2025年粤人版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤人版高二数学下册月考试卷838考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、设f（x）=x3+x2+x（x∈R）；又若a∈R，则下列各式一定成立的是（）

A.f（a）≤f（2a）

B.f（a2）≥f（a）

C.f（a2-1）＞f（a）

D.f（a2+1）＞f（a）

2、已知三条不重合的直线m；n，l，两个不重合的平面α，β，给出下列四个命题：

①若m∥n；n⊂α，则m∥α；

②若l⊥α；m⊥β，且l∥m则α∥β；

③若m⊂α；n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

④若α⊥β；α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．

其中真命题是（）

A.①②

B.②④

C.①③

D.③④

3、设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为（）

A.

B.

C.

D.

4、【题文】等差数列{}的前n项和为若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当取最小值时，n等于（）A.9B.7C.8D.65、复数A.B.C.D.6、等差数列的前n项和为且则公差等于（）A.3B.C.1D.-27、下列各组命题中，满足“p∨q为真，p∧q为假，￢p为真”的是（）A.p：0∈N，q：若A∪B=A，则A⊆BB.p：若b2=ac，则a，b，c成等比数列；q：y=cosx在上是减函数C.p：若则与的夹角为锐角；q：当a＜-1时，不等式a2x2-2x+1＞0恒成立D.p：在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是q：抛物线y=4x2的焦点坐标是（0，1）8、不等式≤0的解集为（）A.{x|-2＜x≤3}B.{x|-2≤x≤3}C.{x|x＜-2或x＞3}D.{x|-2＜x＜3}评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)9、若数列{an}是等差数列，且则数列{bn}是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{cn}是等比数列，且cn＞0，dn=____，则有数列{dn}也是等比数列．10、设(为虚数单位),则=____．11、【题文】设关于x的不等式x2－x＜2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则的值为________．12、【题文】在△ABC中，面积则∠C等于．13、【题文】已知实数满足则的最小值是．14、【题文】设且则锐角为____15、已知方程=1表示双曲线，则k的取值范围是______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共12分)23、已知函数．（1）若求证：函数是上的奇函数；（2）若函数在区间上没有零点，求实数的取值范围．24、解下列不等式（1）（2）（3）（4）25、【题文】设函数

（I）求函数的最小正周期；

（II）设函数对任意有且当时，求函数在上的解析式。26、（1）设函数f（x）=|x-2|+|x+a|；若关于x的不等式f（x）≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围；

（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求的最小值．评卷人得分五、计算题(共3题，共18分)27、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．28、1.（本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率。29、解不等式组．评卷人得分六、综合题(共4题，共20分)30、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．31、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．32、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．33、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】

∵f（x）=x3+x2+x（x∈R）；

∴f′（x）=3x2+2x+1=3（x+）2+＞0恒成立；

∴函数f（x）在定义域上是增函数。

又∵a2+1＞a

∴f（a2+1）＞f（a）

故选D

【解析】【答案】由f（x）=x3+x2+x（x∈R），求导得到f′（x）=3x2+2x+1=3（x+）2+＞0恒成立；进而有函数f（x）在定义域上是增函数，再根据函数单调性定义求解．

2、B【分析】

∵m∥n；n⊂α，有可能m⊂α，∴①×；

∵l⊥α；l∥m，∴m⊥α，∵m⊥β，∴α∥β，②√；

∵m⊂α；n⊂α，m∥β，n∥β，m；n不一定相交，∴α、β不一定平行；③×；

根据面面垂直的性质判断④√；

故选B

【解析】【答案】根据线面平行的判定定理判断①是否正确；

利用垂直于同一直线的两平面平行判断②是否正确；

根据面面平行的判定定理判断③是否正确；

利用面面垂直的性质判断④是否正确．

3、C【分析】

设p1（x，y），则p2（x；-y）

p1，p2在椭圆上；

则x=3sinθ；y=2cosθ

则A1P1的方程为①

A2P2的方程为②

Q（x，y）为A1P1，A2P2的交点．联立方程①；②得x=cscθ，y=2ctgθ

消去θ可得

故选C

【解析】【答案】由已知中A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则P1、P2的横坐标相等，纵坐标相反，故设p1（x，y），则p2（x，-y），由椭圆的参数方程，分别求出A1P1的方程和A2P2的方程（含参数θ）；联立方程后，消去参数θ即可得到满足条件的曲线方程．

4、D【分析】【解析】因为等差数列中a4＋a6＝－6，所以=－3，公差=2，=2n－13,即等差数列{}的前6项均为负数，第7项及其以后各项均为正数，前6项和最小，故选D。【解析】【答案】D5、A【分析】【解答】=故选A。6、D【分析】【解答】由等差数列前项和公式可知7、C【分析】解：由“p∨q为真；p∧q为假，￢p为真”，可得：p为假，q为真．

A．p：0∈N；p为真命题，q：若A∪B=A，则A⊆B，为假命题，不满足条件．

B．p：若b2=ac，则a，b，c成等比数列，是假命题；q：y=cosx在上是减函数；是假命题，不满足条件．

C．p：若则与的夹角为锐角，或零角，因此是假命题；q：当a＜-1时，对于不等式：不等式a2x2-2x+1＞0，△=4-4a2＜0；因此恒成立，是真命题，满足条件．

D．p：在极坐标系中，圆展开可得：ρ2=2（cosθ+sinθ），化为直角坐标方程：x2+y2=x+配方为+=1，可得圆心坐标于是圆心的极坐标是因此是假命题．q：抛物线y=4x2的焦点坐标是（0，）；因此是假命题．不满足条件．

故选：C．

由“p∨q为真；p∧q为假，￢p为真”，可得：p为假，q为真．

A．p：0∈N；p为真命题，q：若A∪B=A，则A⊆B，为假命题．

B．p：若b2=ac，则a，b，c成等比数列，是假命题；q：y=cosx在上是减函数；是假命题．

C．p：若则与的夹角为锐角，或零角，因此是假命题；q：当a＜-1时，对于不等式：不等式a2x2-2x+1＞0；△与0大小比较，解出即可判断出真假．

D．p：在极坐标系中，圆展开可得：ρ2=2（cosθ+sinθ），化为直角坐标方程：+=1，可得圆心坐标化为极坐标即可判断出真假；q：抛物线y=4x2的焦点坐标是（0，）；因此是假命题．

本题考查了函数的性质、集合之间的关系、向量夹角公式、极坐标与直角坐标方程互化、不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】【答案】C8、A【分析】解：不等式≤0⇔（x-3）（x+2）≤0；且x+2≠0；

解得-2＜x≤3；

故选：A

将分式不等式转化为整式不等式即可得到结论．

本题主要考查分式不等式的解法，将分式不等式转化为整式不等式是解决本题的关键．【解析】【答案】A二、填空题(共7题，共14分)9、略

【分析】

在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时；

由加法类比推理为乘法；由减法类比推理为除法；

由算术平均数类比推理为几何平均数等；

则对于则数列{bn}也是等差数列．

类比推断：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn=时，数列{dn}也是等比数列．

故答案为：

【解析】【答案】由加法类比推理为乘法；由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，可类比推理出结论．

10、略

【分析】【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】解不等式x2－x＜2nx(n∈N*)得，0＜x＜2n＋1，其中整数的个数an＝2n，其前n项和为Sn＝n(n＋1)，故＝＝2013.【解析】【答案】201312、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】45°13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】π/415、略

【分析】解：因为方程=1表示双曲线方程；所以（1-k）（1+k）＞0，解得-1＜k＜1．

故答案为：-1＜k＜1

利用双曲线的性质；列出不等式求解即可．

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．【解析】-1＜k＜1三、作图题(共8题，共16分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共12分)23、略

【分析】试题分析：(1)定义域关于原点对称，将代入算得(2)考虑用补集思想解决此问题，因为所以函数为单调递减函数，如果有零点，则得到的取值范围，因为是求没有零点的的取值范围，所以再求其补集.试题解析：【解析】

（1）定义域为关于原点对称．因为所以函数是定义在上的奇函数（2）是实数集上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）又函数的图象不间断，在区间恰有一个零点，有即解之得故函数在区间没有零点时，实数的取值范围是14分考点：1.证明函数是奇函数；2.函数零点问题.【解析】【答案】（1）详见解析；（2）24、略

【分析】本试题主要考查了二次不等式的求解，第一步看开口方向，然后变为一般式，第二步骤就是看判别式的情况，然后确定根，结合二次函数图像求解得到一元二次不等式的解集。以及关于绝对值不等式的求解，结合绝对值不等式的公式，展开【解析】

（1）因为开口向上，判别式大于零，且两根为-4,和1，结合二次函数图像可知，其解集为（2）因为开口向上，判别式大于零，根为0和5，结合二次函数图像可知解集为（3）因为开口向上，判别式大于零，根为0和1，结合二次函数图像可知解集为（4）因为故解集为【解析】【答案】（1）（2）（3）（4）25、略

【分析】【解析】

（I）函数的最小正周期

（2）当时，

当时，

当时，

得：函数在上的解析式为【解析】【答案】（I）

（II）26、略

【分析】

（1）关于x的不等式f（x）≥3在R上恒成立，等价于f（x）min≥3；即可求实数a的取值范围；

（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，利用柯西不等式，即可求的最小值．

本题考查不等式恒成立问题，考查柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【解析】解：（1）f（x）=|x-2|+|x+a|≥|x-2-x-a|=|a+2|

∵原命题等价于f（x）min≥3；|a+2|≥3，∴a≤-5或a≥1．（5分）

（2）由于x，y，z＞0，所以

当且仅当即时；等号成立．

∴的最小值为．（10分）五、计算题(共3题，共18分)27、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．28、略

【分析】解(1)设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X=0、1、2、3，X服从超几何分布，高考+资-源-网分布列如下：。X0123P即。X0123P8分(2)10分【解析】【答案】(1)。X0123P(2)2/329、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．六、综合题(共4题，共20分)30、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）31、解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6；f（1）＞0

∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0

∴a2﹣6a﹣3＜0

∴{#mathml#}3-23<a<3+23

{#/mathml#}

∴不等式的解集为{#mathml#}a|3-23<a<3+23

{#/mathml#}

（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），

∴﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），

∴﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的两个根

∴{#mathml#}-1+3=a6-a3-1×3=-6+b3

{#/mathml#}

∴{#mathml#