2024-2025学年高一数学同步试题(人教A版2019)3.3 幂函数(九大题型)_第1页
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3.3幂函数目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一:幂函数的概念 2题型二:求函数解析式 3题型三:定义域问题 3题型四:值域问题 4题型五:幂函数的图象 6题型六:定点问题 9题型七:利用幂函数的单调性求解不等式问题 10题型八:比较大小 11题型九:幂函数性质的综合运用 12【重难点集训】 17【高考真题】 29【题型归纳】题型一:幂函数的概念1.(2024·高一·河北沧州·期末)下列函数是幂函数的是(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】B项可化为,根据幂函数的概念,可知函数是幂函数,即函数是幂函数.ACD均不是幂函数.故选:B.2.(2024·高一·河北·期中)下列函数是幂函数的是(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数,对于A,是二次函数;对于B,是一次函数;对于C,,由前的系数不为,故不是幂函数;对于D,满足幂函数的概念,故是幂函数.故选D.3.(2024·高一·陕西·期中)下列函数是幂函数的是(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】根据幂函数的定义:形如,而,符合幂函数的定义,正确.ABD在形式上都不符合幂函数定义,错误.故选:C4.(2024·高二·陕西咸阳·期末)现有下列函数:①;②;③;④;⑤;⑥;⑦,其中幂函数的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】幂函数满足形式,故,满足条件,共2个故选:B题型二:求函数解析式5.(2024·高一·浙江杭州·期中)若函数是幂函数,且满足,则的值为.【答案】16【解析】设,由可得可得.故,则.故答案为:166.(2024·高一·浙江杭州·期中)若幂函数的图像过点,则此函数的解析式是.【答案】【解析】设,由图像过点可得,解得.故答案为:7.(2024·高一·北京·期中)已知幂函数的图象过点,则,.【答案】【解析】幂函数的图象过点,设,则有,解得,所以,.故答案为:;.题型三:定义域问题8.(2024·高一·福建龙岩·期末)若幂函数的图象过点,则的定义域是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】设,依题意可得,解得,所以,所以的定义域为,值域为,且,对于函数,则,解得,即函数的定义域是.故选:B9.(2024·高一·广东广州·期中)幂函数图象过点,则的定义域为(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】设幂函数为,则,故,,则的定义域为,故满足,解得.故选:A10.(2024·高一·黑龙江绥化·期末)函数的定义域为(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知解得,所以f(x)的定义域为.故选:B.11.(2024·高一·湖北·期中)函数的定义域是(

)A.-∞,1 B. C. D.【答案】B【解析】因为,则有,解得且,因此的定义域是.故选:B.题型四:值域问题12.(2024·高一·全国·课后作业)(1)函数的定义域是,值域是;(2)函数的定义域是,值域是;(3)函数的定义域是,值域是;(4)函数的定义域是,值域是.【答案】【解析】(1)幂函数图像如图所示,定义域为,值域为,(2)幂函数图像如图所示,定义域为,值域为,(3)幂函数图像如图所示,定义域为,值域为,(4)幂函数图像如图所示,定义域为,值域为,故答案为:(1);,(2);,(3);,(4);.13.(2024·高二·辽宁抚顺·阶段练习)已知函数,且.(1)求的解析式;(2)求函数在上的值域.【解析】(1)因为,所以,整理得,即或(舍去),则,故.(2)由(1)可知,.因为,所以,,所以.故在上的值域为.题型五:幂函数的图象14.(2024·高一·广东茂名·期末)若幂函数的图象经过第三象限,则的值可以是(

)A.-2 B.2 C. D.3【答案】D【解析】A:当时,,图像为:故A错误;B:当时,,图像为:故B错误;C:当时,,图像为:故C错误;D:当时,,图像为:故D正确;故选:D15.(2024·湖南岳阳·模拟预测)如图,已知幂函数在0,+∞上的图象分别是下降,急速上升,缓慢上升,则(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意结合图象可知.故选:B.16.(2024·高一·全国·期中)已知幂函数的图象经过点,则函数的图象大致为(

)A.

B.

C.

D.

【答案】A【解析】设幂函数,则,即,解得,即,的定义域是,,函数为偶函数,由,则在上递增且越来越慢.故选:A.17.(2024·高一·山东济南·期末)已知函数则的图象大致为(

)A.

B.

C.

D.

【答案】C【解析】结合题意可得:当时,易知为幂函数,在单调递增;当时,易知为幂函数,在单调递增.故函数,图象如图所示:要得到,只需将的图象沿轴对称即可得到.故选:C.题型六:定点问题18.(2024·高一·陕西渭南·阶段练习)已知函数(为不等于0的常数)的图象恒过定点P,则P点的坐标为.【答案】【解析】因为的图象恒过,所以的图象恒过定点.故答案为:19.(2024·高一·上海静安·期中)不论实数取何值,函数恒过的定点坐标是.【答案】【解析】因为,故当,即时,,即函数恒过定点.故答案为:.20.(2024·高一·北京·期末)幂函数的图象恒过点,若幂函数的图象过点,则此函数的解析式是.【答案】【解析】由幂函数的性质知:在第一象限恒过,设幂函数,则,即,故.故答案为:,.21.(2024·高一·全国·课后作业)函数恒过定点.【答案】【解析】当,即时,,函数恒过定点.故答案为:.题型七:利用幂函数的单调性求解不等式问题22.(2024·高一·天津·期中)若幂函数的图象关于轴对称,且在上单调递减,则满足的的取值范围为.【答案】【解析】因为幂函数在上单调递减,所以,解得,又,所以或,当时,幂函数为,图象关于y轴对称,满足题意;当时,幂函数为,图象不关于y轴对称,舍去,所以,不等式为,因为函数在和上单调递减,所以或或,解得或.故答案为:.23.(2024·高一·四川南充·期末)若,则实数的取值范围为.【答案】【解析】考虑函数.因为函数的单调递减区间为和.所以不等式等价于或者或者,解得:或.所以实数的取值范围为:.故答案为:24.(2024·高一·重庆永川·期中)已知幂函数在上是减函数,.若,则实数的取值范围为【答案】【解析】由函数为幂函数得,解得或,又函数在上是减函数,则,即,所以,所以;所以不等式为,设函数,则函数的定义域为,且函数在上单调递减,所以,解得,所以实数的取值范围是.故答案为:.25.(2024·高一·江苏盐城·阶段练习)函数,则不等式的解集为.【答案】【解析】由题意知,幂函数在上单调递减,由,得,解得,即不等式的解集为.故答案为:题型八:比较大小26.(2024·高一·广东佛山·阶段练习)若,,,则a、b、c的大小关系是(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,,,又在第一象限内是增函数,,所以,即.故选:D.27.(2024·高一·云南昆明·期中)已知幂函数且,则下列选项中正确的是(

)A. B.C. D.【答案】C【解析】因为,所以在上单调递增,又因为,所以,所以.故选:C.28.(2024·高一·黑龙江双鸭山·阶段练习)若,,,则(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】设函数,则在0,+∞上单调递增,故,即,又,即.故选:B.题型九:幂函数性质的综合运用29.(2024·高一·陕西西安·期末)已知幂函数为偶函数,.(1)求的解析式;(2)若对于恒成立,求的取值范围.【解析】(1)因为幂函数为偶函数,所以,解得或,当时,,定义域为R,,所以为偶函数,符合条件;当时,,定义域为R,,所以为奇函数,舍去;所以.(2)因为,所以对于恒成立,即对于恒成立,等价于对于恒成立,因为,当且仅当,即时,等号成立,所以,故,则.30.(2024·高一·安徽阜阳·期末)已知幂函数的图象过点.(1)求实数m的值;(2)设函数,用单调性的定义证明:在上单调递增.【解析】(1)由幂函数的定义可知,解得,当时,,又的图象不过点,显然不满足题意;当时,,将点代入得,综上所述,.(2)由(1)可知,,则,任取,且,则,因为,所以,,则,,所以,则,所以,则,即,故在1,+∞上单调递增.31.(2024·高一·广西河池·期末)已知幂函数的图象过点.(1)求函数的解析式;(2)设函数,若对任意恒成立,求实数的取值范围.【解析】(1)设函数,由的图象过点,得,解得,所以函数的解析式是.(2)由(1)知,,则,由,得,即,令,依题意,任意,,而函数在上单调递减,,因此,所以实数的取值范围是.32.(2024·高一·江苏淮安·期末)已知是定义在R上的函数,满足:,,且当时,.(1)求的值;(2)当时,求的表达式;(3)若函数在区间()上的值域为,求的值.【解析】(1)因为,,所以,故是奇函数,且为其一个周期,且关于轴对称,所以;(2)结合(1)的结论可令,则,所以;(3)由(1)(2)可知,由二次函数单调性可知在上单调递增,且,所以,则,若,则,此时,若,则,此时,若,则,此时.故的值为或或.33.(2024·高一·广西钦州·开学考试)若函数在上的最大值记为,最小值记为,且满足,则称函数是在上的“美好函数”.(1)函数①;②;③,哪个函数是在上的“美好函数”,并说明理由;(2)已知函数.①函数是在上的“美好函数”,求的值;②当时,函数是在上的“美好函数”,求的值.【解析】(1)①因为,所以,所以,,得,故是在上的“美好函数”;②因为,所以,所以,,得,故不是在上的“美好函数”;③因为,所以,所以,,得,故不是在上的“美好函数”(2)①由题得,当,可知所以,当时,,此时,,因为函数是在上的“美好函数”所以有;当时,,此时,,因为函数是在上的“美好函数”所以有;故②由题可知此时,函数,可知此时,函数的对称轴为且开口向上;当时,此时函数在上单调递减,此时,,因为函数是在上的“美好函数”所以有,解得;当时,此时函数在上单调递减,在单调递增,所以当时,,因为函数是在上的“美好函数”所以有;令,解得或所以此时(舍去),(舍去)当时,此时函数在上单调递増,此时,,因为函数是在上的“美好函数”所以有,解得;综上所述:或34.(2024·高一·贵州六盘水·期末)对于定义域为的函数,如果存在区间,同时满足:①在上是单调函数;②当时,,则称是该函数的“优美区间”.(1)求证:是函数的一个“优美区间”;(2)求证:函数不存在“优美区间”;(3)已知函数有“优美区间”,当取得最大值时求的值.【解析】(1)在区间上单调递增,又,当时,,根据“优美区间”的定义,是的一个“优美区间”;(2),设,可设或,则函数在上单调递增.若是的“优美区间”,则是方程的两个同号且不等的实数根.方程无解.函数不存在“优美区间”.(3),设.有“优美区间”,或,在上单调递增.若是函数hx的“优美区间”,则,是方程,即(*)的两个同号且不等的实数根.,或,由(*)式得.,或,当时,取得最大值..【重难点集训】1.(2024·高一·河南郑州·阶段练习)已知函数在上单调递增,则的取值范围是(

)A. B.-1,0 C. D.【答案】B【解析】函数在上单调递增,当时,单调递增,当时,也需要单调递增,所以,解得,故B正确.故选:B.2.(2024·高一·四川绵阳·开学考试)若,则这四个数中(

)A.最大,最小 B.最大,最小C.最大,最小 D.最大,最小【答案】D【解析】当,结合幂函数图象,可得,所以最大,最小.故选:.3.(2024·高二·湖南·学业考试)已知,且函数在上是增函数,则(

)A. B. C. D.3【答案】C【解析】因为函数在上是增函数,所以,解得,又,所以.故选:C4.(2024·高一·湖北·阶段练习)已知幂函数是偶函数,且在上是增函数,则(

)A. B. C.0 D.3【答案】B【解析】因为函数是偶函数且在上是增函数,所以函数在0,+∞上单调递减,所以,即,解得,又因为,所以或或,当或时,,此时为奇函数,不满足题意;当时,,此时为偶函数,满足题意;所以.故选:B5.(2024·高一·广东茂名·阶段练习)设为定义在上的奇函数,当时,(为常数),则不等式的解集为(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】为定义在上的奇函数,因为当时,,所以,故在上单调递增,根据奇函数的性质可知在上单调递增,因为,所以,由不等式可得,,解得,,故解集为.故选:D.6.(2024·高一·吉林延边·期末)已知幂函数是上的偶函数,且函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】因为幂函数是上的偶函数,则,解得或,当时,,该函数是定义域为的奇函数,不合乎题意;当时,,该函数是定义域为的偶函数,合乎题意.所以,则,其对称轴方程为,因为在区间上单调递减,则,解得.故选:C.7.(2024·高一·江苏常州·期末)已知幂函数的图象经过点,则(

)A.为偶函数且在区间上单调递增B.为偶函数且在区间上单调递减C.为奇函数且在区间上单调递增D.为奇函数且在区间上单调递减【答案】B【解析】设幂函数为,因为幂函数的图象经过点,所以,解得,故,定义域为,定义域关于原点对称,,所以为偶函数,又因为,所以在区间上单调递减,故选:B.8.(2024·高一·甘肃庆阳·期末)已知定义在上的奇函数在时满足,且在有解,则实数的值可以为(

)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】ABC【解析】当时,函数单调递增,值域为,由在R上为奇函数,则上函数也递增,值域为,且,综上,在R上单调递增,因为,所以,所以,所以,即在有解,当时,所以.故选:ABC9.(多选题)(2024·高一·福建福州·阶段练习)下列说法正确的是(

)A.若,则 B.若,则C.若,则 D.函数的最小值是2【答案】BC【解析】对于A选项,取,,,则,故A错误;对于B选项,由,根据幂函数的单调性知,又,则,故B正确;对于C选项,由,则,,即,故C正确;对于D选项,函数,令,由函数在上单调递增,则,故D错误.故选:BC10.(多选题)(2024·高一·广东佛山·阶段练习)已知函数图象经过点,则下列命题正确的有(

)A.函数为增函数B.函数为偶函数C.若,则D.若,则【答案】ACD【解析】将点代入函数得:,则.所以,显然在定义域上为增函数,所以A正确.的定义域为,所以不具有奇偶性,所以B不正确.当时,,即,所以C正确.当时,即成立,所以D正确.故选:ACD.11.(多选题)(2024·高一·江苏镇江·阶段练习)关于幂函数,下列结论正确的是(

)A.的定义域为B.的值域为C.在区间上单调递减D.的图象关于点对称【答案】ACD【解析】对于选项A,因为f(x)=x-3=1x3,所以,得到的定义域为对于选项B,由f(x)=1x3知,所以选项对于选项C,任取,且,则f(x1)-f(因为,所以,x23⋅x1所以,即,所以选项C正确,对于选项D,因为定义域关于原点对称,又f(-x)=1(-x)3=-1故选:ACD.12.(多选题)(2024·高一·福建·期中)已知函数,则以下说法正确的是(

)A.若,则是R上的减函数B.若,则有最小值C.若,则的值域为D.若,则存在,使得【答案】BC【解析】对于A,若,,在和上单调递减,故A错误;对于B,若,,当时,,在区间上单调递减,,则有最小值1,故B正确;对于C,若,,当时,,在区间上单调递减,;当时,,在区间上单调递增,,则的值域为,故C正确;对于D,若,当时,;当,即时,;当,即时,,即当时,,所以不存在,使得,故D错误.故选:BC13.(2024·高二·湖南·开学考试)已知幂函数在0,+∞上单调递减,则.【答案】【解析】由题意可得为幂函数,则,解得或.当时,为增函数,不符合题意;当时,在0,+∞单调递减,符合题意.故答案为:.14.(2024·高一·四川内江·阶段练习)若幂函数过,则满足不等式的实数的取值范围是.【答案】【解析】设,由题意可得:,解得,即,可知为定义在上的偶函数,且在内单调递减,在内单调递增,若,可得,整理可得,解得,所以实数的取值范围是.故答案为:.15.(2024·高一·江苏镇江·期中)写出一个同时具有下列性质①②③的函数:.①;②对于任意两个不同的正数,都有恒成立;③对于任意两个不同的实数,都有.【答案】(答案不唯一)【解析】当时,对于①,,故满足①;对于②,由对于任意两个不同的正数,都有恒成立,得函数在0,+∞上单调递增,而函数在0,+∞上单调递增,故满足②;对于③,任取,则,因为,所以,即,所以,故满足③.故答案为:(答案不唯一).16.(2024·高一·上海·随堂练习)若,且函数与的图象若有1个交点,则写出一个符合条件的集合;若有两个交点,则满足条件的不同集合A有个.【答案】(答案不唯一)4【解析】作出五个函数图象,如图:由图可知:图像与、、、的图象有1个、1个,2个、2个交点;图像与、、的图像有1个、1个,1个交点;图像与、的图像有2个、2个交点;图像与的图像有3个交点.综上可得,函数与的图象若有1个交点,则,,,,;满足函数与的图像恰有两个交点的集合有4个:,,,.故答案为:(答案不唯一);4.17.(2024·高一·全国·课后作业)已知幂函数的图象过点,幂函数的图象过点.(1)求,的表达式;(2)求当为何值时:①;②;③.【解析】(1),∵图象过点,故,解得,∴;,∵图象过点,∴,解得.∴.(2)在同一平面直角坐标系中作出与的图象,如图所示.由图象可知,、的图象均过点-1,1和.所以①当或时,;②当或时,;③当且时,.18.(2024·高一·河南洛阳·阶段练习)已知幂函数满足.(1)求的解析式;(2)若,求实数的取值范围.【解析】(1)由是幂函数,可得,解得或;当时,在上单调递减,不满足;当时,在上单调递增,满足,故.(2)由(1)知,则函数的定义域为,且函数在上单调递增,又,所以解得,所以实数的取值范围是.19.(2024·高一·江苏宿迁·阶段练习)已知幂函数在区间上是单调递增,定义域为R的奇函数满足时,.(1)求的解析式;(2)在时,解不等式;(3)若对于任意实数,都有恒成立,求实数的取值范围.【解析】(1)因为是幂函数,所以有,或,当时,函数在区间上是单调递减,不符合题意;当时,在区间上是单调递增,符合题意,所以,因为函数是定义域为R的奇函数,则,所以当时,因此的解析式为:;(2)因为时,,所以由,又,所以,所以不等式的解集为;(3)当时,,此时函数单调递增,且,当时,,此时函数单调递增,且,而,因此奇函数是R上的增函数,于是由恒成立,又,所以,所以实数的取值范围为.20.(2024·高一·广东江门·期中)已知幂函数y=fx的图象过点.(1)求此函数的解析式.(2)根据单调性的定义,证明函数在上单调递减.(3)判断函数的奇偶性并说明理由.【解析】(1)由题意,设,则,故,所以;(2)设任意且,则,而,,,故,即函数在上单调递减.(3)函数的定义域为,不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.21.(2024·高一·山东济南·阶段练习)已知幂函数是偶函数.(1)求函数的解析式;(2)若,求x的取值范围;(3)若,对任

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