分类22 等腰三角形(含解析)

22等腰三角形（含解析）

一、选择题

1.（2020•辽宁辽阳，T6,3分）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放,

若N1=2O°,则N2的度数是（）

A.15°B.20°C.25°D.40°

【考点】KW：等腰直角三角形；JA：平行线的性质

【专题】67：推理能力；554：等腰三角形与直角三角形

【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：AB//CD,

.\Z3=Z1=2O°,

三角形是等腰直角三角形，

/.Z2=45O-Z3=25°,

【点评】本题考查了等腰宜角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题

的关键.

2.（2020四川南充，T6,4分）如图，在等腰AABC中，B。为NA8C的平分线，NA=36。,

AB=AC=a,BC=b,则CD=()

a+ba-b

A.-----B.-----C.a-bD.b-a

22

【考点】KH：等腰三角形的性质.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；64：几何直观.

【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出8O=BC=4O,进而解答即可.

【解答】解：；在等腰△ABC中，80为N48。的平分线，NA=36。，

AZABC=ZC=2ZABD=12\

：.480=36。=NA,

:.BD=AD,

・•・4BDC=ZA+ZABD=12°=NC,

:・BD=BC,

'：AB=AC=a,BC=b,

：,CD=AC-AD=a-b,

故选：C.

【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC

=4。解答.

3.（2020•广西玉林・T9・3分）如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35。方

向，4岛在A岛的北偏东80。方向，C岛在5岛的北偏西55。方向，则A,B,。三岛组成

C.直角三角形D.等边三角形

【考点】IH：方向角；KK：等边三角形的性质；KW：等腰直角三角形

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力；64：几何直观

【分析】如图，过点C作CD/ME交于点。，可得NDC4=NE4C=35。，根据他〃斯,

可得CD//BF,可得ZBCD=NCB尸=55。,进而得A4BC是直角三角形.

【解答】解：如图，过点C作CQ//AE交于点。，

.•.ZZXX=ZE4C=35°,

北北

AE//BF,

:.CD//BF,

:.ABCD=NCBF=55。,

ZAC8=ZACD+ZBS=35。+55。=90°,

.•・A44c是直角三角形.

故选：C.

【点评】本题考查了直角三角形、方向角，解决本题的关键是掌握方向角定义.

4.（2020・四川宜宾，Tll,4分）如图，AABC和AECD都是等边三角形，且点8、C、。在

一条直线上，连结BE、AD,点、M、N分别是线段BE、A£＞上的两点，且BM=；BE,

AN=-AD,则△CMV的形状是（）

3

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不等边三角形

【考点】KM：等边三角形的判定与性质；KD-.全等三角形的判定与性质

【专题】553：图形的全等；64：几何直观

【分析】根据等边三角形的性质得出8C=AC,EC=CD,进而利用SAS证明MCE与

AACO全等，进而利用全等三角形的性质解答即可.

【解答】解：AABC和AECD都是等边三角形，

:.BC=AC,EC=CD,ZBG4=ZE8=60°,

..ZBC4+ZACE=ZECD+ZACE,

即NBCE=N48,

在MC石与AACD中

BC=AC

/BCE=NACO,

CE=CD

:.ABCE^^ACD（SAS）,

:.ZMBC=ZNAC,BE=AD,

BM=-BE,AN=-AD,

33

:.BM=AN,

在AMBC与&VAC中

BM=AN

"NMBC=ZNAC,

BC=AC

:.2/1BC=邱AC〈SAS）,

:.MC=NC,ZBCM=ZACN,

々CM+ZA/C4=60°,

.♦.N/VC4+NMC4=60°，

.•.ZA/GV=60°,

」.AA/C7V是等边三角形，

故选：C.

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别

对应相等的两个三角形全等.根据已知得出MCE=AAC£＞是解题关键.

5.（2020黑龙江龙东地区，T6,3分）如图，菱形498的两个顶点A,C在反比例函数y=-

x

的图象上，对角线AC,%）的交点恰好是坐标原点O,已知ZABC=120°,则k

的值是（）

【考点】L8：菱形的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KM：等边三角形的

判定与性质

【专题】534：反比例函数及其应用；66：运算能力

【分析】根据题意可以求得点4的坐标，从而可以求得火的值.

【解答】解：四边形ABC。是菱形，

:,BA=AD.AC1BD,

NABC=120°,

/.Za4£>=60°，

.•・A4B£）是等边三角形，

:.OB=>[2，

"。"品S

直线BD的解析式为y=-x,

直线AD的解析式为y=x,

OA=娓，

.••点A的坐标为（石，6）,

点A在反比例函数y=&的图象上,

x

/.k=J5x>/3=3，

故选：C.

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题

意，利用反比例函数的性质解答.

6.（2020黑龙江牡丹江，T18,3分）如图，在平面直角坐标系中，。是菱形A8C。对角线

皮）的中点，AO//X轴且4）=4,NA=60。，将菱形A38绕点。旋转，使点。落在x轴

上，则旋转后点。的对应点的坐标是（）

A.（0,2扬B.（2,-4）

C.（2石，0）D.（0,2折或（0,-2肉

【考点】即：坐标与图形变化-旋转；L8：菱形的性质；KM：等边三角形的判定与性质

【专题】556：矩形菱形正方形；64：几何直观

【分析】分点C旋转到y轴正半轴和），轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解.

【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点。在x轴上时，

A、5、C均在坐标轴上，如图，

ZE4D=60°,AD=4，

.•.Z（MD=3O°,

..8=2,

22

:.AO=y/4-2=2y/3=OCt

.•.点C的坐标为（0,-2豆），

点C的坐标为（0,2百），

点C的坐标为（0,20）或（0,-25），

故选：D.

【点评】本题考查了菱形的对称性，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是要分情

况讨论.

7.（2020湖北天门，T10,3分）如图，已知AA5c和AADE都是等腰三角形，

Zfi4C=ZmE=90°，BD,C石交于点F,连接".下列结论：①8D=CE；②斯_LC/：

③AF平分NC4。；®ZAFE=45°.其中正确结论的个数有（）

B

E

CM/

D

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】KW：等腰直角三角形：KD：全等三角形的判定与性质

【专题】69：应用意识；553：图形的全等

【分析】如图，作%）于M,ANJ.EC于N.证明主AGIE,利用全等三角形

的性质一一判断即可.

【解答】解：如图，作AA/_L8。于ANLEC^N.

:.ZBAD=ZCAE,

AB=AC,AD=AE,

:.M3AD^^CAE(SAS),

:.EC=BD,4D4=NAEC,故①正确

ZDOF=ZAOE,

ZDPO=ZE4O=90。，

:.BD±EC,故②正确，

MiAD^^CAE,AMVBD.AN±EC,

:.AM=AN,

「.E4平分ZEFB,

「.NA/石=45。，故④正确，

若③成立，则NA£F=/4瓦＞=4D8,推出9=4),显然与条件矛盾，故③错误,

故选：C.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

8.（2020湖北宜昌，T4,3分）如图，点E,F,G,Q,”在一条直线上，且EF=GH,

我们知道按如图所作的直线/为线段尸G的垂直平分线.下列说法正确的是（）

I

1FG0H

A./是线段必的垂直平分线B./是线段EQ的垂直平分线

C./是线段中的垂直平分线D.m是/的垂直平分线

【考点】KG：线段垂直平分线的性质

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力

【分析】根据垂直平分线的性质定理判断即可.

【解答】解：如图:

/

1F0GQH

A.直线/为线段FG的垂直平分线，

：.FO=GO,11FG,

EF=GH,

:.EF+FO=OG+GH,

即

.♦./为线段的垂直平分线，故比选项正确；

B.EO工OQ,

二./不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误：

C.FO^OH,

.•./不是线段"/的垂直平分线，故此选项错误;

D./为直线，EH不能平分直线/,

.•.E"不是/的垂直平分线，故此选项错误；

故选：A.

【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质和判定定理，熟练运用定理是解答此题的关键.

9.（2020•枣庄，T6,3分）如图，在AABC中，的垂直平分线交于点。，交3。于

点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则A4CE的周长为（）

A.8B.11C.16D.17

【考点】KG：线段垂直平分线的性质

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力

【分析】在AABC中，的垂直平分线交于点O,交BC于点E,连接他.若BC=6,

AC=5,则&4CE的周长为

【解答】解：上垂直平分AB,

:.AE=BE，

.•.AACE的周长=AC+CE+AE

=AC+CE+BE

=AC+BC

=5+6

=11.

故选：B.

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分

线上任意一点，到线段两端点的距离相等.

10.（2020•绵阳，T7,3分）如图，在四边形438中，NA=NC=90°,DF//BC,ZABC

的平分线屏;交小于点G,GH上DF,点E恰好为DH的中点,若AE=3,CD=2,则

GH=()

A

H

A.1B.2C.3D.4

【考点】KF：角平分线的性质；KQ：勾股定理

【专题】66：运算能力；55E：解直角三角形及其应用

【分析】过七作交㈤于点N,可得£7V_LG£>,得到砌与GH平行，再由E

为770中点，得到〃G=2EN,同时得到四边形NMC£>为矩形，再由角平分线定理得到

AE=ME.进而求出aV的长.得到HG的长.

【解答】解：过E作EW_L8C,交FD于点、N,

DFIIBC，

s.ENLDF,

..EN//HG,

ENED

HGHD

E为HD中点,

ED1

HD2

FN1

——二—,即HG=2EN,

HG2

:.ZDNM="MC=NC=好，

二.四边形NMC。为矩形,

:.MN=DC=2,

BE平分ZABC,EAA.AB,EM±BC,

:.EM=AE=3,

:.EN=EM-MN=3-2=1，

则"G=2&V=2.

故选：B.

A

H

E

BMC

【点评】此题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，角平分线定理，以及平行得比例，熟练

掌握定理及性质是解本题的关键.

11.（2020•广东深圳，T8,3分）如图，在AABC中，AB=AC.AB.AC上分别截取AP,

AQ,使小丑.再分别以点尸，。为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在N8AC

内交于点R,作射线AR,交BC于点D.若BC=6,则%）的长为（）

【考点】N2：作图-基本作图；KH：等腰三角形的性质

【专题】67：推理能力；13：作图题；554：等腰三角形与直角三角形

【分析】依据等腰三角形的性质，即可得到=进而得出结沦.

2

【解答】解：由题可得，4?平分44C,

又AB=AC,

二•AD是三角形A5C的中线，

/.BD=-5C=-x6=3,

22

故选：B.

【点评】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边

上的中线、底边上的高相互重合.

12.（2020•四川自贡，T9,4分）如图，在RQABC中，N4C8=90。，ZA=50°,以点8

为圆心，BC长为半径画弧，交于点D,连接。），则N4CD的度数是（）

【考点】KH：等腰三角形的性质.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；66：运算能力.

【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：:在RtAABC中，/ACB=90。，NA=50。，

・・・NB=40。，

,:BC=BD,

：.ZBCD=ZBDC=-（180°-40°）=70°,

2

・•・ZACD=90°-70°=20°,

故选：D.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题

的关键.

13.（2020•山东聊城，T3,3分）如图，在AABC中，AB=AC,ZC=65°,点。是8。边

上任意一点，过点D作DF//AB文AC于点E,则NFEC的度数是（）

A.120°B.130°C.145。D.150°

【考点】JA：平行线的性质：KJ：等腰三角形的判定与性质

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力

【分析】由等腰三角形的性质得出4=NC=65。，由平行线的性质得出NCDE=4=65。，

再由三角形的外角性质即可得出答案.

【解答】解：AB=AC,ZC=65°,

一NC-65。，

DF//AB,

"CDE=4B=6£，

.Z/^C=NCDE+NC=65。+65°=130°；

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等

腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键.

14.（2020•山东临沂，T5,3分）如图，在A43C中，AB=AC,NA=40。，CD//AB,则

ZBCD=（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【考点】KHz等腰三角形的性质；JA：平行线的性质

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；64：几何直观

【分析】根据等腰三角形的性质可求NAC8,再根据平行线的性质可求4CD.

【解答】解：在AABC'中，AB=AC,乙4=4（尸，

/.ZACB=700,

CD//AB,

.\ZACD=l80o-ZA=140°»

/BCD=ZACD-ZACB=70°.

故选：D.

【点评】考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是求出NAC8和NA8.

15.（2020•山东临沂，TI4,3分）如图，在O中，为直径，NAOC=80°.点。为弦AC

的中点，点、E为BC上任意一点.则NCED的大小可能是（）

c

B

A.10°B.20°C.30°D.40°

【考点】"5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系

【专题】558：平移、旋转与对称；554：等腰三角形与直角三角形

【分析】连接O。、OE,设=则/。0£=100。一不，ZZX9E=100°-x+40°,根

据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出N£>£O和NCEO,即可求出答案.

OC=OA,

.•.△O4C是等腰三角形，

点。为弦的中点，

ZDOC=40°,Z^OC=100°,

设4QE=x,则NCOE=100J,ZDG>E=100°-x+40°,

OC=OE,NCOE=100P-x,

ZOEC=AOCE=40°+-x,

2

OD<OE,ZZX>£：=100o-x+40o=140o-x,

/.ZOFD<20°+-x,

2

:"CED=/OEC-ZOED>(40°+-x)-(20°+-x)=20°,

22

NCED〈ZABC=4O。,

20°<ZC£D<40°

故选：C.

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点,

能求出NOEC和NQED的度数是解此题的关键.

1..(2020•广西玉林・T9・3分)如图是4,B,C三岛的平面图，。岛在A岛的北偏东35。

方向，8岛在A岛的北偏东80。方向，C岛在8岛的北偏西55。方向，则A,B,C三岛组

成一个（）

北乎

A.等腰直角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等边三角形

【考点】/，：方向角；KK：等边三角形的性质；KWz等腰直角三角形

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力；64：几何直观

【分析】如图，过点C作CD//AE交4?于点O,可得=4c=35。，根据AE〃班

可得CD//8产，可得/BCD=NCBF=55。,进而得AABC是直角三角形.

【解答】解：如图，过点C作CQ〃他交45于点O,

:.ZDCA=ZEAC=35°,

AE//BF,

:.CD//BF,

:."CD=NCB卜=55。,

ZACB=ZACD+ZB8=35。+55。=90°,

・•.AA8C是直角三角形.

故选：C.

【点评】本题考查了直角三角形、方向角，解决本题的关键是掌握方向角定义.

1.（2020•湘西州，T6,4分）已知NAQ8,作NAO8的平分线OM,在射线QM上截取线

段OC,分别以O、C为圆心，大于‘OC的长为半径画弧，两弧相交亍E,F.画直线即，

2

分别交04于O,交OB于G.那么△（加©一定是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【考点】N2：作图-基木作图；KI：等腰三角形的判定

【专题】67：推理能力；554：等腰三角形与直角三角形

【分析】依据已知条件即可得到即可得到QD=OG,进而得出△8G是

等腰三角形.

【解答】解：如图所示，平分NAO8,

ZAOC=ABOC,

由题可得，ZX；垂直平分OC,

NOED=ZOEG=909，

ZODE=ZOGE,

:.OD=OG,

.•.△8G是等腰三角形，

【点评】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等,

那么这两个角所对的边也相等.

1.（3分）（2020•辽阳）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若Zl=20°,

则N2的度数是（）

A.15°B.20°C.25°D.40°

【考点】KW：等腰直角三角形：JA：平行线的性质

【专题】67：推理能力；554：等腰三角形与直角三角形

【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：AB//CD,

.•.Z3=N1=2O°,

三角形是等腰直角三角形,

.\Z2=45O-Z3=25°,

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题

的关键.

2.(2020湖南张家界,T7,3分)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程f-6x+8=0

的两根，则该等腰三角形的底边长为()

A.2B.4C.8D.2或4

【考点】A8：解•元二次方程-因式分解法；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形

的性质

【专题】11：计算题；66：运算能力

【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论

边长，即可得出答案.

2

【解答】解：x-6A+8=0

(x-4)(x-2)=0

解得：x=4或JV=2,

当等腰三角形的三边为2,2,4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；

当等腰三角形的三边为2,4,4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三

角形的底边长为2,

故选：A.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程

的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键.

3.1.（2020温州T5,4分）如图，在A4BC中，ZA=40°,AB=AC,点。在AC边上,

以CB,8为边作BCDE,则ZE的度数为（）

C.60°D.70°

【考点】KH：等腰三角形的性质；L5：平行四边形的性质

【专题】555：多边形与平行四边形；554：等腰三角形与直角三角形；64：几何直观

【分析】根据等腰三角形的性质可求NC,再根据平行四边形的性质可求NE.

【解答】解：在A48C中，Z4=40°,AB=AC,

ZC=（180°-40°）-4-2=70°,

四边形BCDE是平行四边形，

/.Z£=70°.

故选：D.

【点评】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出NC的度数.

4.1.（2020安徽，T8,4分）如图，RtAABC中，NC=90°,点。在AC上，ZDBC=ZA.若

4

AC=4,cos4=-,则8。的长度为（）

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；77：解直角三角形

【专题】66：运算能力；67：推理能力；554：等腰三角形与直角三角形；55E：解直角三

角形及其应用

【分析】在AABC中，由三角函数求得再由勾股定理求得8C,最后在MCO中由三

角函数求得比＞.

4

【解答】解：ZC=90°,AC=4,cosA=-,

cosA

BC=y/AB2-AC2=3,

ZDBC=ZA.

BC4

cosZ.DBC-cosZA==—，

BD5

BD=3x-=—,

44

故选：C.

【点评】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形.

2.（2020福建，T3,4分）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D,E,尸分别是

BC,C4的中点，则ADE厂的面积是（）

A

【考点】KX：三角形中位线定理：KK：等边三角形的性质

【专题】67：推理能力；554：等腰三角形与直角三角形；552：三角形

【分析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：D,E,尸分别是AB,BC,C4的中点，

:.DE=-ACDF=-BC,EF=-AB,

2f22

DFEFDE1

~BC~~AB~~AC~2f

:2EFS^BC,

等边三角形ABC的面积为1,

」.AD所的面积是4，

4

故选：D.

【点评】本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟

练掌握三角形的中位线定理是解题的关键.

3.（2020福建，T5,4分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5,则等

于（）

【考点】KH：等腰三角形的性质

【专题】64：几何直观；554：等腰三角形与直角三角形

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解.

【解答】解：AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5,

CD=5.

故选：B.

【点评】考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高

相互重合.

5.I.（2020湖南怀化，T7,4分）在RsABC中，N8=90。，AD平分N84C,交8C于

点O,OEJLAC,垂足为点E,若BO=3,则的长为（）

2

【考点】KF：角平分线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；552：三角形；67：推理能力.

【分析】根据角平分线的性质即可求得.

【解答】解：•••NB=90。，

又••'AD平分NBAC,DELAC.

・•・由角平分线的性质得DE=BE=3,

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键

1.（2020・荆门・T6・3分）AAHCN，A/i=ACN44C=120°,6c=20,。为AC的

中点，则AE8D的面积为（）

4

C.TD.T

【考点】KH：等腰三角形的性质；KO：含30度角的直角三角形

【专•题】554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力

【分析】连接4力,作火1y于尸.根据二线合一得到4。垂直干RC./VT为角平分线.

以及底角的度数，在直角三角形题中，利用三角函数求得然后利用30角所对的直

角边等于斜边的一半得到AD的长，再利用三角形相似求出互'的长，根据三角形面积公式

求得结果.

【解答】解：连接AD,作EF_LBC于尸，

AB=AC,ZfiAC=120°,。为3C的中点，

:.AD±BC,A£>平分ZBAC,Zfi=ZC=30°

在RtAABD中，BD==BC=6,ZB=30°,

2

2

/.AD=-AB=i,

2

AE=-AB,

4

BE3

/.1=一，

AB4

EF上BC,ADIBC,

s.EFUAD,

:ZEFSMAD,

.EF_BE

"'AD=~AB'

【点评】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和

性质，熟练掌握性质是解木题的美键.

6.1.（2020江苏常州，T7,2分）如图，45是O的弦，点C是优弧上的动点（C不

与A、B重合），CHLAB,垂足为“，点M是BC的中点.若。的半径是3,则长

的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得的最大

值是3.

【解答】解：CH_LAB,垂足为"，

NC77B=90°,

点M是8c的中点.

2

BC的最大值是直径的长，。的半径是3,

・•.M”的最大值为3,

故选：A.

【点评】本题考查了直角三角形斜边直线的性质，明确AC的最大值为。的直径的长是解

题的关键.

7.2.（2020•烟台T7.3分）如图，△04,4为等腰直角三角形，燃=1，以斜边。人为直

角边作等腰直角三角形。44,再以外为直角边作等腰直角三角形…，按此规律

【考点】KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形；38：规律型：图形的变化类

【专题】64：几何直观；554：等腰三角形与直角三角形

【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案.

【解答】解：△34为等腰直角三角形，。4=1，

O4=应：

△O44为等腰直角三角形，

.・.。4=2=（扬2；

△O&A4为等腰直角三角形，

:.0%=2近=@）L

△。4人为等腰直角三角形，

.•.04=4=（扬九

的长度为（女尸.

故选：B.

【点评】此题主要考查了等腰直隹三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解

题关键.

8.1.（2020贵州毕节，T9,3分）己知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角

形的周长为（）

A.13B.17C.13或17D.13或10

【考点】KH：等腰三角形的性质；K6：三角形三边关系

【专题】64：几何直观；554：等腰三角形与直角三角形；32：分类讨论

【分析】等腰三角形两边的长为3和7,具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要

分两种情况讨论.

【解答】解：①当腰是3,底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去.

②当底边是3,腰长是7时，能构成三角形，贝IJ其周长=3+7+7=17.

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和

底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键.

2.（2020贵州毕节，T15,3分）如图，在一个宽度为A8长的小巷内，一个梯子的长为a,

梯子的底端位于回上的点P,将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点。到"的

距离为力，梯子的倾斜角NBPC为45。；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点。处，点O

到A8的距离4）为c,且此时梯子的倾斜角NAPD为75。，则AB的长等于（）

【考点】KD：全等三角形的判定与性质

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；553：图形的全等；556：矩形菱形正方形；67：

推理能力

【分析】过点C作CE_LAO于E,则四边形A8CE是矩形，得出A5=CE,易证ACPD是

等边三角形，得CD=DP,NPDC=3,由A4S证得=AAPQ,得出CE=4O,即

可得出结果.

【解答】解：过点。作CE_L4力于E,如图所示:

则四边形48CE是矩形，

:.AB=CE,ZCED=ZDAP=9(y,

ZBPC=45°,ZAPD=150>

Z.CPD=1800-45o-75o=60°,

CP=DP=a，

「.△CP。是等边三角形，

:.CD=DP,NPDC=60°,

ZAnP=90o-75°=15°,

.•.Z£ZX?=15°+60o=75°,

:.ZEDC=ZAPD,

在AEDC和AATO中，

NCED=NDAP

<NEDC=ZAPD,

CD=DP

:.^EDC=^APD(AAS),

:.CE=AD»

:.AB=AD=Cf

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性

质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键.

1.（2020益阳，T10,4分）如图，在矩形ABCD中，七是DC上的一点，是等边三

角形，4c交班于点尸，则下列结论不成立的是（）

DE

A.ZZME=30°B.ABAC=45°C.—=-D.—=—

FB2AB2

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；LB：矩形的性质

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形菱形正方形；553：图形的全等；55D：

图形的相似；67：推理能力

【分析】由矩形的性质和等边三角形的性质可得==ZE4B=ZEE4=60°,

AD=BC,ZDAB=ZCBA=90°,AB!/CD,AB=CD,可得=NCBE=30°,由锐

角三角函数可求COSNDAC=3=42=42,由可证.•.MOEwMC,可得

2AEAB

DE=CE=-CD=-AB,通过证明/SACM,可得C£=竺=」，通过排除法可求解.

22ABBF2

【解答】解：四边形AACD是矩形，A4BE是等边三角形，

:.AB=AE=BE,NEAB=NEBA=3,AD=BC,ZZMB=ZCRA=90°,AB//CD,

AB=CD,

:.ZDAE=ZCBE=3(r,故选项A不合题意，

.-.coszmc=^=—=—,故选项。不合题意,

2AEAB

在AAZ汨和MCE中，

AD=BC

<ZDAE=4CBE,

AE=BE

:.^ADE=^BCE(SAS),

:.DE=CE=-CD=-AB

22f

AB//CD,

:.^ABFsACEF,

.故选项C不合题意，

ABBF2

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，矩形的性质，全等三角

形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是木题的关键.

3.（2020甘肃金昌，T8,3分）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根

据实际需要可以调节AE间的距离.若AE间的距离调节到60c利，菱形的边长A8=20cm,

则NZMB的度数是（）

B

A.90。R.1000C.120。D.150°

【考点】L8：菱形的性质；K9：全等图形

【专题】64：几何直观；556：矩形菱形正方形

【分析】连结他，根据全等的性质可得AC=20cm,根据菱形的性质和等边三角形的判定

可得A4C8是等边三角形，再根据等边三角形和菱形的性质即可求解.

【解答】解：连结AE,

他间的距离调节到6（劝〃，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，

/.AC=20皿，

菱形的边长=20cm,

/.AB=BC=2dcm，

AC=AB=BC，

.•.AAC8是等边三角形，

.,.N8=60°,

..ZZMB=120°.

故选：C.

B

【点评】考杳了菱形的性质，全等图形，等边三角形的判定与性质，解题的关键是得到A4CB

是等边三角形

二、填空题

1.（2020黑龙江牡丹江，T8,3分）如图，在RtAABC中，CA=CB,M是45的中点，点

。在5M上，AELCD,BFLCD,垂足分别为E,F,连接EA/.则下列结论中：

①RF=CE：

②Z4£iVf=ZDfiV/；

®AE-CE=y/2ME；

@DE2+DF2=2DM2；

⑤若他平分ZaAC,则律：8尸=0:1；

®CFDM=BMDE,

正确的有①②③@（⑤⑥.（只填序号）

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；KJ：等腰三角形的判定与性质;

KW：等腰直角三角形；KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质

【专题】16：压轴题；64：几何直观

【分析】证明ABC尸二△C4E,得至l」M=CE,可判断①；再证明A23FM二△CKW,从而判

断AEW/为等腰直角三角形，得至1］律=拉用以，可判断③，同时得至ij4WEF=4/庄=45。，

可判断②；再证明ADEW兰NVEM,得到ADMN为等腰直角三角形，得到ON=VI,DM,

可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出再证明AAZ把二AACE,得到

DE=CE,则有空=空=丝=叵乜■=庭,从而判断⑤；最后证明AaWsADE,得

BFCEDEDE

到位=也，结合=AE二CF,可判断⑥.

AEDE

【解答】解：ZAC8=90°,

:.ZBCF+ZACE=90°,

ZBCF+ZCBF=90°,

ZACE=ZCBF,

又NWD=90°=NA£C,AC=BC,

.\ABCF^ACAE(AAS),

:.BF=CE,故①正确；

由全等可得：AE=CF,BF=CE,

:.AE-CE=CF=CE=EF,

连接产M,CM,

点M是AB中点，

:.CM=-AB=BM=AM,CMLAB,

2

在MQP和ACnV/中，NBFD=/CMD,ZBDF=Z.CDM,

"DBF=/DCM,

又BM=CM,BF=CE,

^^CEM(SAS),

:.卜M=EM,"Mk=NCME,

NBMC=90。，

/.Z£MF=90°,即为等腰直角三角形，

;.EF=®EM=AE-CE,故③正确，NMEF=NMFE=45。,

ZA£C=90°,

ZMEF=ZAEM=45°,故②正确，

设AE与CM交于点N,连接ON,

ZDMF=/LNME,FM=EM,4DFM=/DEM=NAEM=45。，

:.△DFMwANEM(ASA),

;.DF=EN,DM=MN,

.•.ADMV为等腰直角三角形，

:.DN=y/2DM,而“£4=90°,

/.DE2+DF2=DN2=2DM2,故④正确：

AC=BC,ZACB=90°,

:.ZCAB=45°,

AE平分4AC,

ZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5°,

ZDEW=45°,

ZEMD=67.50,即DE=EM,

AF=AF,/AED=/AEC.7DAF：=/CAE,

:.^ADE=^ACE(ASA),

DE=CE»

NVffiF为等腰直角三角形，

EF=应EM,

EFEFEFyflEMr-缶3Tm.

—=——=—=--------=x/2,故⑤正确；

BFCEDEDE

NCDM=ZADE,NCMD=ZAED=90。,

:.ACDMSADE,

•_C_D=_C_M_=_D_M_

~i\D~~AE~~DE，

BM=CM,AE=CF,

BMDM

-----=------，

CFDE

:.CFDM=BMDE,故⑥正确；

故答案为：①②③®©⑥.

B

F

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形

的判定和性质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，找到全等三角形说明角相

等和线段相等.

2.（2020•眉山，T17.4分）如图.等腰A40C中，AR=AC=\O.边AC的垂直平分线交AC

于点。，交AC于点E.若AABZ）的周长为26,则DE的长为—.

一4-

A

BDC

【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力

【分析】根据即意求得BC=16,作AMJL8C于M,根据等腰三角形的性质得到8"=8,

根据勾股定理求得AM,根据线段垂直平分线的性质得出AWC是等腰三角形，易证得

△ABCS&MC,根据相似二角形对应高的比等于相似比，即可求得上

【解答】解：边AC的垂直平分线交8c于点。，交AC于点E,

.•.ZAED=90°,AE=CE=-AC=-xl0=5,AD=CD,

22

.-.zmc=zc,

4曲的周长为26,

:.AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=26,

AB=AC=10,

.-.BC=16,4=NC,

:.ZB=ZDAC,

..^ABC^^DAC,

AM_BC

DE=7CJ

作AW_L8C于M,

AB=AC,

:.BM==BC=8,

2

AM=>JAB2-BM2=71O2-82=6,

616

---=--,

DE10

故答案为*

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质,

根据三角形周长求得8C的长是解题的关键.

3.（2020湖北黄冈，T12,3分）已知：如图，在AABC中，点。在边8C上，AB=AD=DC,

NC=35。，则ZE4P=40度.

【考点】KH：等腰三角形的性质

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；66：