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文档简介

第十一章无穷级数学习指导

一.内容要点二.重点难点三.主要内容四.典型例题一.内容要点常数项级数常数项级数的概念和性质；常数项级数的审敛法。幂级数；函数展开成幂级数；函数的幂级数的展开式的应用。2.幂级数傅里叶级数；正弦函数与余弦函数；周期为的周期函数的傅里叶级数。3.傅里叶级数二、重点难点重点：

1.常数项级数的收敛与发散的概念及收敛性审敛法；

2.幂级数的收敛半径、收敛区间的求法；

3.初等函数的幂级数的间接展开法；4.傅里叶级数的概念及在区间上的周期函数的傅里叶展开。熟练掌握并灵活使用常数项级数的各种审敛法；幂级数的直接展开法；傅里叶级数展开式的收敛区间的确定。难点：常数项级数函数项级数一般项级数正项级数幂级数三角级数收敛半径R泰勒展开式数或函数函数数任意项级数傅氏展开式傅氏级数泰勒级数满足狄氏条件在收敛级数与数条件下相互转化三、主要内容1、常数项级数级数的部分和定义级数的收敛与发散性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质常数项级数审敛法正项级数任意项级数1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;一般项级数4.绝对收敛定义2、正项级数及其审敛法审敛法(1)比较审敛法(2)比较审敛法的极限形式定义

正、负项相间的级数称为交错级数.3、交错级数及其审敛法定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4、任意项级数及其审敛法5、函数项级数(1)定义(2)收敛点与收敛域(3)和函数(1)定义6、幂级数(2)收敛性推论定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.a.代数运算性质:加减法(其中(3)幂级数的运算乘法(其中除法b.和函数的分析运算性质:7、幂级数展开式(1)定义(2)充要条件(3)唯一性(3)展开方法a.直接法(泰勒级数法)步骤:b.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.(4)常见函数展开式(5)应用a.近似计算b.欧拉公式(1)三角函数系三角函数系8、傅里叶级数(2)傅里叶级数定义三角级数其中称为傅里叶级数.(3)狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)(4)正弦级数与余弦级数奇延拓:(5)周期的延拓偶延拓:四、典型例题例1解根据级数收敛的必要条件，原级数收敛．解根据比较判别法，原级数收敛．解从而有原级数收敛；原级数发散；原级数也发散．例２解即原级数非绝对收敛．由

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