2025年北师大新版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、直线x-y-1=0的倾斜角是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.135°

2、已知函数f（x）=loga（x2-2ax）在[4；5]上为增函数，则a的取值范围是（）

A.（1；4）

B.（1；4]

C.（1；2）

D.（1；2]

3、【题文】已知则的大小关系是A.B.C.D.4、设函数的定义域是则函数的定义域是（）A.B.C.D.5、若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣﹣4]，则m的取值范围是（）A.（0，4]B.[4]C.[3]D.[+)6、已知函数则f（3）=（）A.5B.4C.3D.27、已知f（x）=ax2a+1-b+1是幂函数，则a+b=（）A.2B.1C.D.08、已知0<娄脕<娄脨鈭�sin娄脕=2cos娄脕

则2sin2娄脕鈭�sin娄脕cos娄脕+cos2娄脕

的值为(

)

A.鈭�75

B.鈭�115

C.115

D.75

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、函数的定义域为实数集实数的取值范围为.10、已知函数f（x）满足：

①对于任意的x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；

②对于任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）．

请写出同时满足以上两个条件的一个函数____．11、函数取得最大值时所对应x的取值集合为____．12、若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是_______．13、【题文】矩形中，沿将矩形折成一个直二面角则四面体的外接球的体积为____14、【题文】函数图像的对称中心是____．15、设集合{1，a+b，a}={0，b}，则=______．16、集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩（∁NB）=______；A∪B的真子集有______个．17、正方形ABCD的边长为2，利用斜二测画法得到的平面直观图A′B′C′D′的面积为______．评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)18、已知：函数f（x）=2cosx+sin2x（＜x≤）；求：f（x）的最小值，以及取最小值时x的值．

19、已知二次函数f（x）的二次项系数为a；且不等式f（x）＞-4x的解集为（1，3），若f（x）的最大值大于-3，求a的取值范围．

20、已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+（n-2）（n-1）（n∈N*）

（1）是否存在常数p，q，r，使数列{an+pn2+qn+r}是等比数列，若存在求出p，q，r的值；若不存在；说明理由；

（2）设数列{bn}满足证明：．

21、如图：在空间四边形ABCD中；AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点．

（1）求证：平面ABE⊥平面BCD；

（2）若F是AB的中点；BC=AD，且AB=8，AE=10，求EF的长．

22、【题文】如图，在正方体中；

（1）求证：

（2）求直线与直线BD所成的角23、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．24、（1）计算81-（）-1+30；

（2）计算．25、已知a鈫�=2(cos娄脴x,cos娄脴x)b鈫�=(cos娄脴x,3sin娄脴x)(

其中0<娄脴<1)

函数f(x)=a鈫�鈰�b鈫�

(1)

若直线x=娄脨3

是函数f(x)

图象的一条对称轴；先列表再作出函数f(x)

在区间[鈭�娄脨,娄脨]

上的图象．

(2)

求函数y=f(x)x隆脢[鈭�娄脨,娄脨]

的值域．评卷人得分四、计算题(共2题，共10分)26、已知x+y=x-1+y-1≠0，则xy=____．27、化简：．评卷人得分五、证明题(共2题，共12分)28、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．29、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．评卷人得分六、综合题(共1题，共3分)30、已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；f（x）=x的两实根为α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；

（2）若a、b均为负整数；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】

直线x-y-1=0的方程可化为y=x-1；

可得直线的斜率为1；故tanθ=1，（θ为直线的倾斜角）；

又0°≤θ＜180°；故可得θ=45°

故选B

【解析】【答案】化方程为斜截式；易得斜率，由斜率和倾斜角的关系可得．

2、C【分析】

由题意可得g（x）=x2-2ax的对称轴为x=a

①当a＞1时；由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立。

则

∴1＜a＜2

②0＜a＜1时；由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立。

则此时a不存在。

综上可得；1＜a＜2

故选C．

【解析】【答案】由题意可得g（x）=x2-2ax的对称轴为x=a；①当a＞1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立，②0＜a＜1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立从而可求a

3、C【分析】【解析】

试题分析：因为根据指数函数以及对数函数的概念和性质，那么那么可知a,bc的大小关系为选C.

考点：本题主要考查了指数；对数函数的单调性的运用。

点评：解决该试题的关键是根据指数函数和对数函数的值域来判定其函数值的范围，一般我们取中间量0,1来判定结论。【解析】【答案】C4、C【分析】【解答】由已知且故选C．5、C【分析】【解答】∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣

∴f（）=﹣又f（0）=﹣4；

故由二次函数图象可知：

m的值最小为

最大为3．

m的取值范围是：[3]；

故选：C

【分析】根据函数的函数值f（）=﹣f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解6、C【分析】【解答】∵函数

∴f（3）=f（f（5））=f（4）=3．

故选：C．

【分析】利用分段函数的性质求解．7、A【分析】解：函数f（x）=ax2a+1-b+1是幂函数；

根据幂函数的定义知；

解得a=1，b=1；

所以a+b=2．

故选：A．

根据幂函数的定义列出方程，即可求出a、b的值．

本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题目．【解析】【答案】A8、C【分析】解：0<娄脕<娄脨鈭�sin娄脕=2cos娄脕tan娄脕=鈭�2

2sin2娄脕鈭�sin娄脕cos娄脕+cos2娄脕=2sin2娄脕鈭�sin娄脕cos娄脕+cos2娄脕sin2伪+cos2伪=2tan2娄脕鈭�tan娄脕+1tan2伪+1=8+2+15=115

．

故选：C

．

利用同角三角函数的基本关系式；化简所求的表达式为正切函数的形式，然后求解即可．

本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．【解析】C

二、填空题(共9题，共18分)9、略

【分析】【解析】试题分析：由题意可得k=0，或由此求得实数k的取值范围．【解析】

由题意得：当时，显然成立；当时，则需解得所以，实数的取值范围为考点：二次函数的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【解析】【答案】10、略

【分析】

若满足①对于任意的x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），则对应的函数为指数函数y=ax的形式．

若满足②对于任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）；则说明函数为增函数，故指数函数的底数a＞1即可．

综上同时满足条件的函数可以是y=2x．

故答案为：y=2x．（或y=ax；a＞1）．

【解析】【答案】满足有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）的函数模型为指数函数，满足当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）；说明函数是增函数，综合两个条件可确定函数．

11、略

【分析】

∵函数

∴当=-1时函数取到最大值。

∴=-+2kπ；k∈Z；

∴x=-+kπ；k∈Z；

∴数取得最大值时所对应x的取值集合为{x|x=-+kπ；k∈Z}

故答案为{x|x=-+kπ；k∈Z}

【解析】【答案】函数当=-1时函数取到最大值，此时相位=-+2kπ；k∈Z，由此求解即可．

12、略

【分析】试题分析：由题意得：的图像与轴有交点方程有解，∴∵∴∴的取值范围是考点：1.函数零点的概念；2.指数函数的性质.【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】解：由题意知；球心到四个顶点的距离相等；

所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，那么利用球的体积公式得到为【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

试题分析：因为而函数为奇函数，对称中心是因此函数图像的对称中心是

考点：奇函数性质，图像变换【解析】【答案】15、略

【分析】解：因为{1，a+b，a}={0，b}；

所以a≠0，a+b=0，即b=-a，所以．

故答案为：-1．

根据集合相等；分别讨论元素的对应关系，建立方程求等号．

本题主要考查集合相等的应用，集合相等元素相同，根据元素关系建立等式即可．【解析】-116、略

【分析】解：∵合A={1；3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}；

∴A∩∁NB={1；5，7}；

∴A∪B={0；1，3，5，6，7，9，12}；

∴A∪B的真子集有28-1=255；

故答案为：{1；5，7}，255

利用集合的交集的定义求出A∩CNB；求出A∪B，由此能求出集合A∪B的真子集个数．

本题考查并集的运算和求集合的真子集的个数．若集合A中有n个元素，则集合A有2n-1个真子集．【解析】{1，5，7}；25517、略

【分析】解：如图所示；正方形ABCD的边长为2；

利用斜二测画法得到的平面直观图A′B′C′D′是平行四边形；

所以该平行四边形的面积为。

S=O′A′•O′C′sin45°=2×1×=．

故答案为：．

画出图形；结合图形求出平面直观图形的面积．

本题考查了计算平面直观图形的面积的应用问题，是基础题目．【解析】三、解答题(共8题，共16分)18、略

【分析】

∵f（x）=2cosx+sin2x

=2cosx+1-cos2x

=-（cosx-1）2+2；

又-＜x≤

∴0≤cosx≤1；-1≤cosx-1≤0；

∴0≤（cosx-1）2≤1；

-1≤-（cosx-1）2≤0，1≤2-（cosx-1）2≤2．

∴当x=时，f（x）min=1．

【解析】【答案】利用sin2x=1-cos2x，可将f（x）=2cosx+sin2x，转化为f（x）=2cosx+1-cos2x=-（cosx-1）2+2；依题意即可求得f（x）的最小值及取最小值时x的集合．

19、略

【分析】

设f（x）=ax2+bx+c；（a＜0），由题意得方程f（x）=-4x两个根是1，3；

即ax2+（b+4）x+c=0两个根是1；3．

∴

∴b=-4a-4；c=3a

又f（x）的最大值大于-3，即

消去b；c得到关于a不等式；

a2+5a+4＞0

解得a的取值范围是-1＜a＜0或a＜-4．

【解析】【答案】不等式f（x）＞-4x的解集为（1；3），得方程f（x）=-4x两个根是1，3．由此可得出二次函数f（x）中的系数间的关系，又f（x）的最大值大于-3，得二次项系数a＜0且可以得到关于a的不等关系．

20、略

【分析】

（1）设an+1+p（n+1）2+q（n+1）+r=2（an+pn2+qn+r）

∴an+1=2an+pn2+（q-2p）n+r-p-q

由an+1=2an+n2-3n+2∴p=1，q=-1，r=2.4分。

∴{an+n2-n+2}是以首项为4；公比为2的等比数列．6分。

（2）∵an+n2-n+2=4•2n-1=2n+17′

∴9分。

∴n=1时，10′=

综上：b1+b2+b3++bn12分。

【解析】【答案】（1）假设存在；利用等比的性质建立方程，根据同一性求参数的值，若求出说明存在，否则说明不存在；

（2）由（1）求出数列{an}表达式，代入求出数列{bn}的通项，利用放大法得到代入不等式左边化简整理证得结论．

21、略

【分析】

（1）证明：因为AC=AD；BC=BD，且E是CD的中点；

所以BE⊥CD；且AE⊥CD，又AE∩BE=E；

所以CD⊥平面ABE；所以平面ABE⊥平面BCD（5分）

（2）因为E是CD的中点；所以CE=ED，由（1）知BE⊥CD；

且AE⊥CD，所以BC2=BE2+CE2=BE2+ED2，AD2=AE2+ED2；

因为BC=AD；所以AE=BE（10分）

又因为F是AB的中点；所以AF=FB=4，且EF⊥AB；

所以EF==（12分）

【解析】【答案】对于（1）；根据条件，只需证明平面BCD有一条直线垂直于平面ABE，而等腰三角形ACD；BCD有共同底边CD，E为中点，因此容易证明CD与平面ABE垂直，从而问题得到解决；

对于（2）由BC=AD；可以判定三角形ABE为等腰三角形，由AB=8，AE=10，根据勾股定理可以解决EF的长度问题．

22、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）在正方体中，又因为平面平面所以又因为所以平面本小题证线面垂直；属于较基础题型。

(2)因为求直线与直线BD所成的角，又因为所以与所成的角即为所求的角，连结可知是一个等边三角形，所以故填

试题解析：(1)在正方体中

又且

则

而在平面内；且相交。

故6分。

（2）连接

因为BD平行则即为所求的角；

而三角形为正三角形，故

则直线与直线BD所成的角为12分。

考点：1线面垂直的判定2异面直线所成的角【解析】【答案】（1）见解析；(2)23、解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bsinA=acosB，∴由正弦定理可得sinBsinA=sinAcosB．

∵sinA≠0，∴sinB=cosB，∴tanB=∴B=．

（Ⅱ）∵sinC=2sinA；∴c=2a；

由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos

解得a=c=2a=2．

故△ABC的面积为ac•sinB=【分析】【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由bsinA=acosB，利用正弦定理求得tanB的值，可得B的值．（Ⅱ）由条件利用正弦定理得c=2a，再由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac•cosB，求得a的值，可得c=2a的值，根据△ABC的面积为ac•sinB，计算求得结果．24、略

【分析】

（1）由分数指数幂化简即可得答案；

（2）由对数的运算性质化简即可得答案．

本题考查了对数的运算性质，是基础题．【解析】解：（1）81-（）-1+30=9-8+1=2；

（2）=2+（-1）=1．25、略

【分析】

(1)

利用两个向量的数量积公式；三角恒等变换化简函数的解析式，再用用五点法作函数y=f(x)

在区间[鈭�娄脨,娄脨]

上的图象．

(2)

由题意利用正弦函数的定义域和值域；求得函数y=f(x)x隆脢[鈭�娄脨,娄脨]

的值域．

本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，用五点法作函数y=Asin(娄脴x+娄脮)

的图象，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．【解析】解：(1)

函数f(x)=a鈫�鈰�b鈫�=2cos2娄脴x+23sin娄脴xcos娄脴x=cos2娄脴x+3sin2娄脴x+1=2sin(2娄脴x+娄脨6)+1

若直线x=娄脨3

是函数f(x)

图象的一条对称轴，则2娄脴?娄脨3+娄脨6=k娄脨+娄脨2k隆脢Z

结合0<娄脴<1

可得娄脴=12

故f(x)=2sin(x+娄脨6)+1

．

列表：

。x+娄脨6鈭�5娄脨6鈭�娄脨20娄脨2娄脨7娄脨6x鈭�娄脨鈭�2娄脨3鈭�娄脨6娄脨35娄脨6娄脨y0鈭�11310函数f(x)

在[鈭�娄脨,娄脨]

的图象如图所示：

(2)

根据x隆脢[鈭�娄脨,娄脨]

可得x+娄脨6隆脢[鈭�5娄脨6,7娄脨6]sin(x+娄脨6)隆脢[鈭�1,1]

故函数f(x)

的值域为[鈭�1,3]

．四、计算题(共2题，共10分)26、略

【分析】【分析】先把原式化为x+y=+=的形式，再根据等式的性质求出xy的值即可．【解析】【解答】解：∵x+y=x-1+y-1≠0；

∴x+y=+=；

∴xy=1．

故答案为：1．27、解：原式==1【分析】【分析】根据诱导公式化简计算即可．五、证明题(共2题，共12分)28、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．29、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到