陕西省咸阳市2022届高三下学期一模文科数学试题 附解析

咸阳市2022年高考模拟检测（一）数学（文科）试题注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3．第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的计算法则计算即可.【详解】，∴z的虚部为.故选：A.2.已知集合，那么集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求解一元二次不等式解得集合，再利用集合的交运算即可求得结果.【详解】因为，故.故选：C.3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数和指数函数的单调性和奇偶性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：，定义域为，且，故其为奇函数，不满足题意；对B：，定义域为，且，故其为偶函数，又在上单调递增，满足题意；对C：，定义域为，是非奇非偶函数，不满足题意；对D：，当时，是单调减函数，不满足题意；故选：B.4.某校随机抽取100名学生进行“绿色环保知识”问卷测试．测试结果发现这100名学生的得分都在内，按得分情况分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（）A.这100名学生得分的中位数是72.5B.这100名学生得分的平均数是72.5C.这100名学生得分小于70分的有50人D.这100名学生得分不小于90分的有5人【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图求中位数、平均数、频数的计算方法即可求解.【详解】解：对A：根据频率分布直方图，设这100名同学得分的中位数为，则有，解得，故选项A正确；对B：根据频率分布直方图，可得100名学生得分的平均数是，故选项B正确；对C：这100名学生得分小于70分的有人，故选项C错误；对D：这100名学生得分不小于90分的有人，故选项D正确.故选：C.5.已知向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得，再利用向量的夹角计算公式，即可求解.【详解】向量，夹角为，且，，故可得，则，，设向量与向量的夹角为，故，又，故.故选：D.6.函数的大致图象是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据特殊位置的所对应的的值，排除错误选项，得到答案.【详解】因为所以当时，，故排除A、D选项，而，所以即是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B项，故选C项.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.7.已知角终边上一点，那么（）A. B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求得,再利用二倍角公式求得，接着求得，最后利用两角和的余弦公式求得答案.【详解】，，所以角终边上一点，即，,故，所以，所以，，所以，故选：A.8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质，，，也成等差数列，结合，根据等差数列的性质得到，，代入即可得到答案．【详解】解：根据等差数列性质，若数列为等差数列，则，，，也成等差数列；又，则数列，，，是以为首项，以为公差的等差数列则，，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据数列为等差数列，则，，，也成等差数列，然后根据等差数列的性质，判断数列，与的关系，是解答本题的关键，属于基础题．9.使不等式成立的一个充分不必要条件是（）A.且 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.【详解】因为，故不等式的解集为且，故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集，显然，满足题意的只有.故选：D.10.如图所示，已知是双曲线的右焦点，是坐标原点，是条渐近线，在上分别有点（不同于坐标原点），若四边形为菱形，且其面积为．则双曲线的离心率为（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据菱形的面积可知，再根据勾股定理可得，即，进而求出，根据渐近线的斜率，可得，再利用离心率，即可求出结果.【详解】由四边形为菱形，则，所以菱形的面积为所以，又，所以，即，又点分别是渐近线上的点，所以渐近线斜率，故双曲线的离心率为.故选：B.11.已知某圆锥的底面半径为2，母线长为4，该圆锥有一内接圆柱，要使圆柱的体积最大，则圆柱的底面半径应为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件列出关于圆柱体积与圆柱底面圆半径之间的表达式，利用导数判断函数的单调调性，进而求其最值即可.【详解】下图为此几何体的轴截面，设圆柱的底面圆半径为，母线长为，由已知条件得,∵△∽△,∴,即，其中，∴圆柱的体积为，又∵，∴函数在上为单调递增，在上单调递减，∴函数在时，圆柱的体积取得最大值.故选：.12.设实数，，，那么、、的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合对数函数的单调性、对数运算判断出三者的大小关系.【详解】，，所以.故选：A第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线与圆相切，则________．【答案】或1【解析】【分析】由题意，圆心到直线的距离等于圆的半径1即可求解.【详解】解：因为直线与圆相切，所以，即，所以或1，故答案为：或1.14.若、满足约束条件，则的最大值为________．【答案】##3.5【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可得到答案.【详解】作出约束条件的可行域如图所示，，解得，平移直线，由图可知过点时，目标函数的最大值为.故答案为：.15.一个空间几何体的三视图如下图所示，该几何体的表面积为________．

【答案】【解析】【分析】还原该几何体的直观图即可求其表面积.【详解】根据三视图可知该几何体为一个组合体：一个正方体的左前方挖去了个半径为1cm，高为1cm的圆柱.其直观图如图所示：故其表面积为：.故答案为：.16.意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为，其中，有以下几个命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号是________．【答案】①②③【解析】【分析】根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】斐波那契数列从第项起，每一项都是前项的和，所以，①正确.，②正确.，所以③正确.当时，，，所以④错误.故答案为：①②③三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在△中，，，分别是角，，所对边，已知，，且．（1）求角和边的大小；（2）求△的内切圆半径．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）将代入式中，利用两角和、两角差的正弦公式即可求得，再利用余弦定理即可求得；（2）利用等面积法即可求得.【小问1详解】由可得，∴，∴，又∵，∴，又∵,∴．由余弦定理可得，∴．【小问2详解】由（1）知，故△为直角三角形，设△的内切圆半径为．由等面积法可知，即，解得：.18.根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村名居民（未接种）的一个样本，天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：第天新接种人数（1）建立关于的线性回归方程；（2）假设全村共计名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据公式求线性回归方程即可；（2）根据线性回归方程可设，求出，与比较即可求解.【详解】（1），，则，，故关于的线性回归方程．（2）设，数列的前项和为，易知数列是等差数列，则，因为，，所以，（人），所以预测该村居民接种新冠疫苗需要天．19.已知直三棱柱中，，为等腰直角三角形，，、分别是和的中点．（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）易知四边形为正方形，进而可得，又三棱柱为直三棱柱且为等腰直角三角形，可得平面，进而可得，然后根据线面垂直的判定定理即可求解；（2）由（1）根据即可求解.【小问1详解】证明：∵为等腰直角三角形，，∴，又，∴四边形为正方形，又、分别是和的中点，∴，又∵为的中点，∴，又∵三棱柱为直三棱柱，∴平面平面，又平面平面，∴平面，又∵平面，∴，又，∴平面；【小问2详解】解：∵，由（1）可知平面，∵，，∴．20.已知函数．（1）求函数的图像在点处的切线方程；（2）若，，证明：当时，．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解；(2)求出g(x)解析式，利用和得－2ax≥－2x，由此消掉参数a，问题转化为证明新函数的最小值为.【小问1详解】∵，函数的图像在点处的切线斜率，又∵，∴函数的图像在点处的切线方程为，即．【小问2详解】由题意可知：．∵，．∴．令，．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；∴，故．【点睛】本题第二问关键在于利用和得－2ax≥－2x，由此放缩消掉参数a，将问题转化为利用导数求一个不含参数的函数的最小值.21.如图，已知椭圆，，分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线上有两个点，，且．①求面积的最小值；②连接交椭圆于另一点（不同于点），证明：、、三点共线．【答案】（1）（2）①9；②证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，联立关于的方程组求解即可得答案；（2）①设，，由，可得，又，利用基本不等式即可得答案；②求出直线方程，联立椭圆方程可得，利用韦达定理求出P点坐标，然后结合，可得，从而得证、、三点共线.【小问1详解】解：由题意可知，，∴，∵，∴，，∴椭圆的方程为．【小问2详解】解：①如图，设，，由于，因此，，∵，∴，，当且仅当时，即，的面积最小为9．②∵，直线的斜率为，∴直线的方程为，联立椭圆方程得，即，设，∴，∴，代入直线的方程得，∴，∴直线的斜率为，直线的斜率为，∵，∴，又有公共点，所以、、三点共线.（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为为C上的动点，点P是线段的中点，求点P轨迹的极坐标方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的转化公式，直接求得答案.（2）设出M的坐标，利用中点坐标公式表示出点P的坐标，化简可得其参数方程，继而可化为普通方程，再化为极坐标方程.【小问1详解】