2025年上教版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年上教版高一数学上册月考试卷537考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、设是等差数列的前项和，若则()A.B.C.D.2、【题文】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的底面直径与高的比是A.B.C.D.3、已知函数则=（）A.B.-C.-D.-4、定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,且当时，有则的值为（）A.B.C.D.5、函数f（x）=5x，x∈{1，2，3，4，5}的图象是（）A.一条直线B.两条直线C.抛物线D.几个点6、若圆的一条直径的两个端点分别是（-1，3）和（5，-5），则此圆的方程是（）A.x2+y2+4x+2y-20=0B.x2+y2-4x-2y-20=0C.x2+y2-4x+2y+20=0D.x2+y2-4x+2y-20=0评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、点A（2，1）到直线x-y+1=0的距离为____．8、方程的根的个数为____．9、已知函数等差数列的公差为a1=1，则10、【题文】某工厂2002年生产某种产品2万件，以后每一年比上一年增产20%，则从________年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件。11、【题文】有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体个顶点，则这三个球的表面积之比为____12、函数y=2cosx﹣1的最大值是____，最小值是____．13、若函数y=x2+2（a﹣1）x+2，在（﹣∞，4]上是减少的，则a的取值范围是____．14、设均为单位向量，其夹角为θ，若则θ的取值范围为______．15、设a

是一个各位数字都不是0

且没有重复数字三位数，将组成a

的3

个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)

按从大到小排成的三位数记为D(a)(

例如a=815

则I(a)=158D(a)=851)

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a

输出的结果b=

______．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)16、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．17、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．18、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．19、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．20、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．21、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．22、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．23、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分四、计算题(共4题，共16分)24、（+++）（+1）=____．25、（2010•泉州校级自主招生）直角三角形ABC中，BC=AC，弧DEF圆心为A．已知两阴影面积相等，那么AD：DB=____．26、有一组数据：x1，x2，x3，，xn（x1≤x2≤x3≤≤xn），它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的xn，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的x1，余下数据的算术平均值为11．则x1关于n的表达式为x1=____；xn关于n的表达式为xn=____．27、已知：x=，求-÷的值．评卷人得分五、解答题(共3题，共15分)28、已知函数．

（1）求f（x）的单调的递减区间；

（2）若求x的值．

29、（2009·上海卷·文21·理20）有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度．其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．（1）证明：当x7时，掌握程度的增长量f（x+1）－f(x)总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121）,(121,127),(127,133)．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．（已知＝1．0513）30、【题文】如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，．

（Ⅰ）求证：BE//平面ADF；

（Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB=EF=则另一边BC的长为何值时，二面角B-EF-D的大小为45°？评卷人得分六、综合题(共2题，共10分)31、如图1；△ABC与△EFA为等腰直角三角形，AC与AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，将△EFA绕点A顺时针旋转，当AF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设AE；AF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．

（1）问：在图2中，始终与△AGC相似的三角形有____及____；

（2）设CG=x；BH=y，GH=z，求：

①y关于x的函数关系式；

②z关于x的函数关系式；（只要求根据第（1）问的结论说明理由）

（3）直接写出：当x为何值时，AG=AH．32、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）试判断抛物线上是否存在一点P；使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】试题分析：∵等差数列∴∴．考点：等差数列及其前项和．【解析】【答案】A．2、B【分析】【解析】

试题分析：一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，即所以这个圆柱的底面直径与高的比是故B正确.

考点：空间几何体的表面积和体积.【解析】【答案】B3、C【分析】【解答】解：由解得tanx=-．

∴

故选：C．

【分析】由题意得到tan（x+）=-展开后求得tanx，代入万能公式得答案．4、B【分析】【解答】令所以所以所以所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以所以在中令得所以又因为时，有而所以的值为

【分析】抽象函数问题一般都用“赋值法”解决.5、D【分析】解：当x∈{1；2，3，4，5}，f（x）∈{5，10，15，20，25}；

则图象为5个孤立的点；

故选：D

根据函数定义域和值域之间的关系即可得到结论．

本题主要考查函数图象的判断，比较基础．【解析】【答案】D6、D【分析】解：∵（-1；3）和（5，-5）为一条直径的两个端点；

∴两点的中点（2；-1）为圆的圆心；

又两点间的距离d==10；

∴圆的半径为5；

则所求圆的方程为（x-2）2+（y+1）2=25，即x2+y2-4x+y-20=0．

故选D

由已知的两点为直径的两端点；可得连接两点的线段的中点为圆心，连接两点线段长度的一半为圆的半径，故由中点坐标公式求出两点的中点，即为圆心坐标，利用两点间的距离公式求出两点间的距离，求出距离的一半即为圆的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的方程即可．

此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：中点坐标公式，两点间的距离公式，以及圆标准方程与一般式方程的转化，其中根据题意求出圆心坐标和圆的半径是解本题的关键．【解析】【答案】D二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

由点到直线的距离公式，得点A（2，1）到直线x-y+1=0的距离d=．

故答案为．

【解析】【答案】直接由点到直线的距离公式求点A（2；1）到直线x-y+1=0的距离．

8、略

【分析】

采用数形结合的办法，画图：y1=log2（x+1），y2=的图象，

画出图象就知；有两个交点为（0，0），（1，1）；

令f（x）=log2（x+1）-

f（15）=log2（15+1）-＞0

f（31）=log2（31+1）-＜0

∴f（15）•f（31）＜0

根据根的存在性定理可知在（15，31）上存在一个零点即方程共有3个根。

故答案为：3．

【解析】【答案】方程的根的情况转化为函数图象的交点问题，画图：y1=log2（x+1），y2=的图象．

9、略

【分析】试题分析：考点：等差数列的前n项和.【解析】【答案】10010、略

【分析】【解析】设为这家工厂2002年生产这种产品的年产量，即=2，并将这家工厂2003、2004年生产这种产品的年产量分别记为根据题意，数列{}是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为根据题意，设=12两边取常用对数；得。

lg2+（n-1）lg1.2=lg12，∴n==="0.7781"0.0791+1≈10.84

因为y=是增函数，现x取正整数，可知从2012年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台【解析】【答案】201211、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】1:2:312、1-3【分析】【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1；

∴﹣2≤2cosx≤2；

∴﹣3≤2cosx﹣1≤1；

∴函数y=2cosx﹣1的最大值是1；最小值是﹣3．

故答案为：1；﹣3．

【分析】由余弦函数的有界性，即可求出该函数的最值．13、（﹣∞，﹣3]【分析】【解答】解：∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2是开口向上的抛物线；

对称轴为x=1﹣a；

函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞；4]上是减函数；

∴1﹣a≥4；解得a≤﹣3．

∴实数a的取值范围是（﹣∞；﹣3]．

故答案为：（﹣∞；﹣3]．

【分析】函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2是开口向上的抛物线，对称轴为x=1﹣a，由此根据题意得到1﹣a≥4，从而能求出实数a的取值范围．14、略

【分析】解：由于均为单位向量；其夹角为θ；

则•=1×1×cosθ=cosθ；

由|+|＞1，则|+|2＞1；

即有2+2+2•＞1；

即1+1+2cosθ＞1，即cosθ＞-

由|-|＞1，则|-|2＞1；

即有2+2-2•＞1；

即1+1-2cosθ＞1，即cosθ＜

综上可得-＜cosθ＜

由于0≤θ≤π；

解得＜θ＜．

则θ的取值范围为（）．

故答案为：（）．

运用向量的数量积定义求得向量的数量积；再由平方法，向量的平方即为模的平方，再由余弦函数的单调性即可得到范围．

本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查余弦函数的性质及运用，考查运算能力，属于中档题．【解析】（）15、略

【分析】解：由程序框图知：例当a=123

第一次循环a=123b=321鈭�123=198

第二次循环a=198b=981鈭�189=792

第三次循环a=792b=972鈭�279=693

第四次循环a=693b=963鈭�369=594

第五次循环a=594b=954鈭�459=495

第六次循环a=495b=954鈭�459=495

满足条件a=b

跳出循环体，输出b=495

．

故答案为：495

．

给出一个三位数的a

值；实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a

值，可得答案．

本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．【解析】495

三、证明题(共8题，共16分)16、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．17、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．18、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．19、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．20、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．21、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．22、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．23、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．四、计算题(共4题，共16分)24、略

【分析】【分析】先分母有理化，然后把括号内合并后利用平方差公式计算．【解析】【解答】解：原式=（+++）•（+1）

=（-1+++-）•（+1）

=（-1）•（+1）

=2014-1

=2013．

故答案为2013．25、略

【分析】【分析】若两个阴影部分的面积相等，那么△ABC和扇形ADF的面积就相等，可分别表示出两者的面积，然后列等式求出AD与DB的比．【解析】【解答】解：设AB=BC=a则AB=a；

∵两阴影面积相等，∴SABC=S扇形ADF

即a2=AD2•π；

∴AD=；

∴AD：DB=AD：（AB-AD）=；

故答案为．26、略

【分析】【分析】先表示n个数的和，在分别表示去掉最大或最小数后的数据的和，经过代数式变形可得到答案．【解析】【解答】解：由题意知，有：（x2+x3++xn）÷（n-1）=11；

∴（x2+x3++xn）=11（n-1）；

∵（x1+x2+x3++xn）÷n=10；

∴[x1+11（n-1）]÷n=10，∴x1=11-n；

又∵（x1+x2+x3++xn-1）÷（n-1）=9；

∴（x1+x2+x3++xn-1）=9（n-1）

∴[（x1+x2+x3++xn-1）+xn]÷n=10；

∴[9（n-1）+xn]÷n=10，∴xn=n+9．

故答案为：11-n；n+9．27、略

【分析】【分析】把分式化简，然后把x的值代入化简后的式子求值就可以了．【解析】【解答】解：原式=×

=-1

=-；

当x=时；

原式=-=2-4．五、解答题(共3题，共15分)28、略

【分析】

（1）∵函数=sin2x•+=sin2x+=sin（2x+）；

令2kπ+≤2x+≤2kπ+k∈z，解得kπ+≤2x+≤kπ+k∈z；

故f（x）的单调的递减区间为[kπ+kπ+]；k∈z．

（2）由可得sin（2x+）=故2x+=2kπ+或2x+=2kπ+k∈z．

解得x=kπ-或x=kπ+k∈z．

【解析】【答案】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调的递减区间．

（2）由可得sin（2x+）=故2x+=2kπ+或2x+=2kπ+k∈z，由此求得x的值．

29、略

【分析】

（2）由题意知8分整理得，解得由此可知，该学科是乙学科．12分【解析】【答案】证明：（1）当2分而当单调递增，且故单调递减．，掌握程度的增长量总是下降．6分30、略

【分析】【解析】解（Ⅰ）法1：过点E作CD的平行线交DF于点M；连接AM．

因为CE//DF；所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM=CD且EM//CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF．6分。

法2：以直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DF为z轴，建立空间直角坐标系．则平面ADF的一个法向量为．

设AB=a，BC=b，CE=c，则点B、E的坐标分别为（b，a，0）和（0，a，c），那么向量．可知得而直线BE在平面ADF的外面，所以BE//平面ADF．

（Ⅱ）由EF=EM="AB"=得FM=3且．

由可得FD=4；从而得CE=1．8分。

设BC=a，则点B的坐标为（a，0）．又点E、F的坐标分别为（0，1）和（0，0，4），所以．

设平面BEF的一个法向量为则解得一组解为所以．10分。

易知平面DEF的一个法向量为可得。

由于此时就是二面角B-EF-D的大小，所以可得．

所以另一边BC的长为时，二面角B-EF-D的大小为45°．12分【解析】【答案】（Ⅰ）见解析。

（Ⅱ）六、综合题(共2题，共10分)31、略

【分析】【分析】（1）△HGA；△HAB，求出∠H=∠GAC，∠AGC=∠AGC，即可推出△AGC∽△HGA；根据∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H推出△AGC∽△HAB即可；

（2）①根据∵△AGC∽△HAB，得出=，求出y=；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9；代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；

（3）由△HGA∽△HAB得出HB=AB=9，由△HGA∽△GCA得出AC=CG=9，推出BG=HC，即可得出答案．【解析】【解答】解：（1）△HGA；△HAB；

理由是：∵△ABC与△EFA为等腰直角三角形；AC与AE重合，AB=EF，∠BAC=∠AEF=90°；

∴∠B=∠ACB=∠GAF=45°；

∴∠ACB=∠H+∠HAC=45°；∠GAC+∠HAC=∠GAF=45°；

∴∠H=∠GAC；

∵∠AGC=∠AGC；

∴△AGC