2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）3.2.2 奇偶性（九大题型）

3.2.2奇偶性目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：函数的奇偶性的判断与证明 2题型二：已知函数的奇偶性求表达式 3题型三：已知函数的奇偶性求值 5题型四：已知函数的奇偶性求参数 6题型五：已知奇函数+M 7题型六：抽象函数的奇偶性问题 9题型七：奇偶性与单调性的综合运用 11题型八：利用函数奇偶性识别图像 13题型九：奇偶性与对称性的综合运用 15【重难点集训】 17【高考真题】 28【题型归纳】题型一：函数的奇偶性的判断与证明1．（多选题）（2024·高一·福建龙岩·阶段练习）下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A不是；对于B，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，B是；对于C，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，C是；对于D，函数定义域为R，而，不是偶函数，D不是.故选：BC2．（多选题）（2024·高一·广东湛江·期中）下列函数是奇函数的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】A.因为fx的定义域为，且，A正确；B.因为fx的定义域为R且，B正确C.因为fx的定义域为，设，则，所以，则，同理当时，，所以函数是奇函数，C正确；D.由，即，解得,所以函数的定义域是，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故D错误；故选：ABC3．（2024·高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说理．(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）由得定义域为，关于原点对称，∴，此时，∴函数为奇函数．（2）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．（3）由，得，即该函数的图象由点，构成，这两个点既关于原点对称，也关于轴对称，∴既是奇函数又是偶函数．（4）当时，，，∴．当时，，，∴．当时，，，∴．综上可知，对于定义域内的每一个都有，∴为偶函数．题型二：已知函数的奇偶性求表达式4．（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数为上的偶函数，当时，，则时，．【答案】【解析】根据题意，当时，，则，又由函数为上的偶函数，则．则时，．故答案为：．5．（2024·高一·上海·课堂例题）设是定义在上的函数，时，，当为奇函数时，函数；当为偶函数时，函数的表达式是．【答案】【解析】当时，，．若是奇函数，则，则.若是偶函数，，则.故答案为：；.6．（2024·高一·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为．【答案】【解析】函数在上为奇函数，且当时，，当时，，所以.故答案为：.7．（2024·高一·山西大同·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.当时，求函数的解析式.【答案】【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，所以；当时，，则，因为函数为奇函数，所以，则，当时，上式也满足，所以当时，函数的解析式为，故答案为：.题型三：已知函数的奇偶性求值8．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）若是偶函数，则.【答案】【解析】由于为偶函数，所以，即恒成立，所以，即，所以.故答案为：9．（2024·高三·福建宁德·期末）已知定义在上的奇函数满足，且则．【答案】【解析】定义在上的奇函数满足，，，解得，（3），（7）（1）．．故答案为：．10．（2024·高一·山东枣庄·期末）已知是奇函数，当时，，则.【答案】【解析】由于是奇函数，且在处有定义，所以，所以当时，，所以.故答案为：11．（2024·高三·广东·学业考试）函数是偶函数，当时，，则.【答案】【解析】因为当时，，所以当时，，所以，函数是偶函数，所以，所以，故答案为：.题型四：已知函数的奇偶性求参数12．（2024·高一·上海·随堂练习）设函数为奇函数，则．【答案】－1【解析】因为函数为奇函数，所以，即，解得，可得，因为函数定义域关于原点对称，，所以为奇函数，故.故答案为：.13．（2024·高一·全国·课堂例题）函数是奇函数，则满足条件的一组值可以是，．【答案】1（不唯一）；0【解析】因为函数是奇函数，所以，得，当时，，满足，为奇函数.故答案为：1（不唯一）；014．（2024·高三·山东潍坊·开学考试）设是定义在上的偶函数，则的值是；．【答案】【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，即，得到，又，得到，所以，得到，，故答案为：．15．（2024·高一·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数．【答案】1【解析】由题知，得到，整理得到恒成立，所以，得到，故答案为：.题型五：已知奇函数+M16．（2024·高一·江苏淮安·学业考试）已知函数，则【答案】【解析】由题意可得，即有，故，即.故答案为：.17．（2024·高一·上海·课堂例题）若函数，，则.【答案】【解析】因为，令，则，所以，所以为奇函数，所以，即，解得，故答案为：18．（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知函数，若，则.【答案】【解析】令为奇函数，，.故答案为：19．（2024·高一·浙江宁波·阶段练习）设函数的最大值为M，最小值为m，则．【答案】2【解析】，设，则，函数为奇函数，，，.故答案为：2.20．（2024·高一·全国·专题练习）设函数的最大值为M，最小值为m，则【答案】【解析】，设，，且，则为奇函数，，则，所以，，所以，所以.故答案为：2.题型六：抽象函数的奇偶性问题21．（多选题）（2024·高一·重庆·期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（

）A．若对任意，，总有，则是奇函数B．若对任意，，总有，则是偶函数C．若对任意，；总有，则D．若对任意，，总有，则【答案】ACD【解析】对于A，对任意，，总有，令得；令得，所以；令得，所以；令得，所以是奇函数，故A正确；对于B，对任意，，总有，令得；令得，所以是奇函数，故B错误；对于C，对任意，，总有，由A选项分析，令得，又因为，所以，故C正确；对于D，对任意，，总有，由B选项分析，令得，令得，所以；令得令得，所以令得，所以，故D正确.故选：ACD.22．（多选题）（2024·高一·四川乐山·阶段练习）函数对于任意实数满足，则下列关于函数fx奇偶性说法错误的是（

）A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数C．是非奇非偶函数 D．可能是奇函数也可能是偶函数【答案】ABC【解析】令则有，则，当时，再令则有所以，所以是奇函数．当，则．再令则有，所以，所以是偶函数．故选：ABC．23．（2024·高一·全国·单元测试）设函数对任意实数，都有，且时，，．(1)求证：是奇函数；(2)求在上的最大值与最小值．【解析】（1）令，得，所以，令，得，所以，所以是奇函数．（2）设，则，所以，可得，即，所以在上是减函数，，，所以，所以在上的最大值为，最小值为.24．（2024·高一·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且.(1)求的值；(2)判断的奇偶性，并证明.【解析】（1）令，得，令，得，因为，所以，，令，得，即，因为，所以，所以.（2）为偶函数.证明如下：令，得，由（1）得，即，又的定义域为，所以为偶函数.题型七：奇偶性与单调性的综合运用25．（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，则，则，即，即当时，，设，则，则，则当时，由可得，解得，当时，由可得，解得，所以不等式得解集为.故选：A26．（2024·高一·全国·专题练习）定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围.【答案】【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以，又因在R上单调递减，所以对任意恒成立，所以对任意恒成立，所以，设，对称轴，所以当时，，所以.故答案为：.27．（2024·高一·全国·竞赛）已知函数是定义在上的奇函数，且其图象连续不断，对任意，有，且，则不等式的解集为．【答案】【解析】由，即函数是上的单调增函数，因为是定义在R上的奇函数，所以也是定义在R上的奇函数，因此在上也是增函数，且，，，，即，所以原不等式的解集为.故答案为：题型八：利用函数奇偶性识别图像28．（2024·高三·河北唐山·期末）已知函数，则其图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函数的定义域为，关于原点对称，又，故函数为奇函数，因此A,B错误，当时，，当且仅当时取等号，即当时，函数有最大值1，所以C错误，故选：D.29．（2024·高一·江苏南京·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】定义域为R，，则是偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD；又因为，则排除选项A，选B.故选：B．30．（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）下列图像中，不可能是的图像的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】为奇函数，的图像关于原点对称，当时，如A所示，故A不符合题意；当时，为“对勾函数”，如D所示，故D不符合题意；当时，在或上递减，故B符合题意，C不符合．故选：B．31．（2024·高一·江苏南通·期中）数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可知，函数定义域为，所以，所以为偶函数，排除选项A和C；当时，，当时，，所以，排除选项D.故选：B.题型九：奇偶性与对称性的综合运用32．（2024·高一·广东深圳·期中）已知函数满足.若函数与y=fx图象的交点为x1,y1，x2,y2，…，.A．3m B．6m C．9m D．12m【答案】A【解析】由函数满足可得，即函数关于点成中心对称，由函数，其图象可由向上平移3个单位得到，故关于点成中心对称，则函数与图象的交点为，，…，必关于点对称，不妨设，和关于对称，依此类推；设，则，故，同理令，可得，故，故选：A33．（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.(1)求函数图象的对称中心；(2)根据第（1）问的结论，求的值；(3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.【解析】（1）设的对称中心为点，，则为奇函数，即，，，即，，整理得，，，解得，即，函数图象的对称中心为；（2）由（1）知，，，且，；（3）推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.34．（2024·高一·四川南充·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.(1)若.①求此函数图象的对称中心；②求的值；(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）.【解析】（1）①，，而满足，即为奇函数，所以的图象关于点中心对称.②，由①得，即，所以.（2）“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”，类比已知条件可得，一个一个推广结论为：函数的图象关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.（答案不唯一）【重难点集训】1．（2024·高一·贵州·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，且又因，所以，又因在为增函数，在上，在上，又因在为减函数，所以上，综上，当时，，当时，当时，则，所以，则，当时，则，所以，则，不等式可化简变形为，综上所述可知当时，.故选：D2．（2024·高一·江苏·专题练习）已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意，是定义在上的奇函数且在上单调递增，则在上也是增函数，因为不等式对任意实数恒成立所以对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，当时，不恒成立，当时，可得，解可得.即的取值范围是，故选：A3．（2024·高一·全国·随堂练习）已知函数为奇函数，则等于（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】C【解析】依题意，当时，，则，而当时，，因此，则，，当时，，则，又，于是，，所以，所以.故选：C4．（2024·高一·广东深圳·阶段练习）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，函数为偶函数，且在上单调递减，所以在单调递增，又恒成立，所以恒成立.由恒成立.由即恒成立，得；由即恒成立，得.综上可得，即.故选：B5．（2024·高一·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，.不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由奇函数的定义可得f-x当时，则，，当时，则，，由或，根据分析可得解集为.故选：C6．（2024·高一·全国·专题练习）定义在上的偶函数满足，且在0,1上单调递增，设，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，又∵为偶函数，∴∵，且函数在上单调递增，∴，即故选：A7．（2024·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A选项：，故A错误；B选项：记，则，故为奇函数，不符合题意，故B错误；C选项：记，则，故为偶函数，当时，，此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故C正确；D选项：记，则，故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误.故选：C.8．（2024·高一·湖北咸宁·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称，在上单调递增，则在上单调递减，所以越靠近对称轴函数值越小，由得，由于，所以，故，可得，即时恒成立，可得，由于在时单调递增，，此时，在时单调递减，，此时，则实数的取值范围为.故选：A9．（多选题）（2024·高一·全国·单元测试）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（

）.A． B． C． D．【答案】BC【解析】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集.由定义在上的奇函数在上单调递减，可得在上是减函数；又，不等式，等价为或，所以时，即有，解得；时，即有，解得；综上可得的解集为.故选：BC.10．（多选题）（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（

）A． B．在定义域上为增函数.C．当时， D．不等式的解集为【答案】CD【解析】对于A：因为是定义域为上的偶函数，所以，又当x∈0,+∞时，，所以，故A错误；对于B：由二次函数可知，在0,+∞上单调递增，又因为函数是定义在上的偶函数，即的图象关于轴对称，所以在上单调递减，故B错误；对于C：当时，，则，故C正确；对于D：由的奇偶性与单调性可知，可化为，所以，解得，故D正确.故选：CD.11．（多选题）（2024·高一·全国·单元测试）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在1,2上单调递减，则（

）A．f3=0 BC． D．在上单调递减【答案】ABC【解析】令，因为是奇函数，所以，即的图象关于点对称．令，因为是偶函数，所以，即的图象关于直线对称．A选项，由，令，可得，由，令，可得，故A正确．B选项，由，令，可得，故B正确．C选项，由，令，可得，故C正确．D选项，由在上单调递减，结合的图象关于点对称，可知在上单调递减，由可知在上单调递减，又的图象关于直线对称，则在上单调递增，故D错误．故选:ABC．12．（2024·高一·福建龙岩·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为.【答案】【解析】当时，得，又函数是定义在上的偶函数，故当时，由可得，综上的解集为，故答案为：13．（2024·高一·安徽淮北·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为．【答案】【解析】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数，由对任意的，当时，有成立，得在上单调递减，因此函数在上单调递增，由，得，不等式，因此，解得或，所以不等式的解集为.故答案为：14．（2024·高一·湖南邵阳·开学考试）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.结合以上推广，现有函数，则.【答案】【解析】由fx=x3-3则，故为奇函数，故函数fx=x3-3，，又，.故答案为：.15．（2024·高一·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为．(1)判定函数的奇偶性；(2)利用单调性的定义证明：在上单调递减；(3)解不等式．【解析】（1）为奇函数，理由如下：因为，且函数定义域为，关于原点对称，所以为奇函数.（2）任取，所以，，则，所以，故在上单调递减；（3）可转化为，则，所以，解得，故的范围为.16．（2024·高一·吉林·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，.(1)求时，函数的解析式；(2)作出的图像；(3)若函数在区间上单调递增，结合图象求实数的取值范围.【解析】（1）设，则，于是，又为奇函数，即，所以当时，.（2）当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，作出在上的图象，再作出所作图象关于原点对称的图形，如图为函数的图象，（3）观察图象知，函数在上单调递增，而函数在上单调递增，则，于是，解得，所以的取值范围是.17．（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；(1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间；(2)写出函数的解析式；(3)若函数，求函数的最小值.【解析】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称，则函数图象如图所示．故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）根据题意，令，则，则，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以.（3）当时，，则，其对称轴为，当时，即，则，当时，即，则，故.18．（2024·高一·湖南益阳·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意，都有，且当时，.(1)求并判断的奇偶性；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）令可得：

（2）先证明：在R上为减函数证明：设任意，且，则又当时，，即在R上为减函数.，可得恒成立当时，2>0恒成立当时，，综上实数的取值范围是19．（2024·高一·云南红河·开学考试）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．(1)求函数图象的对称中心；(2)根据第（1）问的结论，求的值．【解析】（1）由题意设函数图象的对称中心为，由于函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．即函数为奇函数，而，由于，即，因为，故，解得，即函数图象的对称中心为；（2）由（1）的结论可知，则，而，故.【高考真题】1．（2003年普通高等学校招生考试数学试题（辽宁卷））与曲线关于原点对称的曲线为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点，则点关于原点的对称点在曲线上，所以，，化简得，因此，与曲线关于原点对称的曲线为.故选：A.2．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（天津卷））设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】是定义在上的奇函数，且当时，，当时，，所以，所以对任意的，有恒成立，因为在上单调递增，，即恒成立，，解得，故选：A.3．（2015年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【解析】函数是奇函数，当时，，.故选：A.4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得：，而，故.故选：C.5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B6．（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（重庆卷））若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则使的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，当时，，则；又因为函数是偶函数，图像关于轴对称，所以当x∈0,+∞时，，则，所以的解集为.故选：C.7．（1992年普通高等学校招生考试数学试题（三南卷））对于定义域是的任意奇函数