根，则判别式，解得．且．当函数有一个零点为0，即方程有一个根为0时，设方程的两个根分别为，，此时原方程为．．故答案为：；.26．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的两个零点分别为，且，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意得，方程有两个不相等的实数根，所以，所以．因为，所以．因为0，所以．所以且．故答案为：.27．（2024·高一·四川成都·自主招生）若关于的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数的取值范围是.【答案】【解析】当时，.当时，可得，符合题意；当时，可得，不符合题意；当时，，即，.关于的方程的所有根都是比1小的正实数，，解得，即.综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.题型八：指对幂函数零点分布求参数范围28．（2024·高一·重庆·阶段练习）设函数，若关于x的函数恰好有五个零点.则实数a的取值范围是.【答案】【解析】作出函数的图象如图，令，函数恰好有五个零点．则方程化为，则必有两个不同实根，则，结合图形可知，则必不为，故方程的一根在区间0,1内，另一根在区间内，令，则，解得：，综上：实数的取值范围为.故答案为：.29．（2024·高一·上海·阶段练习）已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为.【答案】【解析】如图所示，要使，则.因为,,,所以,即，于是有，所以，所以，所以.故答案为：.30．（2024·高一·福建泉州·阶段练习）设函数，若关于的函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】作出函数的图象如图，令，函数恰好有四个零点．则方程化为，设的两根为，因为，所以两根均大于0，且方程的一根在区间内，另一根在区间内．令所以，解得：，综上：实数的取值范围为故答案为：31．（2024·高三·上海浦东新·阶段练习）已知，函数．若关于的方程恰有四个不同的实数根，则的取值范围是．【答案】【解析】由可得，可得，若，当时，由，可得，当时，由，可得，该方程至多两个根，不合乎题意.所以，，当时，由可得或，即方程在有两个不等的实根，当时，由可得，对于二次函数，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，，设函数的两个零点分别为、，则，若使得关于的方程恰有四个不同的实数根，则方程在上只有两个不等的实根，所以，或（无解），解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.32．（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是．【答案】【解析】作出函数的图像如下图所示：设，由图像可知，则，解得，由可得，即，可得..故答案为：.题型九：函数与方程的综合应用33．（2024·高一·安徽蚌埠·开学考试）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点.(1)求函数的不动点；(2)若函数有两个关于原点对称的不动点，求的值及函数的不动点；(3)已知函数.①当时，求函数的不动点；②若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围.【解析】（1）由题意可知，得，故函数的不动点为（2）设点是不动点，则有即，由题意知方程有两个根，且这两个根互为相反数.故，且解得得则（3）①时，函数，，解得，故不动点为和.②对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，即恒有两个不相等实数根，，即要恒大于0，令，这是一个关于的二次函数，所以，故.34．（2024·高一·湖北·期末）已知为偶函数．(1)求的值；(2)解不等式；(3)若关于的方程有4个不相等的实根，求的取值范围．【解析】（1）函数的定义域为，为偶函数，恒成立，即恒成立，而，，即恒成立，所以．（2）当时，函数单调递增且，当时，函数单调递增且，时，函数单调递增且，时，单调递增，值域为，为偶函数，在单调递减，的值域为．，不等式的解集为．（3）令，则原方程可化为，由（2）知且方程仅有一根，当时，方程有两个不相等的实根，关于的方程有4个不相等的实根，关于的方程在上有2个不相等的实根，记，则即解得．35．（2024·高一·北京·期末）若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．(1)函数是否有“飘移点”？请说明理由；(2)证明函数在上有“飘移点”；(3)若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围．【解析】（1）不存在，理由如下：对于，则，整理得，∵，则该方程无解，∴函数不存在“飘移点”.（2）对于，则，整理得，∵在内连续不断，且，∴在内存在零点，则方程在内存在实根，故函数在上有“飘移点”.（3）对于，则，即，∵，则，令，则，∴，又∵，当且仅当，即时等号成立，则，，∴，即，故实数a的取值范围为.36．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知函数，.(1)求的解析式；(2)当时，求的最值；(3)若关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围.【解析】（1）由，令，所以即函数.（2），当且仅当x=1时取等，所以最小值为0，无最大值.（3）方程可化为，且，令，则方程化为，，因为方程有三个不同的实数解，由的图像知，有两个根、，且,或，记，即，此时，或，得，此时无解综上，关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围.【重难点集训】1．已知，，若，或，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数，当时，，满足或；而当时，，由，或，得，恒成立，由，即或，解得或，当时，恒成立，由二次函数性质知函数的图象开口向下，则，而的2个根为，有，解得，则，所以的取值范围是.故选：A2．已知函数，则（

）A．是偶函数B．的值域为RC．对于任意正有理数a，有奇数个零点D．在上是增函数【答案】C【解析】对于A，因，即，故不是偶函数，即A错误；对于B，因时，，即函数的值域里不含负的无理数，即的值域不是R，故B错误；对于C，函数的零点在时，有；在时，有.对于时，函数有一个零点为，而对于时，函数有两个零点为或没有零点，故函数的零点有3个或1个，故C正确；对于D，因，显然，故在上不是增函数,即D错误.故选：C.3．已知二次函数，对任意的，都有，则（

）A．有两个正零点 B．有一正一负两个零点C．有两个负零点 D．无零点【答案】B【解析】因为对任意的，都有，取，可得，即，即；又恒成立，代入可得恒成立，即恒成立，所以，令，，所以有两个根，又，所以一正一负，综上有一正一负两个零点，故选：B.4．若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】因为，是关于x的方程的解，且满足，所以在上有两个零点，所以，解得，则，所以的取值范围是.故选：D.5．在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意可得：在上恰有两个解，即在区间上恰有两个零点，所以或，解得或.故选：C.6．已知函数，若关于的方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解得或，画出的函数图象，的解得个数，可以看作y=fx与的交点个数，显然有两个交点；因为，故y=fx与需要有三个交点，由函数图像可知，解得.故选：B7．已知，则方程实数根的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】①当时，，解得，，或，或，故或；②若，则，或，或，若，则或，则或或；若，则或，则（舍去）或或，综上所述，方程实数根的个数是7，故选：C．8．若，则方程有（

）个实数根.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由，得，令函数与，在同一坐标系内作出与的图象，如图，观察图象知，函数与的图象有2个交点，所以方程有2个实数根.故选：C9．（多选题）已知函数的定义域为，，且当时，，则（

）A．B．当时，C．若对任意的，都有，则实数的取值范围是D．若，则有8个互不相等的实数根【答案】AC【解析】函数的定义域为R，满足，即，所以，故A正确；当x∈0,2时，，则，故B错误；将函数y=fx在上的图象每次向右平移2个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得函数在0,2，2,4，……上的图象，同理将函数y=fx在上的图象每次向左平移2个单位长度，再将纵坐标缩短为原来的倍即可得函数在，……上的图象，作出函数y=fx因为当时，，所以当，，则，则，令，即，解得，，又因为对任意的，都有，结合图象可得，C正确；因为，易知在，上单调递减，作出函数y=fx和y=gx的图象，由此可得两函数有所以有有7个互不相等的实数根，故D错误.故选：AC.10．（多选题）已知函数，则正确的是（

）A．的值域为B．的解集为C．的图象与的图象关于轴对称D．若关于的方程有且仅有一实根，则【答案】AC【解析】A：因为的值域为，所以的值域为，故A正确；B：因为，且在上单调递增，所以，解得，故B错误；C：关于轴对称的函数为，即为，所以的图象与的图象关于轴对称，故C正确；D：作出的图象如下图所示：当与仅有一个交点时，此时关于的方程有且仅有一实根，由图象可知，或，故D错误；故选：AC.11．（多选题）二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：…012……22…且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（

）A．B．C．函数的对称轴为直线D．关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间【答案】BCD【解析】将代入得，解得，所以二次函数，当时，对应的函数值，所以，解得，所以，所以，所以，故A错误；当时，，当时，，所以，因为，所以，故B正确；因为二次函数过，所以其对称轴为，又当时，对应的函数值，根据二次函数的对称性知，当时，对应的函数值，而当时，，所以二次函数与轴负半轴的交点横坐标在利0之间，所以关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间，故CD正确.故选：BCD12．设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是.【答案】【解析】画出函数的图象，观察图形知，仅当时，方程有三个不等实根，分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，不妨设，显然关于对称，则，另一个交点位于直线上，在中，当时，，即，因此，所以.故答案为：13．已知函数，若，，满足，记，则的取值范围为．【答案】【解析】因为的图象是将在轴下方部分沿轴翻折得到的.满足，则直线在如图所示两条虚线间上下平移.令，即，解得或.令时，解得.令，即，解得或.令时，解得.画出草图如下：由，，知，，又因为，由函数的对称性，此两点关于对称，则.令，则，，则，，，对称轴为，则在单调递减..则的取值范围为.故答案为：.14．已知函数，若时，方程的解分别为，，方程的解分别为，（），则的最小值为.【答案】【解析】由，得或，所以，，所以.由，或，所以，，所以，所以.令，易知在上单调递增；所以当时，所以，即的最小值为.故答案为：15．若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.(1)求的解析式；(2)若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围；(3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”.【解析】（1）当时，则，由奇函数的定义可得，所以.（2）方程即，设，由题意知，解得.（3）因为在区间上的值域恰为，其中且，所以，则，所以或.①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，则，所以，所以，则，解得，所以在内的“倒域区间”为；②当时，在上单调递减，在上单调递增，故当时，，所以，所以，所以，则，解得，所以在内的“倒域区间”为.综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和.16．设函数，(1)在坐标系中画出函数的图象；(2)讨论方程，解的情况.【解析】（1）函数的图象如图所示（2）由（1）得当时，的图象与无交点，则方程无根；当，或时，的图象与有两个交点，则方程有两根；当时，的图象与有四个交点，则方程有四根；当时，的图象与有三个交点，则方程有三根．17．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.(1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间；(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论）(3)写出解不等式的解集．【解析】（1）因为是定义在R上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，结合图象可知，函数的单调递减区间为和1,+∞．因为当时，，所以当时，，所以，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以当时，，故的解析式为.（2）因为有个不相等的实数根，等价于y=fx与的图象有个交点，结合（1）中y=fx的图象可知，当时，y=fx与的图象有个交点，所以.（3）当时，可得，结合图象可得；当时，可得，结合图象可得.综上所述，不等式的解集为.18．已知函数的解析式为(1)画出这个函数的图象，并解不等式；(2)若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围．【解析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，当时，，所以恒成立，当时，，所以，当时，，所以，综上可知，或，所以不等式的解集为或；（2）如图，与有2个交点，则或.19．已知函数(1)方程在上有两个不等实数根，求a的取值范围(2)求解关于x不等式【解析】（1）因为方程在上有两个不等实数根，所以需满足，即，解得，即a的取值范围为.（2）方程的判别式，①当，即时，方程无实数根，所以的解集为；②当，即或时，方程有两相等实根，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；③当，即或时，方程有两不相等实根，所以不等式的解集为或；综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当或时，不等式的解集为或.【高考真题】1．（2020年天津市高考数学试卷）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点