2025年统编版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年统编版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、如图所示；AB是塔的中轴线，C；D、A三点在同一水平线上，在C、D两点用测角仪器测得塔顶部B处的仰角分别是α=30°和β=60°，如果C、D间的距离是20m，测角仪器高是1.5m，则塔高为（）（精确到0.1m）

A.18.8m

B.10.2m

C.11.5m

D.21.5m

2、已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(A)．A.30°B.60°C.90°D.120°3、【题文】函数的定义域为A.B.C.D.4、在空间，下列说法正确的是（）A.两组对边相等的四边形是平行四边形B.四边相等的四边形是菱形C.平行于同一直线的两条直线平行D.三点确定一个平面5、cos45°•cos15°+sin45°•sin15°=（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、已知函数关于的叙述①是周期函数，最小正周期为②有最大值1和最小值③有对称轴④有对称中心⑤在上单调递减其中正确的命题序号是___________．（把所有正确命题的序号都填上）7、已知关于x的不等式（ax-a2-4）（x-4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则n最小值为____．8、【题文】函数的定义域为____．9、【题文】已知在R上是奇函数，且满足当时，则_______________10、【题文】⊿ABC1与⊿ABC2均为等腰直角三角形，且腰长均为1，二面角C1-AB-C2为60o,则点C1与C2之间的距离可能是___________.（写出二个可能值即可）11、【题文】已知函数则满足不等式的x的范围是________12、已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，若此方程表示圆，则m的范围是____．13、某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______．14、已知数列{an}

满足a1=34an+1鈭�an=2n+1

则数列{1an}

的前n

项和Sn=

______．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)15、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．16、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．17、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．18、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．20、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．21、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．22、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、作图题(共4题，共28分)23、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．24、作出下列函数图象：y=25、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．26、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分五、计算题(共4题，共40分)27、已知等边三角形ABC内一点P，PA、PB、PC的长分别为3厘米、4厘米、5厘米，那么∠APB为____．28、如图，∠1=∠B，AD•AC=5AE，DE=2，那么BC•AD=____．29、已知b＜a＜0，且a-b=3，ab=1；

（1）求a+b的值；

（2）求的值．30、若x2-6x+1=0，则=____．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】

由题意可得∠BDC=180°-60°=120°；∴∠DBC=180°-120°-30°=30°；

∴△BCD是等腰三角形，∴BD=CD=20，故AB=1.5+BDsin60°=1.5+10=18.8（cm）；

故选A．

【解析】【答案】求出∠BDC；由三角形的内角和公式求出∠DBC，判断△BCD是等腰三角形，BD=CD=20，由AB

=1.5+BDsin60°；运算求得结果．

2、A【分析】解析:如图，∵＋＋＝0，∴＋＝∴四边形OACB为菱形，∴OG⊥AB，∴∠CAB＝30°.【解析】【答案】A3、B【分析】【解析】故选B【解析】【答案】B4、C【分析】【解答】解：四边形可能是空间四边形；故A，B错误；

由平行公理可知C正确；

当三点在同一直线上时；可以确定无数个平面，故D错误．

故选C．

【分析】逐项分析，举反例判断．5、B【分析】【解答】解：由两角差的余弦公式可得cos45°•cos15°+sin45°•sin15°=cos（45°﹣15°）=cos30°=

故选：B

【分析】由两角差的余弦公式和题意可得答案．二、填空题(共9题，共18分)6、略

【分析】【解析】试题分析：画出函数图象，由图像观察可得：最大值1最小值对称轴无对称中心，在上单调递减考点：三角函数性质【解析】【答案】①③⑤7、略

【分析】

当a＜0时，（x-）（x-4）＜0；

∵a＜0；

∴-a＞0；

∴-a-≥2=4（当且仅当a=-2时取等号）；

∴-4≤a+＜0；

故解集为A=（a+4），A中共含有：-3，-2，-1，0，1，2，3，共7个整数；

a=0时；-4（x-4）＞0，解集为A=（-∞，4），整数解有无穷多，故a=0不符合条件；

a＞0时，（x-）（x-4）＞0，同理可证a+≥4；

∴解集A为（a++∞）∪（-∞，4），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；

综上：n最小值为7．

故答案为：7．

【解析】【答案】对a分a＜0；a=0与a＞0三种情况讨论，可求得解集A，即可求得最小值集合A中元素最少是的n．

8、略

【分析】【解析】

试题分析：要是此函数有意义，所以有所以定义域为

考点：（1）函数定义域的求法，（2）偶次根号下被开方数大于等于0，对数中真数大于0【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】本试题主要是考查了抽象函数的奇偶性和周期性的运用。

因为在R上是奇函数，且满足则周期为4，当时，则故答案为-2.

解决该试题的关键是运用周期性和奇偶性将所求的变量转化为已知的定义域内。【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】1或或11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】(-1,-1)12、m＜5【分析】【解答】解：方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0；若此方程表示圆；

可得4+16﹣4m＞0．

解得m＜5

故答案为：m＜5．

【分析】利用二元二次方程表示圆的条件，列出不等式求解即可．13、略

【分析】解：由已知可得该几何体的三视图如下图所示：

由图可得：该几何体的体积V=VF-ABC+VA-CDEF=×2×2×2+×2×2×4=

故答案为：．

由已知中的三视图画出几何体的直观图；两个棱锥的体积，相加可得答案．

本题考查的知识点是棱柱和棱锥的体积，空间几何体的三视图，难度不大，属于中档题．【解析】14、略

【分析】解：隆脽an+1鈭�an=2n+1隆脿n鈮�2

时，an鈭�an鈭�1=2n鈭�1

．

隆脿an=(an鈭�an鈭�1)+(an鈭�1鈭�an鈭�2)++(a2鈭�a1)+a1

=(2n鈭�1)+(2n鈭�3)++(2隆脕2鈭�1)+34

=(n鈭�1)(2n鈭�1+3)2+34=n2鈭�14

．

隆脿1an=44n2鈭�1=2(12n鈭�1鈭�12n+1)

．

隆脿

数列{1an}

的前n

项和Sn=2[(1鈭�13)+(13鈭�15)++(12n鈭�1鈭�12n+1)]

=2(1鈭�12n+1)

=4n2n+1

．

故答案为：4n2n+1

．

an+1鈭�an=2n+1

可得n鈮�2

时，an鈭�an鈭�1=2n鈭�1.

利用an=(an鈭�an鈭�1)+(an鈭�1鈭�an鈭�2)++(a2鈭�a1)+a1

可得an

．1an=44n2鈭�1=2(12n鈭�1鈭�12n+1).

利用裂项求和方法即可得出．

本题考查了数列递推关系、累加求和与裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】4n2n+1

三、证明题(共8题，共16分)15、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．16、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．17、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．18、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．20、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．21、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．22、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、作图题(共4题，共28分)23、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．24、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．25、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．26、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．五、计算题(共4题，共40分)27、略

【分析】【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得