2023届高考数学一轮复习-助学培优16-数学期望与决策问题

助学培优16数学期望与决策问题[学生用书P278]应用一利用数学期望选择最优方案(2022·深圳市九校联考)某工厂欲购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂80元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．(1)设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【解】(1)由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为y＝10x＋80，x∈N.方案二中的日收费y与x的函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(200，x≤15，x∈N，,20x－100，x>15，x∈N.))(2)设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为X210220230240250P0.10.40.10.20.2所以E(X)＝210×0.1＋220×0.4＋230×0.1＋240×0.2＋250×0.2＝230(元)．设方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为Y200220240P0.60.20.2E(Y)＝200×0.6＋220×0.2＋240×0.2＝212(元)．因为230>212，所以从节约成本的角度考虑，选择方案二．对一些已知多种方案的实际决策问题，可以求出各种方案对应的随机变量的数学期望，比较大小，进行决策．应用二利用数学期望解决开放性问题(2022·北京市第二十中学考前预测)单板滑雪U型场地技巧赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在某赛季单板滑雪U型场地技巧比赛中的成绩(单位：分)，如下表：分站甲的三次滑行成绩乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立．(1)从上表5站中随机选取1站，求在该站甲的成绩高于乙的成绩的概率；(2)从上表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；(3)假如从甲、乙二人中推荐一人参加冬奥会单板滑雪U型场地技巧赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加？并说明理由．【解】(1)设“该站甲的成绩高于乙的成绩”为事件A.甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为86.20，92.80，87.50，89.50，86.00；乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为88.40，88.60，89.10，88.20，87.70.其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩，所以P(A)＝eq\f(2,5).(2)结合(1)知X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，所以X的分布列为X012Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)E(X)＝0×eq\f(3,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,10)＝eq\f(4,5).(3)答案言之有理即可，示例如下．答案一：推荐乙．理由如下．用频率估计概率，从5站的成绩可以看出，任意1站甲的成绩高于乙的成绩的概率为eq\f(2,5)，乙的成绩高于甲的成绩的概率为eq\f(3,5).因为eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，所以乙的成绩高于甲的成绩的可能性大，所以推荐乙参加．答案二：推荐乙．理由如下：用“ξ＝1”表示任意1站甲的成绩高于乙的成绩，用“ξ＝0”表示任意1站甲的成绩低于乙的成绩，则P(ξ＝1)＝eq\f(2,5)，P(ξ＝0)＝eq\f(3,5)，E(ξ)＝1×eq\f(2,5)＋0×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,25).用“η＝1”表示任意1站乙的成绩高于甲的成绩，用“η＝0”表示任意1站乙的成绩低于甲的成绩，则P(η＝1)＝eq\f(3,5)，P(η＝0)＝eq\f(2,5)，E(η)＝1×eq\f(3,5)＋0×eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，D(η)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,25).因为E(ξ)<E(η)，D(ξ)＝D(η)，所以乙的成绩好于甲的成绩，所以推荐乙参加．答案三：推荐乙．理由如下．甲5站的平均成绩为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)×(86.20＋92.80＋87.50＋89.50＋86.00)＝88.40；乙5站的平均成绩为eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)×(88.40＋88.60＋89.10＋88.20＋87.70)＝88.40.甲5站成绩的方差为seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(86.20－88.40)2＋(92.80－88.40)2＋(87.50－88.40)2＋(89.50－88.40)2＋(86.00－88.40)2]＝6.396，乙5站成绩的方差为seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(88.40－88.40)2＋(88.60－88.40)2＋(89.10－88.40)2＋(88.20－88.40)2＋(87.70－88.40)2]＝0.212.eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，说明甲、乙二人水平相当，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，表明乙的发挥比甲的更稳定，所以预测乙的成绩会更好，所以推荐乙参加．答案四：推荐甲．理由如下．甲5站的平均成绩为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝88.40，乙5站的平均成绩为eq\o(x,\s\up6(－))乙＝88.40，甲、乙5站的平均成绩虽然相同，但是甲成绩的最大值为92.80，乙成绩的最大值为89.1