2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）3.3 幂函数（九大题型）

3.3幂函数目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：幂函数的概念 2题型二：求函数解析式 3题型三：定义域问题 3题型四：值域问题 4题型五：幂函数的图象 6题型六：定点问题 9题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 10题型八：比较大小 11题型九：幂函数性质的综合运用 12【重难点集训】 17【高考真题】 29【题型归纳】题型一：幂函数的概念1．（2024·高一·河北沧州·期末）下列函数是幂函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】B项可化为，根据幂函数的概念，可知函数是幂函数，即函数是幂函数.ACD均不是幂函数.故选：B.2．（2024·高一·河北·期中）下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数，对于A，是二次函数；对于B，是一次函数；对于C，，由前的系数不为，故不是幂函数；对于D，满足幂函数的概念，故是幂函数.故选D.3．（2024·高一·陕西·期中）下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据幂函数的定义：形如，而，符合幂函数的定义,正确.ABD在形式上都不符合幂函数定义，错误.故选：C4．（2024·高二·陕西咸阳·期末）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B题型二：求函数解析式5．（2024·高一·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为.【答案】16【解析】设，由可得可得.故，则.故答案为：166．（2024·高一·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是.【答案】【解析】设，由图像过点可得，解得.故答案为：7．（2024·高一·北京·期中）已知幂函数的图象过点，则，．【答案】【解析】幂函数的图象过点，设，则有，解得，所以，.故答案为：；.题型三：定义域问题8．（2024·高一·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，依题意可得，解得，所以，所以的定义域为，值域为，且，对于函数，则，解得，即函数的定义域是.故选：B9．（2024·高一·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设幂函数为，则，故，，则的定义域为，故满足，解得.故选：A10．（2024·高一·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知解得，所以f(x)的定义域为．故选：B．11．（2024·高一·湖北·期中）函数的定义域是（

）A．-∞,1 B． C． D．【答案】B【解析】因为，则有，解得且，因此的定义域是．故选：B.题型四：值域问题12．（2024·高一·全国·课后作业）（1）函数的定义域是，值域是；（2）函数的定义域是，值域是；（3）函数的定义域是，值域是；（4）函数的定义域是，值域是．【答案】【解析】（1）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,（2）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,（3）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,（4）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,故答案为：（1）;,（2）;,（3）;,（4）;.13．（2024·高二·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数，且．(1)求的解析式；(2)求函数在上的值域．【解析】（1）因为，所以，整理得，即或（舍去），则，故．（2）由（1）可知，．因为，所以，，所以．故在上的值域为．题型五：幂函数的图象14．（2024·高一·广东茂名·期末）若幂函数的图象经过第三象限，则的值可以是（

）A．-2 B．2 C． D．3【答案】D【解析】A：当时，，图像为：故A错误；B：当时，，图像为：故B错误；C：当时，，图像为：故C错误；D：当时，，图像为：故D正确；故选：D15．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在0,+∞上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意结合图象可知.故选：B.16．（2024·高一·全国·期中）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】设幂函数，则，即，解得，即，的定义域是，，函数为偶函数，由，则在上递增且越来越慢.故选：A.17．（2024·高一·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增；当时，易知为幂函数，在单调递增.故函数,图象如图所示:要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到.故选：C.题型六：定点问题18．（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为.【答案】【解析】因为的图象恒过，所以的图象恒过定点.故答案为：19．（2024·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是．【答案】【解析】因为，故当，即时，，即函数恒过定点.故答案为：.20．（2024·高一·北京·期末）幂函数的图象恒过点，若幂函数的图象过点，则此函数的解析式是．【答案】【解析】由幂函数的性质知：在第一象限恒过，设幂函数，则，即，故.故答案为：，.21．（2024·高一·全国·课后作业）函数恒过定点．【答案】【解析】当，即时，，函数恒过定点.故答案为：.题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题22．（2024·高一·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为．【答案】【解析】因为幂函数在上单调递减，所以，解得，又，所以或，当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意；当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去，所以，不等式为，因为函数在和上单调递减，所以或或，解得或.故答案为：.23．（2024·高一·四川南充·期末）若，则实数的取值范围为.【答案】【解析】考虑函数.因为函数的单调递减区间为和.所以不等式等价于或者或者，解得：或.所以实数的取值范围为：.故答案为：24．（2024·高一·重庆永川·期中）已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为【答案】【解析】由函数为幂函数得，解得或，又函数在上是减函数，则，即，所以，所以；所以不等式为，设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.25．（2024·高一·江苏盐城·阶段练习）函数，则不等式的解集为．【答案】【解析】由题意知，幂函数在上单调递减，由，得，解得，即不等式的解集为.故答案为：题型八：比较大小26．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，又在第一象限内是增函数，，所以，即.故选：D.27．（2024·高一·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以在上单调递增，又因为，所以，所以.故选：C.28．（2024·高一·黑龙江双鸭山·阶段练习）若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设函数，则在0,+∞上单调递增，故，即，又，即.故选：B．题型九：幂函数性质的综合运用29．（2024·高一·陕西西安·期末）已知幂函数为偶函数，．(1)求的解析式；(2)若对于恒成立，求的取值范围．【解析】（1）因为幂函数为偶函数，所以，解得或，当时，，定义域为R，，所以为偶函数，符合条件；当时，，定义域为R，，所以为奇函数，舍去；所以.（2）因为，所以对于恒成立，即对于恒成立，等价于对于恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，故，则.30．（2024·高一·安徽阜阳·期末）已知幂函数的图象过点．(1)求实数m的值；(2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增．【解析】（1）由幂函数的定义可知，解得，当时，，又的图象不过点，显然不满足题意；当时，，将点代入得，综上所述，．（2）由（1）可知，，则，任取，且，则，因为，所以，，则，，所以，则，所以，则，即，故在1,+∞上单调递增．31．（2024·高一·广西河池·期末）已知幂函数的图象过点.(1)求函数的解析式；(2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）设函数，由的图象过点，得，解得，所以函数的解析式是.（2）由（1）知，，则，由，得，即，令，依题意，任意，，而函数在上单调递减，，因此，所以实数的取值范围是.32．（2024·高一·江苏淮安·期末）已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，．(1)求的值；(2)当时，求的表达式；(3)若函数在区间（）上的值域为，求的值．【解析】（1）因为，，所以，故是奇函数，且为其一个周期，且关于轴对称，所以；（2）结合（1）的结论可令，则，所以；（3）由（1）（2）可知，由二次函数单调性可知在上单调递增，且，所以，则，若，则，此时，若，则，此时，若，则，此时.故的值为或或.33．（2024·高一·广西钦州·开学考试）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”.(1)函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由；(2)已知函数.①函数是在上的“美好函数”，求的值；②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值.【解析】（1）①因为，所以，所以，，得，故是在上的“美好函数”；②因为，所以，所以，，得，故不是在上的“美好函数”；③因为，所以，所以，，得，故不是在上的“美好函数”（2）①由题得，当，可知所以，当时，，此时，，因为函数是在上的“美好函数”所以有；当时，，此时，，因为函数是在上的“美好函数”所以有；故②由题可知此时，函数，可知此时，函数的对称轴为且开口向上；当时，此时函数在上单调递减，此时，，因为函数是在上的“美好函数”所以有，解得；当时，此时函数在上单调递减，在单调递增，所以当时，，因为函数是在上的“美好函数”所以有；令，解得或所以此时（舍去），（舍去）当时，此时函数在上单调递増，此时，，因为函数是在上的“美好函数”所以有，解得；综上所述：或34．（2024·高一·贵州六盘水·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.(1)求证：是函数的一个“优美区间”；(2)求证：函数不存在“优美区间”；(3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值.【解析】（1）在区间上单调递增，又，当时，，根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”；（2），设，可设或，则函数在上单调递增.若是的“优美区间”，则是方程的两个同号且不等的实数根.方程无解.函数不存在“优美区间”.（3），设.有“优美区间”，或，在上单调递增.若是函数hx的“优美区间”，则，是方程，即（*）的两个同号且不等的实数根.，或，由（*）式得.，或，当时，取得最大值..【重难点集训】1．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．-1,0 C． D．【答案】B【解析】函数在上单调递增，当时，单调递增，当时，也需要单调递增，所以，解得，故B正确.故选：B.2．（2024·高一·四川绵阳·开学考试）若，则这四个数中（

）A．最大，最小 B．最大，最小C．最大，最小 D．最大，最小【答案】D【解析】当，结合幂函数图象，可得，所以最大，最小.故选：.3．（2024·高二·湖南·学业考试）已知，且函数在上是增函数，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】因为函数在上是增函数，所以，解得，又，所以.故选：C4．（2024·高一·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（

）A． B． C．0 D．3【答案】B【解析】因为函数是偶函数且在上是增函数，所以函数在0,+∞上单调递减，所以，即，解得，又因为，所以或或，当或时，，此时为奇函数，不满足题意；当时，，此时为偶函数，满足题意；所以.故选：B5．（2024·高一·广东茂名·阶段练习）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】为定义在上的奇函数，因为当时，，所以，故在上单调递增，根据奇函数的性质可知在上单调递增，因为，所以，由不等式可得，，解得，，故解集为.故选：D.6．（2024·高一·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为幂函数是上的偶函数，则，解得或，当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意；当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.所以，则，其对称轴方程为，因为在区间上单调递减，则，解得.故选：C．7．（2024·高一·江苏常州·期末）已知幂函数的图象经过点，则（

）A．为偶函数且在区间上单调递增B．为偶函数且在区间上单调递减C．为奇函数且在区间上单调递增D．为奇函数且在区间上单调递减【答案】B【解析】设幂函数为，因为幂函数的图象经过点，所以，解得，故，定义域为，定义域关于原点对称，，所以为偶函数，又因为，所以在区间上单调递减，故选：B.8．（2024·高一·甘肃庆阳·期末）已知定义在上的奇函数在时满足，且在有解，则实数的值可以为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABC【解析】当时，函数单调递增，值域为，由在R上为奇函数，则上函数也递增，值域为，且，综上，在R上单调递增，因为，所以，所以，所以，即在有解，当时，所以.故选：ABC9．（多选题）（2024·高一·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．函数的最小值是2【答案】BC【解析】对于A选项，取，，，则，故A错误；对于B选项，由，根据幂函数的单调性知，又，则，故B正确；对于C选项，由，则，，即，故C正确；对于D选项，函数，令，由函数在上单调递增，则，故D错误.故选：BC10．（多选题）（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（

）A．函数为增函数B．函数为偶函数C．若，则D．若，则【答案】ACD【解析】将点代入函数得：，则．所以，显然在定义域上为增函数，所以A正确．的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确．当时，，即，所以C正确．当时，即成立，所以D正确．故选：ACD．11．（多选题）（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（

）A．的定义域为B．的值域为C．在区间上单调递减D．的图象关于点对称【答案】ACD【解析】对于选项A，因为f(x)=x-3=1x3，所以，得到的定义域为对于选项B，由f(x)=1x3知，所以选项对于选项C，任取，且，则f(x1)-f(因为，所以，x23⋅x1所以，即，所以选项C正确，对于选项D，因为定义域关于原点对称，又f(-x)=1(-x)3=-1故选：ACD.12．（多选题）（2024·高一·福建·期中）已知函数，则以下说法正确的是（

）A．若，则是R上的减函数B．若，则有最小值C．若，则的值域为D．若，则存在，使得【答案】BC【解析】对于A，若，，在和上单调递减，故A错误；对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1,故B正确；对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；对于D，若，当时，；当，即时，；当，即时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.故选：BC13．（2024·高二·湖南·开学考试）已知幂函数在0,+∞上单调递减，则.【答案】【解析】由题意可得为幂函数，则，解得或.当时，为增函数，不符合题意；当时，在0,+∞单调递减，符合题意.故答案为:.14．（2024·高一·四川内江·阶段练习）若幂函数过，则满足不等式的实数的取值范围是.【答案】【解析】设，由题意可得：，解得，即，可知为定义在上的偶函数，且在内单调递减，在内单调递增，若，可得，整理可得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.15．（2024·高一·江苏镇江·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：．①；②对于任意两个不同的正数，都有恒成立；③对于任意两个不同的实数，都有．【答案】（答案不唯一）【解析】当时，对于①，，故满足①；对于②，由对于任意两个不同的正数，都有恒成立，得函数在0,+∞上单调递增，而函数在0,+∞上单调递增，故满足②；对于③，任取，则，因为，所以，即，所以，故满足③.故答案为：（答案不唯一）.16．（2024·高一·上海·随堂练习）若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有个．【答案】（答案不唯一）4【解析】作出五个函数图象，如图：由图可知：图像与、、、的图象有1个、1个，2个、2个交点；图像与、、的图像有1个、1个，1个交点；图像与、的图像有2个、2个交点；图像与的图像有3个交点.综上可得，函数与的图象若有1个交点，则，，，，；满足函数与的图像恰有两个交点的集合有4个：，，，．故答案为：（答案不唯一）；4.17．（2024·高一·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点．(1)求，的表达式；(2)求当为何值时：①；②；③．【解析】（1），∵图象过点，故，解得，∴；，∵图象过点，∴，解得．∴．（2）在同一平面直角坐标系中作出与的图象，如图所示．由图象可知，、的图象均过点-1,1和．所以①当或时，；②当或时，；③当且时，．18．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）已知幂函数满足.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）由是幂函数，可得，解得或；当时，在上单调递减，不满足；当时，在上单调递增，满足，故.（2）由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增，又，所以解得，所以实数的取值范围是.19．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，.(1)求的解析式；(2)在时，解不等式；(3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）因为是幂函数，所以有，或，当时，函数在区间上是单调递减，不符合题意；当时，在区间上是单调递增，符合题意，所以，因为函数是定义域为R的奇函数，则，所以当时，因此的解析式为：；（2）因为时，，所以由，又，所以，所以不等式的解集为；（3）当时，，此时函数单调递增，且，当时，，此时函数单调递增，且，而，因此奇函数是R上的增函数，于是由恒成立，又，所以，所以实数的取值范围为.20．（2024·高一·广东江门·期中）已知幂函数y=fx的图象过点．(1)求此函数的解析式．(2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减．(3)判断函数的奇偶性并说明理由．【解析】（1）由题意，设，则，故，所以；（2）设任意且，则，而，，，故，即函数在上单调递减．（3）函数的定义域为，不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数．21．（2024·高一·山东济南·阶段练习）已知幂函数是偶函数.(1)求函数的解析式；(2)若，求x的取值范围；(3)若，对任