2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）4．4 对数函数（十三大大题型）

4．4对数函数目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：对数函数定义的判断 2题型二：利用对数函数的定义求参数 2题型三：求对数函数的表达式 3题型四：对数型函数过定点问题 4题型五：对数函数的图象问题 5题型六：对数函数的定义域 8题型七：对数函数的值域与最值 9题型八：对数函数的单调性及其应用 11题型九：比较指数幂的大小 12题型十：解对数型不等式 13题型十一：判断对数函数的奇偶性 15题型十二：反函数 18题型十三：对数函数性质的综合应用 19【重难点集训】 22【高考真题】 34【题型归纳】题型一：对数函数定义的判断1．（2024·高一·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；函数是对数函数，C是；函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.故选：C2．（2024·高一·全国·课后作业）下列函数中，是对数函数的有①；②；③；④；⑤.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数；②和③符合对数函数的定义，是对数函数；④中，底数不是常数，不是对数函数；⑤中系数不是，不是对数函数.故选：B.3．（2024·高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对数函数（且），其中为常数，为自变量．对于选项A，符合对数函数定义；对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数；对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数；对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数．故选：A．题型二：利用对数函数的定义求参数4．（2024·高一·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a＝.【答案】1【解析】由题意得，解得或1，又且，所以故答案为：15．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数是对数函数，则．【答案】1【解析】因为函数是对数函数，则，解得．故答案为：1.6．（2024·高一·全国·课后作业）若函数是对数函数，则实数a的值为．【答案】2【解析】因为函数是对数函数，所以，解得．故答案为：2.题型三：求对数函数的表达式7．（2024·高一·全国·课后作业）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为.【答案】【解析】设对数函数的解析式为(且)，由已知可得，即，解得，即函数解析式为，故答案为：8．（2024·高一·上海浦东新·期末）对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式．【答案】【解析】由已知条件可得，可得，因为且，所以，.因此，所求函数解析式为.故答案为：.9．（2024·高一·全国·课后作业）对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为【答案】【解析】用待定系数法，设对数函数的解析式为，再由其图象过点，求得，得到答案.设对数函数为y=logax，则4=loga16，∴a4=16，∴a=2，∴.故答案为：.10．（2024·高一·上海·专题练习）函数y=f(x)满足；函数g(x)满足，且，，则函数F(x)的表达式可以是【答案】【解析】因为不妨取（且）又，所以，所以，所以；又，不妨取（且），又，所以，所以，所以，又因为所以故答案为：题型四：对数型函数过定点问题11．（2024·高一·河北唐山·期中）已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标．【答案】【解析】由，此时.所以函数的图象过定点.故答案为：12．（2024·高一·上海·随堂练习）对数函数（且）经过定点P，同时点P又经过函数，则P点坐标为，．【答案】2【解析】令，所以，所以对数函数（且）经过定点，同时点P又经过函数，所以，所以．故答案为：；213．（2024·高一·上海·课后作业）函数（且）的图像经过定点．【答案】【解析】当，即时，恒成立，故函数的图象恒过定点，故答案为：．14．设且，函数的图像必经过定点．【答案】【解析】令，得，，所以函数的图像必经过定点.故答案为：.题型五：对数函数的图象问题15．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以；因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以.故选：D16．（2024·高一·江苏镇江·期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】变形为：，即在上恒成立，若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图像，

要想满足在上恒成立，只需，即，解得：，综上：实数a的取值范围是.故选：C17．（2024·高一·四川成都·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象，因此，，，，，，即，故选：C．18．（2024·高一·上海·阶段练习）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函数的图象为减函数可知，，再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象故选：B.题型六：对数函数的定义域19．（2024·高二·四川南充·阶段练习）函数的定义域为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴函数的定义域为，故选：A.20．（2024·吉林白山·二模）函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，符合题意；当时，由，得．综上所述，．故选：A21．（2024·高三·北京·阶段练习）使函数的定义域为的实数取值的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数的定义域为，则时，符合.时，需满足.综上所述，函数的定义域为，则的取值范围是.所以使函数的定义域为的实数取值的一个充分不必要条件是.故选：D22．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数定义域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知恒成立，当时，满足条件，当时，应有，且二次函数的判别式小于0，即且，解得，的取值范围是，故选：C．23．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】显然，又因为函数图象的对称轴方程为，又函数在上单调递增，所以，即，解得，即实数的取值范围是.故选：B.题型七：对数函数的值域与最值24．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是．【答案】【解析】因为，所以的定义域满足，解得，因为在上单调递增，所以令，又，则，易知在上单调递增，则当时，；当时，，所以的值域为.故答案为：.25．（2024·高一·上海·课后作业）函数，，则其最大值与最小值之和为．【答案】【解析】对数函数的底数小于1函数是减函数最大值与最小值之和即为：故答案为：．26．（2024·高一·上海·阶段练习）不等式的值域为，则a的取值范围是．【答案】【解析】根据题意可知，函数的值域应取遍内的所有实数，即需满足，解得或；所以a的取值范围是.故答案为：27．（2024·高一·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则．【答案】6【解析】因为函数由与复合而成，而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值，由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得．故答案为：题型八：对数函数的单调性及其应用28．（2024·高一·江苏南通·期末）已知函数.(1)求的定义域；(2)判断并证明的奇偶性；(3)讨论的单调性.【解析】（1）对于函数，有，解得，所以，函数的定义域为.（2）函数为偶函数，证明如下：函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，故函数为偶函数.（3）因为，令，因为内层函数在上单调递增，在上单调递减，外层函数为上的增函数，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减.29．（2024·高一·浙江宁波·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】二次函数图象的对称轴为，若函数在区间上单调递增，根据复合函数的单调性可得，即，若，则，但是，不一定成立，故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件．故选：A30．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在区间上单调递增，则在区间上单调递减且恒为正，所以且，所以.故选：C.题型九：比较指数幂的大小31．（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）已知，，，则实数的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，而，，故我们构造指数函数，得到，由指数函数性质得在上单调递减，因为，所以，综上可得，故C正确.故选：C32．（2024·高一·江苏徐州·期中）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，，所以.故选：B33．（2024·高一·湖南·期中）已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】定义域为R，有，故为偶函数，则，当时，有，故在上单调递减，在上单调递增，由，又，即，故.故选：A.34．（2024·高二·河北·学业考试）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知，而，所以，即.故选：A题型十：解对数型不等式35．（2024·高一·全国·随堂练习）不等式的解集为．【答案】【解析】由于函数在上递减，所以解得，所以原不等式的解集为，故答案为：.36．（2024·高一·全国·竞赛）不等式的解集为．【答案】【解析】原式化为，得令，且代入整理得，，解得，即，解得．故答案为：37．（2024·高一·河南南阳·期末）已知函数，则不等式的解集是.【答案】【解析】,所以,由于函数为单调递减函数，且当时，，所以，故答案为：38．（2024·高一·山东威海·期末）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为.【答案】【解析】由题意可知，又在上单调递增，则时，，则，根据对数函数的性质可知.故答案为：题型十一：判断对数函数的奇偶性39．（2024·高二·陕西咸阳·开学考试）若函数是偶函数，则（

）A． B．e C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以f-x=fx可得，可得对均成立，所以.故选：A.40．（2024·高一·安徽亳州·期末）已知函数是定义在上的奇函数．(1)求和实数b的值；(2)若满足，求实数t的取值范围．【解析】（1）根据题意可得，

又是定义在上的奇函数，所以，

即，解得（负值舍去）．（2）由（1）可知，，易知函数在上单调递减，由奇函数性质及可得，当时，由复合函数单调性可知在上单调递增，需满足解得；

当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，需满足解得；

．所以当时，；当时，．41．（2024·高一·浙江·期中）已知函数为奇函数.(1)求实数的值；(2)解不等式；(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【解析】（1）函数中，，因为为奇函数，所以f-x=-fx整理得，所以.（2）由（1）可知，其定义域为，由得，即，整理得，解得，所以不等式的解集为0,1.（3）由（2）知，，当时，，故，所以在上值域为，又，，令，则，所以当时，，当时，，所以函数在上值域为，因为对任意的，总存在，使得成立，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为.42．（2024·高一·河南周口·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数.(1)求实数的值；(2)请问是否存在正数，使得当时，函数的值域为，若存在这样的正数，请求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意可得，因为函数为偶函数，所以f-x=fx，即所以，整理得，又因为，所以.（2）由（1）得，令，设，则，因为，所以，，所以，即，所以函数在区间0,+∞上单调递增，又由对数函数的单调性，可知函数在区间0,+∞上单调递增，假设存在正数，使得当时，函数的值域为，则，可得方程有两个不相等的正根，整理为，可得，又由，可得，故方程没有两个不相等的正根，不存在满足题意的正数.题型十二：反函数43．（2024·高一·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设指数函数且，点在的图象上，所以，解得.所以，故反函数.故选：A44．（2024·高一·上海·课后作业）若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为．【答案】【解析】因为既在函数的图象上，又在的反函数的图象上，所以点在函数的图象上，所以，即，解得，所以．故答案为：．45．（2024·高一·全国·专题练习）已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则．【答案】.【解析】根据反函数的性质可知当时，，再根据是奇函数，即可求出的值.∵当时，的图象与函数的图象关于直线对称，∴当时，，∴当时，，又是奇函数，∴．故答案为：.题型十三：对数函数性质的综合应用46．（2024·高一·内蒙古兴安盟·阶段练习）已知函数.(1)求函数的值域；(2)若关于x的方程恰有三个不同的解，求实数a的取值集合；(3)若，且，求实数m的取值范围.【解析】（1）易知的定义域为，设，则，所以的值域为；（2）设，由（1）可知，，令，解得，所以或，解得或，因为恰有三个解，所以或恰有三个解，即恰有一解，所以，解得，所以的取值集合为；（3）设，，因为，所以，即，则的两根为，整理得，，所以，，若，则成立；若，则；又，所以，即；则，所以综上可得，47．（2024·高一·福建宁德·阶段练习）已知函数(1)若时，求该函数的值域；(2)若对恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由题知，，，令，，，，所以该函数的值域为.（2）同（1）令，，即恒成立，，，易知其在上单调递增，，，的取值范围为.48．（2024·高一·贵州黔东南·开学考试）已知函数.(1)解不等式；(2)若，求的取值范围.【解析】（1）由，则，即，所以；（2）因为，由知，，且，，故，即.49．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知函数.(1)设是的反函数，当时，解不等式；(2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；(3)设，若，对任意，求a的取值范围.【解析】（1）因为，所以，则，所以；当时，，解得或，即解集为；（2）若，即，所以的解集中恰好有一个元素，当时，，符合题意：当时，若，解得，此时，满足题意：若，则有两个根，因为，所以两根均满足题意，故不成立：综上：或.（3）因为，在为单调减函数，又为单调增函数，故在上是单调减函数；因为任意，即有，所以，设，则，当时，当时，，因为在上递减，所以，所以，所以实数a的取值范围时，即.【重难点集训】1．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于在上单调递减，令，，因为为减函数，又在区间上单调递增，由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，且在上恒成立，因为为二次函数，开口向下，对称轴为，由在上单调递减，可得，解得，由在上恒成立，即，，可得在上恒成立，则，综上，实数a的取值范围为故选：D2．若函数（，为常数）在区间上有最大值，则在区间上（

）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值【答案】C【解析】设，则，所以是奇函数，在上有最大值，则在上有最大值，所以在上有最小值，于是在区间上有最小值，故选：C．3．设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，其中，，所以，故，所以.故选：D.4．设，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在R上单调递增，且，所以，即，因为函数在0,+∞上单调递减，且，所以，即；因为函数在0,+∞上单调递增，且，所以，即；所以.故选B.5．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，单调递增，又，故在上的值域为，又在上的值域为，故是在上的值域的子集；又当x<1时，；当时，显然不满足题意；当时，在上单调递减，故在上的值域为不满足题意；当时，在上单调递增，故在上的值域为，若满足题意，则，即，故.综上所述，的取值范围为.故选：B.6．若函数的定义域为，则的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，由，可得，所以的定义域为，所以，又，设，将原问题转化为求的值域，由二次函数性质可知在上单调递增，所以.故选：A.7．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为在3,4上单调递减，则对任意的恒成立，可得且；且开口向下，对称轴，当时，则对称轴，可知在3,4内单调递减，且在定义域内单调递减，所以在3,4上单调递增，不合题意；当时，因为在定义域内单调递增，可知在3,4内单调递减，则，解得；综上所述：的取值范围是.故选：C.8．已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若0<a<1，则在1,2上恒成立，不符合条件．若，则fx在1,2上单调递增，得解得.故选：D.9．函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则函数f(x)的定义域为，关于原点对称，又，所以函数f(x)为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.10．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的值域为B．关于原点对称C．在上单调递增D．在上的最大值、最小值分别为、，则【答案】ABD【解析】对于A，，所以，则，即恒成立，所以的定义域为，且当趋于无穷大时，接近于0，当趋于无穷小时，趋于无穷大，所以的值域为，故A正确；对于B，因为，令，则，易知的定义域为，又，所以为奇函数，关于原点对称，即关于原点对称，故B正确；对于C，因为在上递减，而将的图象向右平移一个单位可得的图象，所以在上单调递减，故C错误；对于D，因为在上递减，且为奇函数，则，在上为减函数，而将的图象向右平移一个单位可得的图象，在上为减函数，即在上单调递减，则，故D正确.故选：ABD.11．（多选题）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A，因为是偶函数，不合题意，故A错误；对于B，是奇函数，且在上单调递增，故B正确；对于C，函数，当时，，而时，，所以在上不单调递增，故C错误；对于D，令，因为，在上单调递增，所以在上单调递增，又，，所以是奇函数，故D正确.故选：BD.12．（多选题）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对任意，都有，则在上单调递增；所以是在上单调递增的奇函数.对于A，函数定义域为，，不是奇函数，A错误；对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数，，所以是在上单调递增的奇函数，B正确；对于C，，易知在上单调递减，C错误；对于D，函数定义域为R，函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，所以在上单调递增，，是奇函数，D正确.故选：BD.13．已知函数为上增函数，写出一个满足要求的的解析式【答案】（答案不唯一）【解析】的解析式为（答案不唯一），理由如下，因为时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递增，且，所以时，函数为上的增函数，故答案为：（答案不唯一）14．设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由，得，记为，由，得，且，当时，，因为p是q的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，则，所以；当时，，显然满足题意；当时，，则集合是集合的真子集，则，所以；综上所述，实数的取值范围为0,4，故答案为：0,4.15．已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】由题意可知，在上单调递减，令，则在上单调递减，且在上恒成立，所以，解得，故答案为：16．函数.(1)当时，求该函数的值域；(2)若对于恒成立，求的取值范围.【解析】（1），，，令，则，易知单调递减，该函数值域为即；（2）令，则在上恒成立，当时，恒成立，；当时，等价于恒成立，令.当且仅当时取等号，.综上，.17．已知非常数函数是定义域为的奇函数．(1)求实数的值；(2)判断并证明函数的单调性；(3)已知，且，求的取值范围．【解析】（1）函数为上的奇函数，则，且，即，整理得，即，于是，解得，，当，时，，此时，函数无意义；当，时，，函数无意义；当，时，，函数为常数函数，不符合要求；当，时，，定义域为，符合题意，所以，.（2）由（1）知，，函数在上单调递增，而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，，则，，于是，而函数在上单调递增，因此，即，所以函数在上单调递增.（3）由（2）知，函数在上单调递增，则，，由，，，得，因此，，当时，，，，当且仅当时取等号，于是，所以的取值范围是.18．已知函数，关于的不等式的解集为，且.(1)求的值；(2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）由可得，又，所以，又因为的解集为，所以，因为，所以，即，解得或，因为，所以；（2）由（1）可得，令，则，设，①当时，在上单调递增，则，解得，符合要求；②当时，在